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高一数学知识点总结--必修5 - 副本


高中数学必修 5 知识点
第二章:数列 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1(或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数 列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 12、 由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, 则 ? 称为 a 与 b a?c 的等差中项.若 b ? ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2 13、若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ?1? d . 通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?
n? an ? a1 a ? am ? 1 ;⑤ d ? n . d n?m an ? a1 ;④ n ?1

S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 n (其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ) . ? S偶 n ? 1

17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数 列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 18、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比 中项.若 G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. 19、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 . 20、通项公式的变形:① an ? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n?1 ?
an a ;④ q n ? m ? n . a1 am

21、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;
2 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an ? ap ? aq ;下角标成等

差数列的项仍是等比数列;连续 m 项和构成的数列成等比数列。 ?na1 ? q ? 1? ? 22、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . 1 n ? ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
q ? 1 时, Sn ?

a1 a ? 1 q n ,即常数项与 qn 项系数互为相反数。 1? q 1? q

14、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? ap ? aq ; 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an ? ap ? aq ;下角标成
*

23、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 ② Sn?m ? Sn ? qn ? Sm .

S偶 S奇

?q.

等差数列的项仍是等差数列;连续 m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?
n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列.

16、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? ,且

? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ? 24、 an 与 Sn 的关系: an ? ? ? n ? 1? ? ? S1

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n .②若项数为 2n ? 1? n ? ? * ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S偶 an?1

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一些方法: 数列求通项的方法: 1、由递推公式求通项公式: ①若化简后为 an?1 ? an ? d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为 an?1 ? an ? f (n), 形式,可用叠加法求解; ③若化简后为 an?1 ? an ? q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解; ④若化简后为 an?1 ? kan ? b 形式,则可化为 (an?1 ? x) ? k (an ? x) ,从而新数列 用等比数列求解 {an ? x} 的通项公式, 再反过来求原来那个。 {an ? x} 是等比数列, (其中 x 是用待定系数法来求得) 2、由求和公式求通项公式: ① a1 ? S1 ② an ? S n ? S n?1 ③检验 a1是否满足an , 若满足则为 an , 不满足用

如: an ?

1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? , an ? 等; ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?

④分组求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:

an ? 2n ? n ?1 等;
第三章:不等式 1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: ??0 ??0 ??0 判别式 ? ? b2 ? 4ac 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象

分段函数写。 3、 an ? an?1 ? f ? n? 形式, f ? n ? 便于求和,方法:迭加; 例如: an ? an?1 ? n ? 1 有: an ? an?1 ? n ? 1 a2 ? a1 ? 3
a3 ? a2 ? 4 an ? an ?1 ? n ? 1 各式相加得an ? a1 ? 3 ? 4 ? ? n ? 1 ? a1 ?

? n ? 4 ?? n ? 1?
2

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?

有两个相异实数 根 ?b ? ? x1,2 ? 2a ? x1 ? x2 ?

有两个相等实数 b 根 x1 ? x2 ? ? 2a

没有实数根

数列求和的方法: ①倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值; ②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:

an ? ? 2n ?1? ? 3 ;
n

一元二次 不等式的 解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ? x2 ?

?

③裂项相消:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。 4、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约
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束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. a?b 5、设 a 、 b 是两个正数,则 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 2 的几何平均数. a?b ? ab . 6、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2 7、常用的基本不等式: ① a2 ? b2 ? 2ab ? a, b ? R? ; ② ab ?
a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ? 8、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 . 4 ⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

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