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高一数学基本概念——第3章 函数的基本性质_图文

高中数学基本概念
第 3 章 函数的基本性质
3.1 函数的概念 1、概念:
在某个变化过程中有两个变量 x,y,如果对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个确定的 值,按照某个对应法则 f,y 都有唯一确定的实数值与它对应,那么 y 就是 x 的函数,记作 y=f(x)。 (1)x 叫做自变量,y 叫应变量,x 的取值范围 D 叫做函数的定义域。 (2)和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 函数的概念中要点强调:x 值的任意性;y 值的唯一性;x 与 y 之间存在的对应关系。
2、函数的图像
总结概括:当 x 与 y 之间存在一对一和多对一的对应关系时,y 就是 x 的函数。
3、函数的三要素 对应法则、定义域和值域是函数的三要素。 其中对应法则是核心。在多数的情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就
随之确定。函数的三要素是判断两个函数是否为同一函数的判断依据,两函数相同的充要条 件是函数的三要素相同,但因为函数的定义域和对应法则一旦确定,函数的值域也就 随之确定,因此判断两函数相同,则只要看定义域和对应法则是否一致。
4、函数的表示法 函数的三种常见的表示方法:解析法、列表法和图像法。
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(1)解析法是将两个变量的函数关系,用一个等式表示。在中学阶段,所研究的函数主要 是能够用解析式表示的函数。解析法的两个优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系; 二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。 例如:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 (2)列表法就是列出表格表示两个变量的函数关系。列表法的优点是不需要计算就可以直 接看出与自变量的值相对应的函数值。列表法比较适用于离散型,且定义域是有限集的变量, 特别是变量之间的对应难以用解析 式统一刻画的函数。这种表格常常用到实际生产和生活 中去,如:银行的利率表、列车时刻表等。 (3)图像法就是用图像来表示两个变量的函数关系。其优点是直观形象地表示自变量的变 化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图像来研究函数的某些性质。图像法 也常常用到生产和生活中去,如:人口出生率变化曲线、股市走向图等。 5、理解函数符号 y=f(x) f(x)与 f(a)的区别及联系: (1)f(a)表示当自变量 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量。 (2)f(x)是自变量 x 的函数。在一般情况下,它是一个变量,f(a)是 f(x)的一特殊值。 3.2 函数关系的建立
3.3 函数的运算
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3.4 函数的基本性质 一、奇偶性 1、偶函数: 对于函数 y=f(x)的定义域 D 内的任意实数 x,都有 f(-x)=f(x),那么就把函数 y=f(x)叫做偶函数。
2、奇函数: 对于函数 y=f(x)的定义域 D 内的任意实数 x,都有 f(-x)=-f(x),那么就把函数 y=f(x)叫做奇函数。
3、总结: (1)函数定义域 D 关于原点对称是这个函数为偶函数(奇函数)的必要条件;
(2)如果函数是偶函数,那么 y=f(x)的图像关于 y 轴成轴对称图形。反过来,如果一个函数 的图像关于 y 轴成轴对称图形,那么这个函数必是偶函数。
如果函数是奇函数,那么 y=f(x)的图像关于原点成中心对称图形。反过来,如果一个函 数的图像关于原点成中心对称图形,那么这个函数必是奇函数。
(3)函数值恒为 0,D 关于原点对称,则这个函数即是奇函数又是偶函数。
(4)f(x),g(x)设定义域是 D1,D2 的奇函数,那么在公共定义域上, f(x)+g(x)是奇函数,f(x)*g(x)是偶函数,
类似地有:奇+奇=奇,奇*奇=偶,偶+偶=偶, 偶*偶=偶,奇*偶=奇
(5)对于复合函数 y=F(g(x)),若 g(x)为偶函数,则 F(x)为偶函数;若 g(x)为奇函数,f(x)为奇 函数,则 F(x)为奇函数;若 g(x)为奇函数,f(x)为偶函数,则 F(x)为偶函数。
二、单调性
1、函数单调性的定义:

2、单调函数和单调区间:

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注意 1:函数的单调性是针对某个区间而言的,有些函数 在整个定义域上没有单调性,但在定义域的某些区间上 存在单调性。 注意 2:函数的单调区间不一定能合并! 3、用定义证明函数 y=f(x)在某一区间上是增函数或减函数的步骤: 第一步:任取定义域内某区间上的两变量 x1,x2,设 x1<x2; 第二步:判断 f(x1) – f(x2)的正、负情况; 第三步:根据定义得出结论。
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(1)学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论的双向使用,即如果 f(x)在区间 D 上是

增(减)函数,则对

反之,对

(2)若函数 y=f(x)和 y=g(x)在公共区间 D 内都是增(减)函数,则函数 y= f(x)+g(x)在 D 内是 增(减)函数。
(3)若两个正值函数 y=f(x)和 y=g(x)在公共区间 D 内都是增(减)函数,则函数 y=f(x)*g(x)在 D 内是增(减)函数。
(4)若两个负值函数 y=f(x)和 y=g(x)在公共区间 D 内都是增(减)函数,则函数 y=f(x)*g(x)在 D 内是减(增)函数。

4、函数的最值: 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取
值范围确定函数的最值;
(2)判别式法:若函数 y=f(x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a(y)x2+ b(y)x+c(y)=0,则在 a(y)≠0 时,由于 x、y 为实数,故必须有Δ =b2(y)-4a(y)· c(y)≥0,从而确定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的 x 值.
(3)不等式法:利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.
(4)换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数 的最值问题转化为三角函数的最值问题.
(5)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出函数的最值.
(6)函数的单调性法.
三、函数的零点 1、定义:
一般的对于函数 y ? f (x)(x ? D), 如果存在实数 c(c ? D),当x ? c时候,f (c) ? 0, 当x ? c叫做函数y ? f (x)(x ? D)的零点 (zero point)。
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方程f (x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f (x)的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f (x)有零点
函数的零点是函数图像和 x 轴的交点的横坐标。
? 求函数的零点就是求函数和横轴的交点的横坐标。 ? 不是任何函数都有和横轴有交点。 ? 函数和横轴的交点有的话,未必只有一个。
2、零点存在的判定定理
一般地,函数y ? f ?x?在区间?a,b?上的图像是 一条连续不断的曲线,且有f ?a?? f ?b? ? 0,那么 在区间?a,b?内至少存在一个实数c,使得f ?c? ? 0.
即函数y ? f ?x?至少有一个零点。

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3、二分法求函数的零点 把函数在某一个区间的零点求出,实质上可以用二分法不断通过缩小零点存在的区间找
到两个非常接近零点的区间端点,从而确定了函数的零点.再从另一角度可以得到方程的解. 通常情况,解一个方程的根的问题可以转换为求一个函数的零点问题.

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