当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2013-2014学年高二下学期期中联考数学(理)Word版含答案_图文

宜昌市部分示范高中教学协作体 2014 年春季期中考试
高二数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 卷面满分:150 分)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
1.若 n=(1,-2,2)是平面α 的一个法向量,则下列向量能作为平面α 法向量的是 A.(1,-2,0) B.(0,-2,2) C.(2,-4,4) D.(2,4, 4)

2.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 0 ,则 A. ?p : ?x ? R, x2 ? 0 C. ?p : ?x ? R, x2 ? 0

B. ?p : ?x ? R, x2 ? 0 D. ?p : ?x ? R, x2 ? 0

3.下列关系中,是相关关系的为

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间

的关系;

③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间

的关系.

A.①②

B.①③

C.②③

D.②④

4.给定两个命题 p、q,若 ? p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 ? q 的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是 0.4,则此人三次上班途中遇红

灯的次数的期望为

A.0.4

B.1.2

C.0.43

D.0.6

6.抛物线顶点是坐标原点,焦点是椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的一个焦点,则此抛物线的焦点到抛物
线准线的距离是

A. 2 3

B. 3

C. 3 2

D. 3 4

7.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ 2).若 P(ξ>2)=0.023,则 P(-2≤ξ≤2)=

A.0.477

B.0.628

C.0.954

D.0.977

8.已知圆柱的底面半径为 2,高为 3,用一个与底面不平行的平面去截,若所截得的截面为

椭圆,则椭圆的离心率的最大值为

A. 1

B. 3 5

C. 2 3

D. 4 5

P 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面为正方

形,侧面 PAD 与底面 ABCD 垂直,M 为底面所在平面内的一个动点,

若动点 M 到点 C 的距离等于点 M 到面 PAD 的距离,则动点 M 的轨

迹为

D

A.椭圆

B.抛物线

C.双曲线

D.直线

10. 已知两点 M (1, 5), N (?4,? 5) , 给出下列曲线方程:

4

4

M AM
M

①4x ? 2y ?1 ? 0; ② x2 ? y2 ? 3; ③ x2 ? y2 ? 1; ④ x2 ? y2 ? 1.

2

2

在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

A.①③

B.②④

C.①②③

D.②③④

C B

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置

上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分)

11.设二项式

? ??

x

?

1 x

?n ??

的展开式中的常数项为



12.从 ?3、 ? 2、 ? 1、1、2、3 中任取三个不同的数作为椭圆方程 ax 2 ? by 2 ? c ? 0 中的
系数,则确定不同的椭圆的个数为______________。

13.已知数据 x1, x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 ,则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的

方差为



14.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是

15.已知ax22+by22=1(a>b>0),M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM、
PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0),若| k1 |+| k2 |的最小值为 1,则椭圆的离心率为_____
___.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16. (本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 PA 的长为 2,且 PA

与 AB、AD 的夹角都等于 600, M 是 PC 的中点,

P

设 AB ? a, AD ? b, AP ? c .
(1)试用 a, b, c 表示出向量 BM ;
(2)求 BM 的长.

M

D

C

A

B

17.(本小题满分 12 分)
已知命题 p:方程 x 2 ? y 2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆; 2m m ?1
命题 q:双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 的离心率 e ? (1,2) 。 5m
若命题 p、q 满足: p ? q为假,p ? q为真 , 求 m 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分) 已知排球场地长 18 m,在一次中国女排与古巴女排的比赛中,由中国女排队长冯坤发
球,发球中,冯坤所在的位置距离球网 11 m(垂直距离),发球点在距离地面 2.3 m 处,球 到达的最高点距离地面 4.3 m,与球网的水平距离为 3 m(靠近发球位置这边),如上图,则 此球能否发在排球场内.

19、(本小题满分 12 分) 某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的干部竞选.
(1)设所选 3 人中女生人数为? ,求? 的分布列及数学期望;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
20 (本小题满分 13 分)
如 图 , 在 四 棱锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 侧棱 PA ? 底 面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1, PA ? 2 , E 为 PD 的中点
(Ⅰ) 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ) 在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,并求出 点 N 到 AB 和 AP 的距离
21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:ya22+xb22=1(a>b>0),A(0,a),B(-b,0),且|AB|=5,S△OAB=6,直线
l:x=my+n 与椭圆 C 相交于 C、D 两点,P 为椭圆的右顶点(P 与 C、D 不重合),PC⊥PD.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)试判断直线 l 与 x 轴是否交于定点,若是,求出该点坐标,若不是说明理由.

宜昌市部分示范高中教学协作体 2014 年春季期中考试

高二数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分)1~5 CCAAB 6~10 BCBBD

二、填空题(每小题 5 分)

C C C 11、(?1)r

2n

r n

或 (?1)3

2n

3 n

或 (?1)r

r 3r

(评分时:备注条件放宽要求);

2

12、12;

13、36;

14、 2 ; 5

15、 3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

? ? ? ? 16.
解:?1? BM

?

1

BC ? BP

?1

BC ? AP ? AB

2

2

? ? ? 1 b ? c ? a 2

? ……………6分

P M

? ? ?2? BM 2 ? ? 1 b ? c ? a ?2

2

? ? = 1

22 2
b ? c ? a ? 2b c ? 2a b ? 2a c

=6

A

4

4

D

C

B

? BM= 6 2

? ……12分

17.解:由 P 得:

?m-1<>0

??1? m>2m ??2m ? 0

?

0

?

m<

1 3

由命题 Q 得:

………………………4 分

?m ? 0

? ???12

?

5?m 5

?

22

? 0<m<15

由已知得 p 假 q 真
1 ? m ? 15 3

故 m 的取值范围是 …………………………12 分

…………………………8 分

18 . 解 : 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 。 则 最 高 点 M 为 ( -

3,4.3).

…………………………2 分

故方程可设为 y=a(x+3)2+4.3(a<0).………4 分

发球点的坐标 C 为(-11,2.3),

代入方程可得 a=-312,

…………7 分

∴抛物线方程为 y=-312(x+3)2+4.3,………8 分

令 x=9,则 y=-312(9+3)2+1403<0, ………10 分

故球能发在场内.

…………12 分

19、解:(1)解: ? 的所有可能取值为 0,1,2.

…………………………1



( ) ( ) ( ) 依题意得: P

x=0

=C

3 4



1

,P

x=1

=C

42C

1 2



3

,P

x=2

=C

41C

2 2



1

C

3 6

5

C

3 6

5

C

3 6

5

ξ

0

1

2

P

1

3

1

………………4

5

5

5





Eξ=0× 1 +1× 3 +2× 1 =1

5

5

5



……………………6

(2)解法 1:设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙也被选中”为事件 B。

P

?

A?=

C52 C63



1 2

,P

?

AB

?=

C41 C63



1 5





P

?

B|A?=

P ? AB?= P? A?

2 5

? ………10分

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 2 . 5

…………………12


解法 2:设“男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中”为事件 C ,

从 4 个男生、2 个女生中选 3 人,男生甲被选中的种数为 C52 ? 10 ,


………8

男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 C14 ? 4 ,


………………………………10

∴ P?C?

?

C14 C52

?4 10

?

2. 5

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 2 . 5



………………12

20 解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A, B,C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、 B( 3, 0, 0) 、 C( 3,1, 0) 、

D(0,1, 0) 、 P(0, 0, 2) 、 E(0, 1 ,1) , 2

…………2 分

从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2).

……4 分

设 AC与PB 的夹角为? , 则

cos? ? AC ? PB ? 3 ? 3 7 , | AC | ? | PB | 2 7 14

…………6 分

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为 3 7 14

………………7 分

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 (x, 0, z) ,

则 NE ? (?x, 1 ,1 ? z) , 2

由 NE ? 面 PAC 可得,

??NE ? AP ? 0, ? ??NE ? AC ? 0.

即????(? x, ???(? x,

1 2 1 2

,1 ? ,1 ?

z) z)

? (0,0,2) ? 0,

?z ?1 ? 0,

? ( 3,1,0) ? 0.化简得?????

3x ? 1 2

?

0.

………………8

?



?x ?

?

3 6

??z ? 1



即 N 点的坐标为 ( 3 ,0,1) , 6

………………12

从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为1, 3 6

………………13

分 a2+b2=52
??? 21.解:如图:(1)由已知得, 12ab=6 , ??a>b>0

∴a=4,b=3. y2 x2
∴椭圆为16+ 9 =1.

………4 分 …………5 分

(2)由(1)知,P(3,0),设 C(x1,y1),D(x2,y2), ??x=my+n
由???1y62 +x92=1,消去 x 并整理,得(16m2+9)y2+32mny+16n2-144=0, ∴y1+y2=-163m22m+n 9,y1y2=1166nm2-2+1944.

………8 分

∵PC⊥PD,∴→PC·→PD=0, 即(x1-3,y1)·(x2-3,y2)=0,

∴(x1-3)(x2-3)+y1y2=0.

………………10 分

又∵x1=my1+n,x2=my2+n, ∴(my1+n-3)(my2+n-3)+y1y2=0,

即(m2+1)y1y2+m(n-3)(y1+y2)+(n-3)2=0,

∴(m2+1)1166nm2-2+1944-m(n-3)×163m22m+n 9+(n-3)2=0,

由于 P、C、D 不重合,∴n≠3. ∴16(m2+1)(n+3)-32m2n+(16m2+9)(n-3)=0.

…………………12 分

即 25n+21=0,∴n=-2251.

∴直线 l 与 x 轴的交点是定点,其坐标为???-2215,0???.

………………14 分