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高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修 4 知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a ? b ? a ?b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: ? a ? b ? ? c ? a ? ?b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . a ? ? x1, y1 ? , C . ⑸坐标运算:设 b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? a ? 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 ? b a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ?x 1 x2 y ,1 ? y2 . ?? ?x , y ? ?x , y ? 则 ? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 1 1 , 2 2 , 19、向量数乘运算: ?. a ? b ? ?C ? ?? ? ?C ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a a ? ? x, y ? ;② ?? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b . . ⑶坐标运算:设 ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? 20、向量共线定理:向量 a a?0 ? ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a . 设 a ? ? x1, y1 ? b ? ? x2 , y2 ? , b b ?0 x y ? x2 y1 ? 0 时, , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 1 2 向量 a 、 ? ? 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? e e 2e 2 . (不共线的向量 1 、 2 作 为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ? ? ? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? 1? ? ? . 时,就为中点公式。) ? 1? ? 当 1 (当 ? ? 1 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 ? ? .零向量与任一向量的数量积为 0 . a ?b ? a b . ; 2 ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时, 当 a 与 b 反向时, a ?b ? ? a b ; a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ?a .③ a ?b ? a b ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ⑷坐标运算:设两个非零向量 若 ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b , ? ? ? ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ,则 a ? ? x1, y1 ? ,或 b ? ? x2 , y2 ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . , a ? ? x, y ? ,则 a ? x2 ? y 2 2 a ? x2 ? y 2 . 设 a ? ? x1, y1 ? b ? ? x2 , y2 ? ,则 a?b ? x 1x 2 ? y 1 y 2 ?0 . a ? ? x1, y1 ? b ? ? x2 , y2 ? ? 设 a 、 b 都是非零向量, , , 是 a 与 b 的夹角,则 cos ?? a ?b a b ? x1 x2 ? y1 y2 2 x12 ? y 12 x 2 ?y 2 2 . 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ⑶ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? ;⑵ ;⑷ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ; ⑸ ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; tan ?? ? ? ? ? ⑹ ( ) .

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