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浙江省宁波市2012-2013学年第二学期期末考试高一数学试卷


浙江省宁波市 2012-2013 学年第二学期期末考试 高一数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 考试时间 120 分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.
参考公式: 圆柱的表面积公式: 台体的体积公式: 1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) V= 3 表示圆柱

S ? 2?r 2 ? 2?rl l (其中 r 表示圆柱的底面半径,
的母线长) 圆锥的表面积公式:

S ? ?r 2 ? ?rl l (其中 r 表示圆锥的底面半径,
的母线长) 圆台的表面积公式: '2 2

表示圆锥

S ? ? (r ? r ? r 'l ? rl ) r ' , r 分别表示圆台的上、下底面半 (其中 径, l 表示圆台的母线长)

(其中 S1,S2 分别 表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高) 柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积,h 表 示柱体的高) 锥体的体积公式: 1 V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高) 球的表面积公式: S=4πR2 (其中 R 表示球的半径) 球的体积公式:

4 V ? ? R3 3 (其中 R 表示球的半径)

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.等比数列 ?an ? 中,已知 a 4 ? 5 ,则 a3 a5 = (A) 10 (B) 25 (C) 50 (D) 75 的

2. ?ABC 中, 在 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? 6, b ? 4, C ? 120? , ?A C 若 则 B 面积是 (A) 12 (B) 6
2

(C) 12 3

(D) 6 3

3.一个球的外切正方体的全面积为 6 cm ,则此球的体积为

(A)

4 ? cm 3 3

(B)

6 ? cm3 8

(C)

1 ? cm 3 6

(D)

6 ? cm3 6

4.已知 {an } 为等比数列,则下列结论中正确的是
2 2 2 (A) a1 ? a3 ? 2a2

(B) a1 ? a3 ? 2a2 (D)若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

(C)若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2

1

5.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 一定是 (A)等腰三角形 (B)直角三角形

cos B cos A ? ,则 ?ABC 的形状 b a
(D)等腰直角三角形

(C)等边三角形

6.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰 Rt ?A?B?O? , 若 O?B? ? 1 ,那么原 ?ABO 的面积是

y?
A?

(A) 2 2

(B) 2

(C)

2 2

(D)

1 2

O?

B?

x?

(第 6 题图) 7.若 a, b, c ? R,且 b ? a ? 0 ,则下列四个不等式:

(1)a ? b ? ab; ) a ? b; )a ? c ? b ? c; ) (2 (3 (4

c2 c2 ? .其中正确的是 a b

(A) (1) (2) (B) (2) (3) (C) (1) (3) (D) (3) (4) 8.下列命题正确的是 (A) 若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行 (B) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 (C) 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 (D) 若一条直线和两个相交平面都平行,则此直线与这两个平面的交线平行 的值为 (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D)13

9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S6 ? S7 ? S5 ,则满足 Sn ? Sn?1 ? 0 的正整数 n

S

10.如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是

BC, CD, SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,
下列四个结论: (1) EP ? AC ; (2) EP / / BD ; (3) EP // 面SBD; (4) EP ? 面SAC .

N
A D

B
中恒成立的个数为 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个

. E

M

C

(第 10 题图) (D) 4 个

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n (n ?N? ) ,则 a2 ? ▲ .

12.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 = ▲ . 13.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 A ? 45?, B ? 60?, a ? 2 , 则b = ▲ . 14.已知正数 x, y 满足: x ? 2 y ? 20 ,则 xy 的最大值为 ▲ . 15.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长 为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, 侧视图为直角三角形,则该几何体的表面积是 ▲ . 正视图 侧视图

俯视图 (第 15 题图) 16.已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,沿对角线 AC 把 ?ACD 折起,,当以 A, B, C , D 四点为 顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 17.已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足: a1 ? a3 , a2 ? 1 , an ? 2 ? 则 a9 ? a10 = ▲ . ▲ .

1 , 1 ? an

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 1
2

?a ? R ?.

(Ⅰ)当 a ? 5 时,解不等式: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

3

19. (本小题满分 14 分)如图,在棱长为 1 的 正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,点 O 是 BD 1 中点. (Ⅰ) 求证:平面 BDD B1 ? 平面 C1OC ; 1 (Ⅱ) 求二面角 C1 ? BD ? C 的正切值.

D1

C1 B1

A1

D
A

C

O
B
(第 19 题图)

20. (本小题满分 14 分)
2 2 2 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,满足 a ? b ? ab ? c .

(Ⅰ) 求角 C 的度数; (Ⅱ) 若 a ? b ? 10 ,求 ?ABC 周长的最小值.

P
21. (本小题满分 15 分) 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , 其中底面 ABCD 为梯形, AD / / BC , AB ? BC , 且 AP ? AB ? AD ? 2 BC ? 6 , M 在棱 PA 上, 满足 AM ? 2 MP . (Ⅰ)求三棱锥 M ? BCD 的体积; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ)证明: PC / / 面 MBD .

M

A

D

B
22. (本小题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 an?1 ? 2an ? 1 (n ?N ) . ,
?

C
(第 21 题图)

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 1? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 的通项公式为 cn ? 2n ,求数列 {an ? cn } 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1 …4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ?N? ) ,且 b2 ? 4 .

证明: 数列 ?bn ? 是等差数列,并求出其通项公式.

宁波市 2012 学年第二学期期末考试 高一数学参考答案
一.选择题
4

1 2 B D 二.填空题 11. 2

3 C

4 A

5 A

6 B

7 C

8 D

9 C

10 B

12. 42

13. 6

14. 50

15. ? ? 3 三.解答题 18. (本小题 14 分)

3 2

16.

? 4

17.

1? 4 5 8

解: (Ⅰ)当 a ? 5 时 f ( x) ? x 2 ? 5x ? 6 ? 0 得 ? 3 ? x ? ?2 ,所以不等式的解集为 ?? 3,?2? .-------- 7 分 (Ⅱ) f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 的解集为 R ∴ ? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ------------------- 10 分

∴ ? 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 .------------------- 14 分 19、 (本小题 14 分) 解:(Ⅰ) ∵在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 点 O 是 BD 中点 , 1 又 BC1 ? DC1 , BC ? DC , ∴ C1O ? BD, CO ? BD ------------------- 2 分

?C1O ? CO ? O, C1O ? 平面C1OC, CO ? 平面C1OC,

? BD ? 平面C1OC
∵ BD ? 平面 BDD1 B1 ,

------------------ 5 分 ∴平面 BDD B1 ? 平面 C1OC .-------------- 7 分 1

5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角 ---------------11 分 则 C1 C ? 1, OC ?

2 2
C1C ? 2 OC
---------------14 分

∴在 Rt ?C1OC 中, tan ?C1OC ?

故二面角 C1 ? BD ? C 的正切值为 2 . 20、 (本小题 14 分) 解: (Ⅰ)∵ a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 由余弦定理得
? ? ∵ 0 ? C ? 180

a2 ? b2 ? c2 1 cosC ? ? ? -------------- 5 分 2ab 2
∴C=120°
2

-------------- 7 分

(Ⅱ)∵ c ? a ? b ? ab ? (a ? b ) ? ab ? 100 ? ab ------------- 9 分
2 2 2

? 100 ? (

a?b 2 ) ? 75 ------------- 11 分 2
当 a ? b ? 5 时取等号 ------------- 13 分 ----------- 14 分

∴c ?5 3

则 ?ABC 周长的最小值为 a ? b ? c ? 10 ? 5 3 21、 (本小题 15 分) 解: (Ⅰ)由题意 VM ? BCD ?

1 S ?BCD ? MA ? 12 3

---------- 5 分

(Ⅱ) AD 中点 N , C P 取 连 NN ,

, 易知 AB / / CN ,

P M N C

∴ ?PCN 或其补角就是 PC 与 AB 所成角 ------7 分 在 ?PCN 中,∵ PA ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ∴ PA ? BC PC ? 9 , 又∵ CN ? AB ? 6, PN ? 3 5 ∴ cos ?PCN ?

2 , 3 2 3

B

A Q

D

∴异面直线 PC 与 AB 所成角余弦值为 (Ⅲ)连 AC 交 BD 于 Q ,连 MQ

---------- 10 分

∵ AD / / BC ,∴

AQ AD ? ? 2, QC BC

6

又∵

AQ AM AM ? 2则 ∴ MQ / / PC ? MP QC MP

---------- 13 分

又∵ PC ? 面MBD, MQ ? 面MBD ,∴ PC / / 面 MBD . ---------- 15 分 22、 (本小题 15 分) 解: (Ⅰ)?an?1 ? 2an ?1? n ?N *? . an?1 +1=2 ? an ?1? ,----------3 分

?an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项, 2 为公比的等比数列.∴an ? 1 ? 2n .
即 an ? 2 ?1? n ?N *? .
n

--------------4 分

(II)? an ? 2 n ? 1, cn ? 2n ,∴ an cn ? 2n 2 n ? 1 ∴ Sn ? a1c1 ? a2c2 ? a3c3 ? ? ? ancn

?

?

? 2 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n? -----6 分 2 3 n 设 A ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ① 2 3 n 则 2A ? ② 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 ? n ? 2 n?1 2 3 n n ?1 ①-②得 ? A ? 1? 2 ? 1? 2 ? 1? 2 ? ? ? 1? 2 ? n ? 2 2?1 ? 2 n ? ? ? n ? 2 n?1 1? 2 ? ?1 ? n? ? 2 n?1 ? 2 ∴ A ? ?n ? 1? ? 2 n?1 ? 2 ∴ S n ? ?n ? 1? ? 2 n?2 ? 4 ? n?n ? 1? -------------- 9 分
(Ⅲ)? 4b1 ?14b2 ?1 ?4
bn ?1

??

?

?

? (an ? 1)bn , ∴4(b1 +b2 +?+bn )-n ? 2nbn ,
① ②

∴?[(b1 ? b2 ? ?? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ? ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1 .

②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,--------------11 分 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 , ③ ④

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0 .
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0 ,

即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 , ∴bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ??* ) ,

∴?bn ? 是等差数列.

--------------13 分

7

∵ b1 ? 2 , b2 ? 4 , ∴ bn ? 2n .

--------------15 分

(注:没有证明数列 ?bn ? 是等差数列,直接写出 bn ? 2n ,给 2 分)

8


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