高三数学复习之30分钟小练习(13)

高三数学复习之 30 分钟小练习（13）
1．若 f (x) 是在 ?? l, l ? 内的可导的偶函数，且 f ?(x) 不恒为零，则 f ?(x) A. 必定是 ?? l, l ? 内的偶函数 C. 必定是 ?? l, l ? 内的非奇非偶函数 B. 必定是 ?? l, l ? 内的奇函数 D. 可能是奇函数，也可能是偶函数

2.f/（x）是 f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

3．函数 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2) ? ? ? ( x ? 100) 在 x ? 0 处的导数值为 A. 0 B. 100
2

C. 200

D. 100!

4.已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (0, ? 2) 处的切线， l 2 为该曲线的另一条切线，且

l1 ? l 2 （Ⅰ）求直线 l 2 的方程；
（Ⅱ）求由直线 l1
王新敞
奎屯 新疆

l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积

王新敞
奎屯

新疆

5.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ，过曲线 y ? f (x) 上的点 P(1, f (1) ) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 （1）若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值，求 f (x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求 y ? f (x) 在 [?3 , 1] 上最大值； （3）若函数 y ? f (x) 在区间 [?2, 1] 上单调递增，求 b 的取值范围

参考答案
B 4
王新敞
奎屯 新疆

D D (I) 解： 设直线 l1 的斜率为 k1 ，直线 l2 的斜率为 k2 ，

y ' ? 2x ? 1 ，由题意得 k1 ? y ' |x?0 ? 1 ,得直线 l1 的方程为 y ? x ? 2

? l1 ? l2 ? k2 ? ?

1 ? ?1 k1

王新敞
奎屯

新疆

令2 x ? 1 ? ?1, 得x ? ?1 , 将x ? ?1代入y ? x2 ? x ? 2, 得y ? ?2

? l2 与该曲线的切点坐标为 A(?1, ?2), 由直线方程的点斜式,
得直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? 3
王新敞
奎屯 新疆

（Ⅱ）由直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 ,令 y ? 0, 得x=2

由直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? 3 ，令 y ? 0, 得x= ? 3 由?

? y ? x?2 5 得y?? 2 ? y ? ?x ? 3
王新敞
奎屯 新疆

设由直线 l1

l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积为 S，则

1 5 25 s ? ? ? ? [2 ? (?3)] ? 2 2 4
5 解： （1）

由f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c求导数得f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b 过y ? f ( x)上点P (1, f (1))的切线方程为: y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1)即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) 而过y ? f ( x)上P (1, f (1))的切线方程为: ?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0?? (1) 故? 即? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ?a ? b ? c ? 3?? ( 2) ? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f ?(?2) ? 0 ? ?4a ? b ? ?12?? (3) 由(1)(2)(3)相联立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5
（2） f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2)
2 2

x
f ?(x) f (x)

[?3,?2)

－2 0 极大

2 (?2, ) 3
－

2 3
0 极小

2 ( ,1] 3
+

+

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13
f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4
? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13 [ （3） y ? f ( x)在区间 ?2,1] 上单调递增
又 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b,由(1)知2a ? b ? 0
2 2

? f ?( x) ? 3x 2 ? bx ? b

依题意 f ?( x)在[?2,1]上恒有f ?( x) ? 0,即3x ? bx ? b ? 0在[?2,1] 上恒成立. ①在 x ?

b ? 1时, f ?( x) 小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 6

?b ? 6

②在 x ?

b ? ?2时, f ?( x) 小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ? b ? 6

③在 ? 2 ?

b 12b ? b 2 ? 1时, f ?( x) 小 ? ?0 6 12

则0 ? b ? 6.

综合上述讨论可知，所求参数 b 取值范围是：b≥0
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