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河北省衡水中学11-12学年高二上学期四调考试(数学理)

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2011—2012 学年度第一学期第四次调研考试 高二年级数学试卷

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)

1. 已知一组数据为 ?8, ?1, 4, x,10,13且这组数的中位数是 7 ,那么数据中的众数是( )

A. 7

B. 6

C. 4

D.10

2. 一组数据的方差为 s 2 ,将这组数据中的每个数据都扩大 2 倍,所得一组新数据的方差为

()

A. s 2

B. 1 s 2 2

C. 2s 2

D. 4s 2

3. 若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使

MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( )

? ? A. ?0,0? B. ?? 1 ,1?? C. 1, 2 D. ?2,2? ?2 ?

4.

已知 F1 、 F2 的椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的焦点,M

为椭圆上一点,MF1 垂直于

x

轴,且

?F1MF2 ? 60? 则椭圆的离心率为

()

A. 1 2

B. 3 2

C. 3 3

D. 2 2

5. 设 (5x ? x )n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开

式 x3 的系数为

()

A.-150

B.150

C.-500

D.500 i=1

6. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取 IF i<8

值范围是( )

i=i+2 s=2? i+3

END IF

PRINT s

END ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █(第■7▓题)

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A.( ? 15 , 15 ) B.( 0, 15 ) C.( ? 15 ,0 ) D.( ? 15 ,?1)

33

3

3

3

7. 右边程序运行后的输出结果为( )

A、17

B、19

C、21

D、23

8. 为了解某校高三学生的视力状况,随机地抽查了该校

100 名高三学生的视力状况,得到频率分布直方图,

如右,由于不慎将部分数据丢失,但知道后 5 组的频

率成等比数列,设视力在 4.6 到 4.9 之间的学生数为

a ,最大频率为b ,则 a,b 的值分别为( )

A. 77 0.53 C. 77 5.3

B. 70 0.32 D. 70 3.2

9.

已知点 P 是双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 右支上一点, F1, F2 分别为双曲线的左、右焦

点, I 为△ PF1F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2 成立,则 ? 的值为 (



A. a2 ? b2

B. a

C. b

D. a

2a

a2 ? b2

a

b

10. 如图所示的是 2008 年北京奥运会的会徽,其中的“中国印”由四个色块构成,

可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同

架桥).如果用三条线段将这四个色块连接起来,不同的连接方法的种数共有

()

A.8 种

B.12 种

C.16 种

D.20 种

11. 直线 MN 与双曲线 C: x2 ? y 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右支分别交于 M、N 两点,与双曲线 a2 b2

C 的右准线相交于 P 点,F 为右焦点,若|FM|=2|FN|,又N→P=λ →PM(λ ∈R),则实数 λ 的

值为( )

A.12

B.1

C.2

D.13

12. 已知双曲线 x2 ? y 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双 a2 b2

曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

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A.?1, 2? B. ?1,2? C.?2, ??? D. ?2, ???

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(每题5分,共30分。把答案填在答题纸的横线上) 13. 一个工厂有若干车间,今采用分层抽样方法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量为
128 的样本进行质量检查.若一车间这一天生产 256 件产品,则从该车间抽取的产品件数 为______________. 14. 甲、乙等五名学生志愿者在校庆期间被分配到莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个不 同的岗位服务,每个岗位至少一名志愿者,则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的 分法共有__ __种.(用数字作答)

15. 在 (ax ? 1)7 的展开式中,x 3 的系数是 x 2 的系数与 x 4 的系数的等差中项,若实数 a ? 1,

那么 a =__________.

16. 过原点 O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 P: x2 ? y2 ? 1交于 A、C 与 B、D,则 四边 2

形 ABCD 面积最小值为

.

三、解答题(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本题满分 10 分)已知 (a2 ?1)n 展开式中的各项系数之和等于 (16 x2 ? 1 )5 的展开式

5

x

的常数项,而 (a2 ?1)n 的展开式的系数最大的项等于 54,求 a 的值.

18. (本题满分 12 分)一个口袋有 2 个红球和 4 个黄球,从中随机地连取 3 个球,每次取一 个,记事件 A=“恰有一个红球”,事件 B=“第三个是红球”,求: (1)不放回时,事件 A,B 的概率; (2)每次抽后放回时,事件 A,B 的概率.

19. (本题满分 12 分)已知 f n (x) ? (1 ? x)n ,

(1)若 f2011(x) ? a0 ? a1x ?

?

a x2011 2011

,求 a1

?

a3

???

a2009

?

a2011 的值;

(2)若 g(x) ? f6 (x) ? 2 f7 (x) ? 3 f8 (x) ,求 g(x) 中含 x 6 项的系数;

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20. (本题满分 12 分)为了了解某年级 1000 名学生的百米成绩 情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13, 14);第二组[14,15);……;第五组[17,18].按上述分组 方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的 前 3 个组的频率之比为 3∶8∶19,且第二组的频数为 8.
(1)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16, 17)内的人数;
(2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (3)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率.
21. (本小题满分 12 分)已知椭圆的两个焦点 F1(? 3,0), F2( 3,0) ,且椭圆短轴的两个端点 与 F2 构成正三角形.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、Q,若在 x 轴上 存在定点 E( m ,0),使 PE? QE 恒为定值,求 m 的值.
22. (本题满分 12 分)已知曲线 C : 4x2 ? y y ?1 (I)若直线 l : y ? 2x ? m 与曲线 C 只有一个公共点,求实数 m 的取值范围; (II)若直线 l : y ? kx ?1与曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 OA ?OB ? 1(其中 O 3 为坐标原点),求实数 k 的取值范围。
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2011—2012 学年度第一学期第四次调研考试 高二年级数学答案

一、 选择题 DDDCB DCBBC AC

23. 填空题 13.

14.72

15. 1 ? 10 5

16. 8 3

三、解答题

17.解:由(156x2+

1 )5,得 x

Tr+1=Cr5(156x2)5-r(

1x)r=(156)5-r·Cr5·x20-25r



令 Tr+1 为常数项,则 20-5r=0,∴r=4,∴常数项 T5=C45×156=16, 又(a2+1)n 展开式的各项系数之和等于 2n,由题意得 2n=16,∴n=4, 由二项式系数的性质可知,(a2+1)4 展开式中系数最大的项是中间项 T3,∴C24a4=54, ∴a=± 3.

18.解:(1)基本事件有

A

3 6

? 120

,事件

A

包含的基本事件有C

1 3

?

A

1 2

?

A

2 4

?

72

所以 P (A ) ? 72 ? 3 120 5

因为第三次抽到红球对前两次没有什么要求,因为红球占总球数的 1 ,每次抽到是随机 3

地等可能事件,所以 P (B ) ? 1 3

(2)基本事件有

63

?

216 种,事件

A

包含基本事件有

C

1 3

?2?4?4

?

96



所以 P (A ) ? 96 ? 4 ; 216 9

第三次抽到红球包括 B1 ={红,黄,红}, B 2 ={黄,黄,红}, B 3 ={黄,红,红}三种两两

互斥,

P

(B1)

?

2?4?2 216

?

2 27



P

(B 2 )

?

4?4?2 216

?

4 27



P

(B 3 )

?

4?2?2 216

?

2 27

所以 P (B ) ? 8 27

19 解:(1)因为 f n (x) ? (1 ? x) n ,所以 f2011(x) ? (1? x)2011 ,

又 f2011(x) ? a0 ? a1x ? ? a2011x2011 ,

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所以 f2011(1) ? a0 ? a1 ? ? a2011 ? 22011

(1)

f2011(?1) ? a0 ? a1 ? ? a2010 ? a2011 ? 0 (2) (1)-(2)得: 2(a1 ? a3 ? ? a2009 ? a2011) ? 22011 所以: a1 ? a3 ? ? a2009 ? a2011 ? f2011 (1) ? 22010 (2)因为 g(x) ? f6 (x) ? 2 f7 (x) ? 3 f8 (x) ,

所以 g(x) ? (1? x)6 ? 2(1? x)7 ? 3(1? x)8

g(x) 中含 x 6 项的系数为1? 2 ? C76 ? 3C86 ? 99 20.解:(1)百米成绩在[16,17)内的频率为 0.32? 1=0.32. 0.32? 1000=320

∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为 320 人。 ……2 分

( 2 ) 设 图 中 从 左 到 右 前 3 个 组 的 频 率 分 别 为 3x , 8x , 19x 依 题 意 , 得

3x+8x+19x+0.32 ? 1+0.08 ? 1=1 ,∴x=0.02 ……4 分

设调查中随机抽取了 n 个学生的百米成绩,则 8 ? 0.02 ? 8 n

∴n=50

∴调查中随机抽取了 50 个学生的百米成绩. ……6 分

(3)百米成绩在第一组的学生数有 3? 0.02? 1? 50=3,记他们的成绩为 a,b,c

百米成绩在第五组的学生数有 0.08 ? 1? 50= 4,记他们的成绩为 m,n,p,q

则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c

,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共 21 个

……9 分

其中满足成绩的差的绝对值大于 1 秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},

{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共 12 个,……10 分

所以 P= 12 ? 4 21 7

……12 分

21 解:(I)由题意知 c = 3 , 4a ? 8 ,(2 分)∴ a ? 2 , b =1

∴椭圆的方程为 x 2 ? y 2 =1 4
(II)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? k?x ?1?

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?x2 ?

?

y2

?1

?4

??y ? k?x ?1?

消去 y 得

设 P?x1, y1 ?,Q?x2 , y2 ?

? ? 4k 2 ? 1 x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0

则由韦达定理得 x1

?

x2

?

8k 2 4k 2 ? 1

x1x2

?

4k 2 4k 2

?4 ?1

则 PE ? ?m ? x1, ?y1 ? QE ? ?m ? x2, ?y2 ?

∴ PE ? QE ? ?m ? x1 ??m ? x2 ?? y1 y2 = m2 ? m?x1 ? x2 ? ? x1x2 ? y1 y2 = m2 ? m? x1 ? x2 ? ? x1x2 ? k2 ? x1 ?1?? x2 ?1?

=

m2

?

m

8k 4k 2

2
?1

?

4k 2 4k 2

?4 ?1

?

k

2 ??? ?

4k 2 4k 2

?4 ?1

?

8k 4k 2

2
?1

? 1????

? ? ? ? 4m2 ? 8m ? 1 k 2 ? m2 ? 4

=

4k 2 ?1

要使上式为定值须

4m2 ? m2

8m ?4

?1

?

4 1

,解得

m ? 17 8

∴ PE? QE 为定值 33 64

22.解(I)曲线为双曲线

的上半部分(含与 x 轴交点)和椭圆

半部分构成,图象如图所示,…………2 分

双曲线渐近线为

与双曲线的一条渐进线平行,

的下

联立 交点;
联立 半部分相切; 综上可得:

时,直线与完整的双曲线只能有一个

…………4 分

时直线与椭圆下

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所以实数 m 的取值范围为

…………6 分

(II)直线

与曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,由题可得只能交双曲线上半

部分于 A 和 B 两点

…………8 分

联立



由题可得

, …………10 分

所以

…………12 分

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