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2015年高三第一轮复习理科数学


梅园书香教师辅导教案
授课时间:2015-12-26

学员姓名 学科教师 教学课题
教 学 目 标 教 学 重 难 点

周家俊 韩老师





高一 韩老师

辅导科目 课 时 数

数学 80

班 主 任

同角三角函数及诱导公式

熟练掌握两块的知识点及基本题型

教学重点:同角三角函数基本关系式,三角函数的诱导公式 教学难点:三角函数的诱导公式;同角三角函数基本关系式

教学内容

课堂 收获

同角三角函数及诱导公式 基本公式: 1. 理解同角三角函数的基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2

2. 能利用单位圆中的三角函数线推导出 命题规律:

?
2

sin ? ? tan ? 。 cos ?

??

,?

??

的正弦、余弦、正切的诱导公式

掌握同角三角函数的基本关系式,三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 以及对三角式进行化简和证明;能借助于单位圆,推导出正弦、余弦的诱导公式;能正确运用诱导公式将 任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决求值、化简和恒等式证明问题;能通过公式的运用,了解 未知到已知、复杂到简单的转化过程。

考点解读 考点 1
同角三角函数的基本关系 (2)商数关系:

(1)平方关系: (3)倒数关系:

考点 2

三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六

公式 角

? ? 2 k?

??

? ??

? ??

?
2

?k ? z?
正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变,符号看象限

??

?
2

??

其中“奇、偶”是指 n 原函数值的符号. 考点突破

k? ? ? , ( k ? Z ) 的奇偶性; “符号”是把任意角 ? 看作锐角时, 2

考点 1 同角三角函数的基本关系解决齐次分式问题 典例 1 (2015 浙江高考题改编) 已知 sin ? = 2 cos ? ,求

sin ? ? 4 cos ? 2 及 sin x ? sin x cos x ? 1 的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

易错点拨 弦化切的过程中, “1”的妙用不容易想到。 变式 1.(2015 广东卷).已知 tan ? ? 2 .

? 的值; 4? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 ?
tan ? ? ?1 ,求下列各式的值: tan ? ? 1 sin ? ? 3 cos ? 2 (1) ; (2) cos ? ? sin ? cos ? ? 2. sin ? ? cos ?
变式 2 已知

?1? 求 tan ? ?? ?

??

总结: 1.关于 sinα ,cosα 的齐次式的求值,如是整式形式,主要是采用“化 1”的方法,代 入化简; 如是分式形式,多用“弦化切”的方法, ,可根据同角三角函数的商数关系,通过 除以某一齐次项,转化成只含有正切的式子,这种化弦为切的技巧,有着广泛的应用. 2.在三角知识中“1”的变换很多,如 1 ? sin ? ? cos ? ?
2 2

tan ? ? cot ? ? tan
对“1”进行变换.

?

4

? cot

?

4

? sin

?

2

? cos 0 等等,有时为了凑出某个公式的条件,常

考点 2 诱导公式与同角公式
sin(? ? ? ) cos( 2? ? ? ) tan( ?? ? cot( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) 3? ) 2

典例 1 已知 ? 是第三象限角,且 f (? ) ? (1)化简 f (? ) ;

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5 31 (3)若 ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值. 3
(2)若 cos( ? ? 角函数关系可望将式子简化.

解题思路 式中含有较多角和较多三角函数名称,应用诱导公式将角统一为 ? , 再用同角三

典例 2 已知 sin θ 、cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根. ?π ? ?π ? (1)求 cos? -θ ?+sin? +θ ?的值; ?2 ? ?2 ? 1 (2)求 tan(π -θ )- 的值.? tan θ 解题思路 先用韦达定理找到关系式,然后用诱导公式化简求值即可。 解题过程 由已知原方程判别式 Δ≥0,即(-a)2-4a≥0, ?sin θ+cos θ=a, ? ∴a≥4 或 a≤0.又? ? ?sin θcos θ=a, 2 ∴(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ,即 a2-2a-1=0. ∴a=1- 2或 a=1+ 2(舍去). ∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2. π ? ?π ? (1)cos? ?2-θ?+sin?2+θ?=sin θ+cos θ=1- 2. 1 1 (2)tan(π-θ)- =-tan θ- tan θ tan θ 1 ? ? sin θ cos θ? =-? ?tan θ+tan θ?=-?cos θ+ sin θ ? 1 1 =- =- = 2+1. sin θcos θ 1- 2 易错点拨 容易遗漏“方程判别式 Δ≥0” ,参数 a 是一个确定的值,所求结果不能含有 a 。 变式 1.若 sin(? ? ?) ? 2cos(2? ? ? ) ,求下式的值: 点拨 同例 1,但是先用诱导公式进行化简。

2

3 sin(? ? ? ) ? 5cos(2? ? ? ) . (? ) 5 3cos(? ? ? ) ? sin(?? )

易错点拨 1.将不同角化成同角,不同名的三角函数化成同名的三角函数,即:统一式子结构(遇 分式通分) ,统一函数名(切弦互化) ,统一角(用已知角表示未知角)是三角变换 中常用的方法. 2.诱导公式提供了角之间转化的依据,是三角函数化简、求值、证明的重要工具,主要 用于化任意角的三角函数为 0 ~ 90 角的三角函数或给定区间内角的三角函数. 3. 应用诱导公式, 既可以直接从九组诱导公式中合理选用, 也可以直接运用十字诀: “奇 变偶不变,符号看象限”,一般来说用后一方法记忆负担较轻. 4.应用诱导公式时需要特别注意符号问题.
o o

2?) ,求 变式 2.已知关于 x 的方程 2x2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根 sin ? 和 cos ? , ? ? (?,


sin ? cos ? ? 的值; 1 ? cot ? 1 ? tan ?

⑵ ⑵ m 的值; ⑶ ⑶方程的两根及此时 ? 的值

点拨: 先用韦达定理找到关系式, 通过 sin ? ? cos ? ? 1求出字母 m 的值, 便可解得结果。
2 2

答案 ⑴

sin ? cos ? 3 ?1 ? = sin ? ? cos ? ? 1 ? cot ? 1 ? tan ? 2

⑵m ? 易错点拨 突破 3

3 2

⑶当 m ?

? ? 3 时, ? ? 或 . 6 3 2

同角三角函数关系的应用(转化)

例题 1.(必修四课本改编)已知 tan( ? + ? ) = m . (1)用 m 表示 sin ? , cos ? 的值(2) 求 sin ? cos ? .(点拨: 先用诱导公式求出 tan a ,利用同角三角函数公式解。 )

答案: 当 a 为第一,四象限角时: cos a ?

1 m2 ? 1 1

,sin a ?

m m2 ? 1

,sin a cos a ?

m m ?1
2

当 a 为第二,三象限角时: cos a ? ?

m2 ? 1

,sin a ? ?

m m2 ? 1

,sin a cos a ?

m m ?1
2

例题 2 若 ? 是三角形的内角, sin ? ? cos ? ? 求 (1) sin ?、 cos? ; 解题思路

1? 3 , 2 (2) sin 3 ? ? cos3 ? ; (3) tan? ? co t? .
2 2

若已知 sin ? 与 cos ? 的和与差,联系 sin ? ? cos ? ? 1 可求出 sin ? , cos? , 若直接消元,难免山重水复;若求出 sin ? cos ? . 把 sin ? 与 cos ? 看成关于 x 的某一元二次 方程的根,构造方程求解,则柳暗花明.
2 若依据 (sin? ? sin ? cos? ) . 1 ? 2 sin ? cos ? sin ? ? cos ? 的值求解,更是独具匠心.

解题过程 解法一:(1)由 sin ? ? cos ? ?
2 2

1? 3 2 1? 3 2 3 ) 则 sin ? cos ? ? ? 4 2
2

两边平方得 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ? (

? 1? 3 ? ?sin? ? co s? ? 2 故有 ? ?sin? co s? ? ? 3 ? 4 ?
的两根

则 sin ? 与 cos ? 可看作方程 x ?

1? 3 3 x? ?0 2 4

? ? 是三角形的内角,且 sin ? cos ? ? ?

3 ? 0 ? sin ? ? 0. cos ? ? 0 4

解方程得

1 3 , cos? ? ? ? 2 2 1 3 1? 3 3 (2) sin 3 ? ? cos3 ? ? ( ) 3 ? (? ) 3 ? ? 2 8 2 2 3 sin ? 3 (3) tan? ? ?? , cot? ? ? 3 ? tan ? ? cot ? ? 3 3 cos? sin ? ?
解法二:同解法一,得

sin 2 ? cos ? ? ?

3 4 1? 3 2



sin ? ? 0. cos ? ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?

? 1? 3 ?sin ? ? cos? ? 2 ? 故有 ? ?sin ? cos? ? 1 ? 3 ? 2 ?
以下同解法一, 易错点拨

解得 sin ? ?

1 3 , cos ? ? ? 2 2

(sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin ? cos? 这是三角中常涉及的一类题型,解法一的运用平方
关系, 构造出韦达定理, 再依据韦达定理构造一个方程, 最后根据角的范围求出三角函数值; 解法二利用平方关系和角的范围构造出角的正弦值与余弦值的差, 再与已知中角的正弦值与 余弦值的和联立解得正弦值与余弦值.

课时作业 第 17 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 20π? 1.[2011· 衡水质检] cos? ?- 3 ?=( ) 1 3 A. B. 2 2 C.- 1 3 D.- 2 2

1 12 2.已知△ABC 中, =- ,则 cosA 等于( tanA 5

12 5 5 12 )A. B. C.- D.- 13 13 13 13 cosα 3.[2011· 山西四校联考] 已知 sinα+cosα= 2,则 tanα+ 的值为( ) sinα 1 A.-1 B.-2 C. D.2 2 π ? 1 4.[2011· 烟台调研] 若 sin(π+α)= ,α∈? ?-2,0?,则 tanα=________. 2 1 3 5.已知 A 是△ABC 的内角,则“cosA= ”是“sinA= ”的( ) 2 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 π 1 1 1 2 3 ? ? π? 6.已知 cos? ) A. B.- C. ?3+α?=-3,则 sin?α-6?的值为( 3 3 3 π ? 7.[2011· 永州模拟] 已知 tanx=sin? ) ?x+2?,则 sinx=( -1± 5 3+1 5-1 3-1 A. B. C. D. 2 2 2 2 3-1 8.若 α∈(0,π),sinα+cosα= ,则 tanα 的值为( ) 2 3 3 3 A.- 或- 3 B.- C.- 3 D.- 3 3 2

2 3 D.- 3

8.(2010 浙江理) (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在 . 零点的是 ( ) (A)? ?4, ?2? (B)? ?2,0?
2

(C)?0, 2?

(D)? 2, 4?

9.(2010 浙江理) (4)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

?
2

1 ”是“ x sin x<1 ”的 ,则“ x sin x<
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

10.(2010 全国卷 2 文) (3)已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3

1 1 5 5 (B) ? (C) (D) 9 9 3 3
?

11.(2010 福建文)2.计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3


D.

3 2

12.(2010 全国卷 1 文) (1) cos 300? ? ( (A) ?

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

13.(2010 全国卷 1 理)(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k2

D. -

k 1? k2

14.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 )

A.第一象限角 15、已知 cos ? = ? A.

3 5

, ? 为第二象限角,那么 tan ? 的值等于(

4 3

B.

?

4 3

C.

3 4

D. ?

3 4


9、已知 ? 是三角形的内角, sin ? +cos ? =

7 7 C. 5 5 17? 17? ) ? sin( ? ) 的值是( 16、 cos( ? 4 4
A. ?

1 5

B. ?

1 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 5 1 D. 5


A.

2

B. ? 2

C. 0

D.

2 2


17、若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

2 ,则 sin A ? cos A ? ( 3 5 D. ? 3

sin ? ? ?
18.(2015 福建卷) .若

5 13 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 5 D. 12 ?



12 A. 5
19、

12 B. 5 ?

5 C. 12

1 ? 2 sin 10? sin 80? cos10? ? 1 ? cos2 170?

的值是

20、

sin ? ? cos ? =3 ,则 tan ? = 2 sin ? ? 3 cos ?

5 21.[2011· 焦作联考] 已知 cosα=- ,且 α 是第二象限的角,则 tan(2π-α)=________. 13 π ? ?2cos3x,x≤2 000, 22.[2010· 深圳调研] 已知函数 f(x)=? 则 f[f(2 010)]=________.

? ?x-100,x>2 000,

23.[2012· 长沙雅礼中学月考] 已知 sinα 是方程 5x2-7x-6=0 的根,α 是第三象限的角, 3 则 sinα- π·cos(π-α)tan(π+α)=________. 2

24、已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , cos ? ,



sin ? cos ? ? 的值. 1 1? t a n ? 1? t an ?

5π ? sin? ? 2 +α? 2 5 25.(13 分)已知 sinα= ,求 tan(α+π)+ 的值. 5 5π -α? cos? ?2 ?

nπ (n∈Z).求值: 6 (1)f(1)+f(2)+f(3)+?+f(102); (2)f(1)· f(3)· f(5)· ?· f(101). 26.(12 分)已知函数 f(n)=sin


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