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第8章第45讲直线的斜率与直线的方程_图文

求直线的方程 【例1】 求分别满足下列条件的直线 l 的方程. (1)直线 l 过点 P(1,2),倾斜角是直线 l1:3x+4y+5 =0 的倾斜角的一半; (2)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y -2=0 与 l2: x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分. 【解析】(1)设直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α. 设直线 l1:3x+4y+5=0 的倾斜角为 β, 3 则 tanβ=-4,且 β=2α. 2tanα 3 1 由 tanβ=tan2α= 2 =- ,得 tanα=- 或 3. 4 3 1-tan α 1 若 tanα=-3,则 90° <α<180° , 从而 180° <β<360° ,不合题意,所以 k=tanα=3. 又直线 l 过点 P(1,2),由点斜式得直线 l 的方程为 y -2=3(x-1),即 3x-y-1=0. (2)方法 1:设点 A(x,y)在 l1 上, ? ?x+xB=3 ? 2 由题意知? ?y+yB =0 ? ? 2 ,所以点 B(6-x,-y), ? ?x=11 ?2x-y-2=0 3 ? 解方程组? 得? 16 ? ?6-x+?-y?+3=0 y= 3 ? ? 16 3 -0 ,k=11 =8. 3 -3 所以所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. 方法 2:设所求的直线方程 y=k(x-3), ? ?x =3k-2 ?y=kx-3k ? A k-2 则? ,解得? 4k ?2x-y-2=0 ? yA= ? k-2 ? ? ?x =3k-3 ?y=kx-3k ? B k+1 由? ,解得? -6k ?x+y+3=0 ? ?yB=k+1 ? ; . 4k 因为 P(3,0)是线段 AB 的中点,所以 yA+yB=0,即 k-2 -6k + =0, k+ 1 所以 k2-8k=0,解得 k=0 或 k=8. xA+xB 1-3 又因为当 k=0 时,xA=1,xB=-3,此时 2 = 2 ≠3,所以 k=0 舍去, 所以所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. 方法 3:设点 A(x1,y1)在 l1 上,点 B(x2,y2)在 l2 上, ?2x1-y1-2=0 ? ?x2+y2+3=0 则? ?x1+x2=6 ? ?y1+y2=0 ? ?x =11 ? 1 3 ,解得? 16 ? y= ? ? 1 3 ? ?x =7 ? 2 3 或? 16 ? y =- 3 ? ? 2 , 16 16 -3-3 所以 k=kAB= 7 11 =8, 3- 3 所以所求的直线方程为 8x-y-24=0. 本题考查直线方程的基础知识和基本方法,主 要考查点斜式和两点式.第 (1) 问已知直线过一定点, 倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半,用三角函数 公式可以把它们的斜率联系起来,故而想到设点斜 式方便一些.应该注意的是,倾斜角是另一直线的 倾斜角的一半,并不意味着斜率也是一半!本小题 方法较多.第一种方法是:设点A(x,y)在l1上,则点 A 关于点 P 的对称点 B(6 - x ,- y) 在 l2 上,代入 l2 的方 程,联立求得交点,从而求得直线方程. 【变式练习1】 过点 M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交 x、y 的 正半轴于 A、 B, 若四边形 OAMB 的面积被直线 AB 平分, 求直线 AB 方程. x y 【解析】设方程为a+b=1(a>0,b>0) 所以 A(a,0)、B(0,b). → ⊥MB → ,所以(a-2)· 因为MA (-2)+(-4)· (b-4)=0?a =10-2b, 因为 a>0,0<b<5, AB 方程的一般式为 bx+ay-ab=0, |2b+4a-ab| 所以 M 到 AB 的距离 d= , 2 2 a +b 1 所以△MAB 的面积 S1=2d|AB| 1 =2|2b+4a-ab| =|b2-8b+20|=b2-8b+20, 1 而△OAB 的面积 S2=2ab=5b-b2, 因为直线 AB 平分四边形 OAMB 的面积, ? 5 ?b=4 ?b= 所以 S1=S2,可得? 或? 2 ?a=2 ?a =5 ? , 故所求 AB 方程为 x+2y-5=0 和 2x+y-4=0. 基本不等式与直线方 程的综合问题 【例2】 设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的 方程; (2)若 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点, 求△OMN 面积取最大值时,直线 l 的方程. 【解析】(1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两 坐标轴上的截距都为 0,此时 2+a=0,解得 a=-2, 此时直线 l 的方程为 x-y=0; 当直线 l 不经过坐标原点,即 a≠-2 时,由直线在 2 +a 两坐标轴上的截距相等可得: =2+a,解得 a=0, a +1 此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 所以,直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. 2+a (2)由直线方程可求得 M( ,0)、N(0,2+a),又因 a+1 为 a>-1, 2 2 + a a + 1 +2a+1+1 1 1 故 S△OMN=2× ×(2+a)=2× a+1 a +1 1 1 =2×[(a+1)+ +2] a+1 1 ≥2×[2 1 ?a+1?× +2]=2, a+1 1 当且仅当 a+1= , 即 a=0 或 a=-2(舍去)时等 a+1 号成立.此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. (1) 截距相等,包括过原点的情形; (2) 应 用基本不等式求最值一定要注意条件的验证. 【变式练习2】 已知直线 l 过点 M(1,1) ,且与 x 轴的正半轴 交于 A 点,与 y 轴的正半轴交

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