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龙山中学2013-2014学年高一数学上学期期末试卷(含答案)


龙山中学 2013-2014 学年度第一学期期末 高一数 学 试 题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 B ? CU A 为( A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4? C. ?0, 2, 4? D. ?0, 2,3, 4? )

2. 已知角 ? 是第二象限角,角 ? 的终边经过点 P ? x,4? ,且 cos ? ? A.

4 3

B.

3 4

C. ? (

3 4


x ,则 tan ? ? ( 5 4 D. ? 3



3. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? cos x ? 1 B. y ? ? x3

C. y ? x | x |

D. y ? ( D. ) D.

1 x


4. 若 a ? (1, 2), b ? (?1,1), ka ? b与a ? b 垂直,则 k 的值是 A.2 B.1
? 1 2

?

?

?

? ? ?

C.0 等于(

1 4

5. 已知 log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x A.

1 3

B.

2 4

C.

3 3

3 6

6. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 的部分图象如右图所示,则 f ( x ) 的解析式为( A. f ( x ) ? sin( 2 x ? C. f ( x ) ? sin( )

π ) 2

? ) 3

B. f ( x ) ? sin(

1 ? x? ) 2 3 ? ) 3

1 ? x? ) 2 3

D. f ( x ) ? sin( 2 x ?

7. 直角梯形 ABCD ,如图 1,动点 P 从 B 点出发,由 B ? C ? D ? A 沿边运动,设动 ?ABP 面积为 f ( x) , 点 P 运动的路程为 x , 已知 f ( x ) 图象如图 2, 则 ?ABC 面积为 ( ) A.10 B.16 C.20 D. 32

1

8.

3 ? sin 70? ? 2 ? cos 2 10?
1 2
B.

(

)

A.

2 2

C. 2

D.

3 2

9. 有如下命题: ①若 0 ? a ? 1, 对任意x ? 0, 则a x ? 1 ; ②若函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 的图象过定点 P(m, n) ,则 log m n ? 0 ; ③函数 y ? x ?1 的单调递减区间为 (??,0) ? (0, ??) , ④函数 y ? 2 x 与 y ? log2 x 互为反函数. A.1 B.2 其中正确命题的个数为 ( ) C.3 D.4

10. 设定义在区间 (?b, b) 上的函数 f ( x ) ? lg 取值范围是 A. (1, 2 ] ( ) B. ?

1 ? ax b 是奇函数 ( a, b ? R, a ? ?2 ) , 则a 的 1 ? 2x

? 2 ? , 2 ? C. (1, 2 ) ? 2 ?

D. (0, 2 )

二、填空题 : (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 函数 f ( x) ?

x ? 2 ? lg(4 ? x) 的定义域是



12. a ? log1 2 , b ? ( ) 2 , c ? ( ) 2 ,则 a, b, c 的大小关系为
3

1 3

1

2 3

1



13. 如右图,半圆的直径为 AB ? 2 , O 为圆心, C 为半圆上不同于

A, B 的 任 意 一 点 , 若 P 为 半 径 OC 上 的 动 点 , 则

( PA ? PB) ? PC 的最小值为
14. 已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ①图象 C 关于直线 x ?



?
3

) 的图象为 C,关于函数 f ( x) 及其图象的判断如下:
②图象 C 关于点 (

11? 对称; 2

③由 y ? 3sin 2 x 得图象向右平移 ④函数 f(x)在区间( ?

, )内是增函数; 12 12

? 5?

? 个单位长度可以得到图象 C; 3
? . 2

2? , 0) 对称; 3

⑤函数 | f ( x) ? 1| 的最小正周期为 其中正 确的结论序号是____

. (把你认为正确的结论序号都填上)
2

三、解答题(本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 12 分) 已知函数 y ? 2 sin(

1 ? x ? ) ( x ? R) 2 4

(1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图; 列表;
1 ? x? 2 4
x

y

作图:

(2)说明该函数的图像可由 y ? sin x( x ? R) 的图像经过怎样的变换得到.

16. (本题满分 12 分) 已知 e1 , e2 是夹角为 60°的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 。 (1)求 a ? b ;

??

?? ?

?

? ? ? ? ?

?

? ?

?? ?

? ?

(2)求 a 与 b 的夹角 ? 。

?

?

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 x ? b ? 3 x ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 . (1)若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

x ? 3 sin x . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期与单调递增区间; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?

1 cos 2? ) ? ,求 的值. 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?
3

19. (本题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cosx,?1) . (1)当 a ∥ b 时,求 tan x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ??

?

3 2

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,0 上的零点. ? 2 ? ?

20. (本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x x ? a , (1)当 ? 1 ? x ? 1 时,讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)当 0 ? x ? 1 时,求 f ( x ) 的最大值.

4

龙山中学 2013-2014 学年度第一学期期末 高一数 学 试 题答案:
答案: 一.选择题 . 1 2 C D 二.填空题.

3 C

4 D

5 B

6 A

7 B

8 C

9 C

10 A

11. ?2,4? 12. c ? b ? a 13. ?

1 14.②④ 2

三.解答题. 15. (本题满分 12 分) (1)采用列表、描点、连线的方法作图即可,图像见解析 【解析】 试题分析: (1)列表:
1 ? x? 2 4
x

0
?

? 2

?
3? 2

3? 2

2?
7? 2

? 2

? 2

5? 2

y

0

2

0

-2

0

作图:

6分 (2)

y ? sin x ??????? ? y ? sin( x ? ) 4

向左平移 个长度单位 4

?

?

8分

1 ? 横坐标伸长为原来的 2 倍 ??????? ? y ? sin( x ? ) 纵坐标不变 2 4 1 ? 纵坐标伸长为原来的 2 倍 ??????? ? y ? 2sin( x ? ) 横坐标不变 2 4

10 分

12 分

5

16、 (本题满分 12 分) 解: (1) a ? b = (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) =-6 e 1 + e1 ? e2 +2 e 2 = ?

? ?

? ? ?? ?

? ?

?? ?

?2

?? ?? ?

?2

7 ; 2

(2) | a |?| 2e1 ? e2 |? (2e1 ? e2 ) ? 7 ,同理得 | b |? 7 ,
2

?

?? ?? ?

?? ?? ?

?

? ?

所以 cos? ?

a? b
? ?

ab

1 ? ? ,又 ? ?[0,180?] ,所以 ? =120°。 2

17. (本题满分 14 分) 解:显然函数 f ( x) 的定义域为 R. (1)当 a>0,b>0 时,因为 y ? a ? 2 x 与 y ? b ? 3 x 在 R 上都是单调递增的, 所以函数 f ( x) 在 R 上单调递增; 当 a<0,b<0 时,因为 y ? a ? 2 x 与 y ? b ? 3 x 在 R 上都是单调递减的, 所以函数 f ( x) 在 R 上单调递减. (2) f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 x ? 2b ? 3x ? 0 当 a>0,b<0 时, ( ) ? ?
x

(1 分)

(3 分)

(5 分) (7 分) (10 分)

3 2 3 2

a a ,解得 x ? log 3 (? ) ; 2b 2b 2 a a ,解得 x ? log 3 (? ) . 2b 2b 2

当 a<0,b>0 时, ( ) ? ?
x

(13 分)

故当 a>0,b<0 时,x 的取值范围是 (??, log 3 (?
2

a )) ;当 a<0,b>0 时,x 的取值范围是 2b
(14 分)

(log3 (?
2

a ),??) . 2b

6

18. (本题满分 14 分) 解: (1)因为 f ( x) ? 1 ? cos x ? 3sin x = ? 1 ? 2 cos( x ? 单调递增区间为 ?? (2)因为 f (? ?

?
3

), 所以函数 f ( x ) 的周期为 2? ,

? ? 4? ? ? 2k? ,? ? 2k? ?, k ? Z . 3 ? 3 ?
因为

?

1 1 1 ) ? ,所以 1 ? 2 cos ? = ,即 cos ? ? ? 3 3 3 3

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ?

1 2 2 ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 3 ? 1? 2 2 . ? ? ? 3 2 2cos ? 2cos ? 2 ? 3
19. (本题满分 14 分) 解: (1)∵ a ∥ b ,∴ ∴ tan x ? ?

?

?

3 cos x ? sin x ? 0 , 2

3 , 2 ? ? 1 (2)∵ a ? b ? (sin x ? cos x, ) , 2
∴ f ( x) ? (a ? b ) ? b ? ∵?

?

?

?

2 ? sin(2 x ? ) , 2 4

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2x ? ? , 4 4 4

? f ( x) ?

? ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 0 ? 2 x ? ? 0, x ? ? 4 8 2 4
?
8
.

∴函数 f ( x) 的零点为 ?

20 解: (1)当时 a ? 0 , f (?x) ? ?x ? x ? ?x x ? ? f ( x) , 此时 f ( x ) 为奇函数。 ――――3 分

当 a ? 0 时, f (a) ? 0 , f (?a) ? ?a ? a ? a ? ?2a a ? 0 , 由 f ( ? a ) ? f ( a ) 且 f ( ?a) ? ? f ( a) , 此时 f ( x ) 既不是奇函数又不是偶函数 ――――6 分

7

(2) 当 a ? 0 时, ∵ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x( x ? a) 为增函数, ∴ x ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a . ―――8 分 当 a ? 0 时, ∵ 0 ? x ? 1,

2 ∴ f ( x) ? x( x ? a ) ? x ? ax ,其图象如图所示: ――――10 分

①当

a ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 1 . 2

――――11 分

②当

a a2 a 1? 2 ?1? a ,即 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? ―― 12 分 2 4 2 2

③当

1? 2 a ? 1 ,即 0 ? a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a 2

――13 分

综上:当 a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? 1 ? a ; 当 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? 当 a ? 2 时, f ( x) max ? a ? 1 ;

a2 ; 4
――――14 分

8


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