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【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.13 定积分与微积分基本定理课时作业 理(含解析)新人教A版

【与名师对话】2015 高考数学一轮复习 2.13 定积分与微积分基本 定理课时作业 理(含解析)新人教 A 版
一、选择题 - 1.(2013·吉林长春第一次调研)设 a=?1x 1 3 1 2

?0

dx,b=1-?1x

?0

dx,c=?1x dx,则

3

?0

a、b、c 的大小关系为(

)

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a

解析:

答案:A 2.(2013·江西重点中学盟校第一次联考)曲线 y=sin x,y=cos x 和直线 x=0,x= π 所围成的平面区域的面积为( 2 )

解析:

1

答案:D x+1,-1≤x≤0 ? ? 3 . (2013· 河 北 保 定 高 三 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) = ? π cos x,0<x≤ ? 2 ?

,则

f(x)dx=(

)

A.

1 3 B.1 C.2 D. 2 2

解析:

答案:D 1 1 4.(2013·荆门市高三元月调考)由直线 x= ,x=2,y=0,及曲线 y= 所围图形的面 2 x 积为( ) 15 4

A.

B.

17 4

C. ln 2 D.2ln 2

1 2

2

解析:

答案:D
2x 5. (2013·黄冈模拟考试)由直线 y=2 与函数 y=2cos (0≤x≤2π )的图象围成的封闭 2

图形的面积为(

)

A.4π

B.2π

C.π

D.

π 2

2x 解析:函数 f(x)=2cos =cos x+1,故所围成封闭图形的面积为 2?π (cos x+1)dx 2 ? 0

=2(sin x+x)? 答案:B

?π ?0

=2π ,故选 B.

6.(2013·江西南昌调研)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( )

A.

10 3

B.4 C.

16 3

D.6

解析:
3

由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形如图. 由定积分几何意义得 S 阴=?4( x-x+2)dx

?0

故选 C. 答案:C 7 .(2013·西安长安第一次质检 ) 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算 “⊕”:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b ,函数 f(x)=(1⊕x)·x(其中“·”仍 为通常的乘法),则函数 f(x)的图象与 x 轴及直线 x=2 围成的面积为( )
2

A.

15 4

B.4 C.

17 4

D.8

解析:

? ?x ,x≥1 f(x)=(1⊕x)·x=? ?x,x<1 ?

3

图象如图所示
2

1 1 1 4? 3 S=S△OAC+S 曲边梯形 ACDB= ×1×1+?2x dx= + x ? 2 2 4 ?1 ?
1

1 16 1 17 = + - = ,故选 C. 2 4 4 4

答案:C
4

8.(2013·长沙市模拟)如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位 1 于函数 y= (x>0)图象下方的区域(阴影部分),从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的 x 概率为( )

A. C.

ln 2
2 1+ln 2 2

B. D.

1-ln 2 2 2-ln 2 2

解析:

答案:C 二、填空题 9.(2013·石家庄质检(二))?2(x +1)dx 的值为________.
3

?0

?1 4 ?? 解析:? (x +1)dx=? x +x?? ?4 ??0 ?0
2 3

2

=6.

答案:6 1? ? 10.(2013·青岛统一质检)若?a?2x+ ?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是________. x? ??
1

1? ?a ? 2 解析:?a?2x+ ?dx=(x +ln x)? x? ?1 ?1?
?a -1=3 ? ∴? ? ?ln a=ln 2
2

=(a +ln a)-(1+0)=a -1+ln a=3+ln 2,

2

2

∴a=2.

答案:2

5

11. (2013·重庆九校联考)二次函数 f(x)=-x +1 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的 面积为________. 解析:二次函数 f(x)=-x +1 与 x 轴的交点坐标为(-1,0),(1,0)所以它与 x 轴围成 的封闭图形的面积 S=
2

2

?-1x3+x?? ?? ? (1-x )dx=? ? 3 ??-1 ?-1
1 2

1

4 = . 3

4 答案: 3

? 2x-x2,0≤x≤1 12.(2013·江西质量监测)已知函数 f(x)=? 2 ?-x ,-1≤x≤0
与直线 y=x 围成的封闭图形的面积是________.

,则函数 f(x)图象

1 2 解析:由已知当 0≤x≤1 时,y= 2x-x 表示的为圆的 减去一个等腰直角三角形的面 4 π 1 ? 1 2 1 3?? 2 积,S1= - ;当-1≤x<0 时,S2=?0 (-x-x )dx=?- x - x ?? 3 ??-1 4 2 ? 2 ?
-1 0

1 = ,所以此封闭 6

π 1 图形的面积为 S1+S2= - . 4 3 π 1 答案: - 4 3 三、解答题 13.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f ′(0)=0,

f(x)dx=-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f ′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f ′(0)=0,
?a-b+c=2 ? 得? ? ?b=0
2 2

?c=2-a ? ,即? ? ?b=0

.

∴f(x)=ax +(2-a).



f(x)dx=∫ 0[ax +(2-a)]dx -

1

2

?1 3 =? ax + ?3

?? ?? ??0

1

2 =2- a=-2. 3
6

∴a=6,∴c=-4.从而 f(x)=6x -4. (2)∵f(x)=6x -4,x∈[-1,1], 所以当 x=0 时,f(x)min=-4;当 x=±1 时,f(x)max=2. 14.一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t -4t+3(m/s)运动.求: (1)在 t=4 s 的位置;(2)在 t=4 s 内运动的路程. 解:(1)在时刻 t=4 时该点的位置为
2 2

2

[热点预测]

15. (1)(2013·江西红色六校高三第二次联考)设函数 f(x)=(x+a) , 其中 n=6 xdx, =-3,则 f(x)的展开式中 x 的系数为(
4

n

cos

)

A.-360 B.360 C.-60 D.60
(2)

7

π π (2013·河南开封高三第一次模拟)由直线 x=- ,x= ,y=1 与曲线 y=cos x 所围 3 3 成的封闭图形如图中阴影部分所示, 随机向图形内掷一豆子, 则落入阴影内的概率是( )

A.1-
3 3 2π



3 3

B.

2π 3 3 3 3 2π

C.

D.1-

解析:(1)由 n=6

cos xdx 得 n=6,f ′(x)=6(x+a)5,
5

6·a 6 5 6 6 4 ∴f ′(0)=6·a ,f(0)=a , 6 = =-3,∴a=-2,f(x)=(x-2) ,x 的系数为 a a
2 C2 6(-2) =60,故选 D.

答案:(1)D (2)D

8


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