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利用均值不等式求最值


学科:数学 年级:高二 期数:3 课题:利用均值不等式求最值 一、知识归纳 1.最值定理:已知 x,y? R+,x+y=s,x-y=P, (1)如果 P 是定值,那么当且仅当 x=y 时,s 值最小; (2)如果 s 是定值,那么当且仅当 x=y 时,P 的值最大; 2.求最值所用关系式 (1) a ? b2 ? 2ab
2

(a, b ? R);

ab ?

a2 ? b2 ; 2

(2)

a?b ? ab 2
3 3 3

(a, b ? R ? ) ; ab ? (
?

a?b 2 ) ; 2
a3 ? b3 ? c3 ; 3
3

(3) a ? b ? c ? 3abc, (a, b, c ? R ) , abc ?

a?b?c 3 ?a?b?c? (4) ? abc , (a, b, c ? R ? ) , abc ? ? ? 。 3 3 ? ?
当且仅当 a=b=c 时,取等号。 3.求最值的步骤: 条件——常量——等号——结论。 二、例题分析: 例 1:求函数 y ? 1 ? 2 x ? 解:∵x>0, ∴ 2x>0, ∴ 2x ?

3 x

( x ? 0) 的最大值。

3 ? 0. x

3 2 3 ? (2 x) ? ( ) ? 2 6 . x x



y ? 1 ? 2x ?

3 ? 1? 2 6 . x

当且仅当 2 x ?

6 3 2 时,即 2 x ? 3 ,也即 x ? 时, y max ? 1 ? 2 6 。 2 x
2

例 2: 求 f ( x) ? sin x ? cos x(0 ? x ? 解:∵ 0 ? x ?

?
2

) 的最大值。

?
2

,∴0 ? sin x ? 1, 0 ? cos x ? 1,

∴ f ( x) ? 0

? f ( x)?2 ? sin 2 x ? cos4 x ? 1 ? 2 sin 2 x ? cos2 x ? cos2 x
2
? 1 2 sin 2 x ? cos2 x ? cos2 x 3 4 ( ) ? 2 2 27

当且仅当 2 sin x ? cos x 时,取“=”号。
2 2

∵ 0? x?

?
2

, ∴ 当 x ? arcty

2 2 3 时, f (x) 取最大值 。 2 9

例 3: 已知:4a+b=ab (a>0, 且 a ? 1, b>0, b ? 4) ,求 a+b 的最小值。 解: ∵

b . ∵ a ? 0, b ? 0 , ∴ b ? 4 ? 0 b?4 b 4 4 ∴ a?b ? ? b ? 1? ?b ? ? (b ? 4) ? 5 b?4 b?4 b?4
4a+b=ab,∴ a ?

? 4 ? ?2 ? ? ? (b ? 4) ? 5 ? 4 ? 5 ? 9 ?b?4?
当且仅当

4 ? b ? 4, 即 b=6, a=3 时, 取“=”号,∴ a+b 的最小值为 9。 b?4

? 例 4:设 x、y ? R ,且 2 x ? 3 y ? 4 15 ,求 t g x ? t g y 的最大值。

解: t g x ? t g y = tg ( xy) ? tg (2 x ? = tg[
2 1 2 15 ] ? 1 6

?

?

3y 1 2x ? 3y 2 ? tg[ ( ) ]) 6 6 2

2 15 时, t g x ? t g y 取到最大值 1。 3 3 例 5: 某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是 ? 立方分米,用来做底的金 2
当且仅当 2x=3y,即 x= 15 , y ? 属每平方分米价值 3 元,做侧面的金属每平方米价值 2 元,按着怎样的尺寸制造,才能使圆 桶的成本最低。 解:设圆桶的底半径为 r 分米,高为 h 分米,圆桶的成本为 m 元,则 m=3 ?r ? 2 ? 2?rh
2

求桶成本最低,即是求 m 在 r、h 取什么值时最小。 将h ?

3 代入 m 的解析式,得 2r 2 3 6? m ? 3?r 2 ? 2(2?r )( 2 ) ? 3?r 2 ? r 2r
= 3?r ?
2

3? 3? 3? 3? ? ? 33 (3?r 2 ) ? ? ? 9? r r r r
2

3? 3? 3? 时,取“=”号。 ? ? r r r 3 ∴当 r=1(分米) ,h= (分米)时,圆桶的成本最低为 9 ? (元) 。 2
当且仅当 3?r ? 例 6:如图,在平面直角坐标系中,在 Y 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点 A、 B,试在 x 轴的正半轴(坐标原点除外)上求一点 C,使 ?ACB 取最大值。

解:设 A(0,a) ,B(0,b) (a>0, b>0, a, b 为常数), 动点 C(x, 0) (x>0) 证 ?ACB = ? , ?BCO ? ? ,则 ?ACO ? ? ? ? ,显然 0 ? ? , ? ? ∴ tg? ?

?
2

.

b , x

tg (? ? ? ) ?

a x

a b ? tg (? ? ? ) ? tg? ∴ tg? ? tg[(? ? ? ) ? ? ] ? ? x x a b 1 ? tg (? ? ? ) ? tg? 1? ? x x
=

a?b a?b ? . ab 2 ab x? x

当且仅当 x ? ∵ ? ? (0,

?
2

ab 时,即 x ? ab 时,取等号。 x

),


y ? tg? 是增函数,∴当 x ? ab 时, ?ACB 的最大值是

arctg

a?b 2 ab

三、练习 1.若 a ? 1 ,则 a ?

1 的最小值是( a ?1
(C)2



(A)2
?

(B)a

a . a ?1

(D)3

2.若 x, y ? R ,且 x+y=5,则 tgx ? tgy 的最大值是( (A) tg5 (B) 2 ? 4tg
2

) (D)不存在

(C) 2(1 ? 2 ) )

3.使乘积 ab 没有最大值的一个条件是( (A) a ? b 为定值;
2 2

(B)a>0,b>0, a+b 为定值; (C)a<0, b<0, a+b 为定值 (D)a>0, b<0, a+b 为定值 4.下列命题中正确的是 (A)函数 y ? x ? (B)函数 y ?

1 的最小值为 2 x
的最小值为 2

x2 ? 3 x2 ? 2

4 ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 (D)函数 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 。 x
(C)函数 y ? 2 ? 3x ? 5.设 n 个实数 x1,x2,?xn 的算术平均值是 x ,若 a 是不等于 x 的任意实数,并记
2 2 2 ? p= ( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ? ? ? ( x n ? x) , ? ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? ? ? ? ( xn ? a) , 则一
2 2 2

定有: (A) p ? ? 6.0 ? x ? (B) p ? ? (C) p ? ? (D ) p ? ?

1 2 ,函数 y ? x (1 ? 3x) 的最大值是__________. 3

7.x>1, y>1 且 tgy3 x ? tgy3 y ? 1 , 那么 xy 的最小值是_____________. 8.函数 y ? (1 ? cos x) ? sin
2

x 的最大值是_______. 2
2

9.已知 2 x ? 4 y ? 1, x ? y ? t , 则 t 的最大值是________. 10.已知圆锥的底面半径为 R, 高为 H, 内接于这个圆锥并且体积最大的圆柱的高 h,并 求此圆柱体积的最大值. 四、练习答案与提高: 1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.

4 243

7.9

8.

4 3 9

9.

1 . 20

10.解:如图 设圆柱高为 h,底面半径为 r,体积高为 v, ∵ ?SBO1 ∽ ?SAO ∴

BO1 SO1 r H ?h R ? ,即 ? ,∴ r ? ( H ? h) AO SO R H H
2

V= ?r h ? ? ?

R2 ?R 2 ( H ? h) 2 ? 2h ? ( H ? h)( H ? h) ? 2h. H2 2H 2

∵H-h,2h 均为正数,且 H ? h ? H ? h ? 2h ? 2H 为定值。 ∴ 当 H ? h ? 2h, 即 h ?

H 4 时,V 圆柱取得最大值为 ?R 2 H . 3 27


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