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高三数学复习之30分钟小练习(12)


高三数学复习之 30 分钟小练习(12)
1.设函数 f(x)=

ax ? b 的图象如下图所示,则 a、b、c 的大小关系是 x2 ? c
y

1 -1
O

1

x

-1

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

2.偶函数 y=f(x) (x∈R)在 x<0 时是增函数,若 x1<0,x2>0 且|x1|<|x2|,下列结论正确 的是 A.f(-x1)<f(-x2) C.f(-x1)=f(-x2) 3.设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= A.0 4.F(x)=(1+ B.1 B.f(-x1)>f(-x2) D.f(-x1)与 f(-x2)大小关系不确定

1 ,f(x+2)=f(x)+f(2) ,则 f(5)等于 2 5 C. D.5 2

2 ) ·f(x) (x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x) 2 ?1
x

A.是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 5.对于函数 y=f(x) (x∈R) ,有下列命题:

B.是偶函数 D.是非奇非偶函数

①在同一坐标系中,函数 y=f(1+x)与 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称; ②若 f(1+x)=f(1-x) ,且 f(2-x)=f(2+x)均成立,则 f(x)为偶函数; ③若 f(x-1)=f(x+1)恒成立,则 y=f(x)为周期函数; ④若 f(x)为单调增函数,则 y=f(ax) (a>0,且 a≠1)也为单调增函数. 其中正确命题的序号是______________. (注:把你认为正确命题的序号都填上) 6.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1、x2∈[0, 都有 f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2). (1)设 f(1)=2,求 f(

1 ] , 2

1 1 ) ,f( ) ; 2 4

(2)证明 f(x)是周期函数.

7.设函数 y=f(x)定义在 R 上,对任意实数 m、n,恒有 f(m+n)=f(m) ·f(n)且当 x>0 时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)求证:f(x)在 R 上递减; (3)设集合 A={(x,y)|f(x2) ·f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1, a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取值范围.

参考答案
1.解析:f(0)=

b a =0,∴b=0.f(1)=1,∴ =1. c 1? c
ax >0, x ?c
2

∴a=c+1.由图象看出 x>0 时,f(x)>0,即 x>0 时,有 ∴a>0.又 f(x)=

a x? c x



当 x>0 时,要使 f(x)在 x=1 时取最大值 1,需 x+ 当且仅当 x= c =1 时.∴c=1,此时应有 f(x)= 答案:B 2.解析:|x|越小,f(x)越大.∵|x1|<|x2|,∴选 B. 答案:B

c ≥2 c , x

a =1.∴a=2. 2

3.解析:∵f(x+2)=f(x)+f(2)且 f(x)为奇函数,f(1)=

1 , 2

∴f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2).∴f(2)=2f(1)=1. ∴f(5)=f(3)+f(2)=f(1+2)+ f(2)=f(1)+2f(2)= 答案:C 4. 解析:g(x)=1+ 答案:A 5.解析:①不正确,y=f(x-1)与 y=f(1-x)关于直线 x=1 对称.②正确.③正确.④不 正确. 答案:②③ 6.(1)解:由 f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) 1、x2∈[0, ,x [f(

5 . 2

2 是奇函数,∴f(x)是奇函数. 2 ?1
x

1 x x ]知 f(x)=f( ) ·f( )= 2 2 2

x ) 2≥0,x∈[0,1]. ] 2

因为 f(1)=f(

1 1 1 1 ) ·f( )=[f( ) 2,及 f(1)=2,所以 f( )=2 2 . ] 2 2 2 2
1 1

1

1 1 1 1 1 1 因为 f( )=f( ) ·f( )=[f( ) 2,及 f( )=2 2 ,所以 f( )=2 4 . ] 2 4 4 4 2 4
(2)证明:依题设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x) ? f(x)=f(2

-x) ,x∈R. 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x) ,x∈R,所以 f(-x)=f(2-x) ,x∈R.将上式 中-x 以 x 代换,得 f(x)=f(x+2) ,x∈R. 这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. 7.(1)证明:在 f(m+n)=f(m)f(n)中, 令 m=1,n=0,得 f(1)=f(1)f(0). ∵0<f(1)<1,∴f(0)=1. 设 x<0,则-x>0.令 m=x,n=-x,代入条件式有 f(0)=f(x) ·f(-x) ,而 f(0)=1, ∴f(x)=

1 >1. f (? x)

(2)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1. 令 m=x1,m+n=x2,则 n=x2-x1,代入条件式,得 f(x2)=f(x1) ·f(x2-x1) , 即 0<

f ( x2 ) <1.∴f(x2)<f(x1). f ( x1 )

∴f(x)在 R 上单调递减. (3)解:由 f(x2) ·f(y2)>f(1) ? f(x2+y2)>f(1). 又由(2)知 f(x)为 R 上的减函数,∴x2+y2<1 ? 点集 A 表示圆 x2+y2=1 的内部. 由 f(ax-y+2)=1 得 ax-y+2=0 ? 点集 B 表示直线 ax-y+2=0. ∵A∩B= ? ,∴直线 ax-y+2=0 与圆 x2+y2=1 相离或相切. 于是

2 a ?1
2

≥1 ? - 3 ≤a≤ 3 .

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