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高中数学 第三章 不等式 3.1.2 不等式的性质(第2课时)课件 新人教B版必修5

3.1.2 不等式的性质

知能自主梳理
1.同向不等式
__不__等__号__方__向__相__同____的不等式,叫做同向不等式.
2.不等式的性质
(1)性质 1(对称性)a>b?__b_<_a____; (2)性质 2(传递性)a>b,b>c?__a_>_c____;

(3)性质 3 a>b?__a_+__c_>_b_+__c__. ①推论 1(移项法则) a+b>c?__a_>__c_-__b____. ②推论 2 a>b,c>d?__a_+__c_>_b_+__d__.
③推论 2 的推广 a>b,c>d,…,m>n?a+c+…+m>b+d+…+n.

(4)性质 4
a>b,c>0?___a_c_>_b_c___; a>b,c<0?___a_c_<_b_c___. ①推论 1 a>b>0,c>d>0?___a_c_>_b_d___.
②推论 1 的推广 a>b>0,c>d>0,…,m>n>0?ac…m>bd…n.
③推论 2 a>b>0?__a_n_>_b_n__(n∈N+,n>1).
④推论 3 a>b>0?___n _a_?__n_b____(n∈N+,n>1).

课堂典例讲练 命题方向1:不等式的性质
例 1:判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若 a>b,则 ac2>bc2; (2)若ca2>cb2,则 a>b; (3)若 a>b,ab≠0,则1a<1b; (4)若 a>b,c>d,则 ac>bd.

解:(1)错误.当 c=0 时不成立. (2)正确.c2≠0 且 c2>0,在ca2>cb2两边同乘以 c2,不等式方向不 变,得 a>b. (3)错误.例如:当 a=1,b=-1 时不成立. (4)错误.例如:a=c=1,b=d=-2 时不成立.

变式训练 1:对于实数 a、b、c,有下列命题

①若 a>b,则 ac<bc;

②若 a>b,c>b,则 a>c;

③若 a>b,则 lgab>0;

④若ac>bd,则 ad>bc;

⑤若 a>b,c>d,则 a-d>b-c. 其中错误命题的个数是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【解析】要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系. ①c 的正、负或是否为零未知,因而判断 ac 与 bc 大小缺乏依 据,故①错误. ②若 a>b,c>b,则 a>c,不符合不等式的传递性,故②错误. ③若 a>0>b,则ab<0,lgab无意义,故③错误.

④当ac>bd且 cd<0 时,则 ad<bc,故④错误. ⑤若 c>d,则-d>-c, 又 a>b,∴a+(-d)>b+(-c),即 a-d>b-c,故⑤正确. 综上可知,①、②、③、④错误,⑤正确,故选 C. 【答案】C

命题方向2:利用不等式性质证明不等式 例 2:若 a>b>0,c<d<0,求证:ad<bc.

解:???a>b>0 ??c<d<0

??????a->cb>>-0 d>0

?-ac>-bd.

又 c<0,d<0??????c-d>a0c>-bd

?-acdc>-bcdd?-ad>-bc?ad<bc.

变式训练 2:若 bc-ad≥0,bd>0,求证:a+b b≤c+d d. 解:证法一:∵bc-ad≥0,bd>0,即 bc≥ad,b1d>0, ∴dc≥ab,∴dc+1≥ab+1, 即c+d d≥a+b b, 即a+b b≤c+d d.

证法二:a+b b-c+d d =ad+bdb-dbc-bd=-?bbc-d ad? ∵bc-ad≥0,bd>0, ∴-?bbc-d ad?≤0, ∴a+b b≤c+d d.

命题方向3:利用不等式的性质求取值范围
例 3:已知-6<a<8,2<b<3,分别求 2a+b,a-b,ab的取值范 围.

解:∵-6<a<8,∴-12<2a<16, 又∵2<b<3,∴-10<2a+b<19. ∵2<b<3,∴-3<-b<-2, ∴-9<a-b<6. ∵2<b<3,∴13<1b<12, ∵-6<a<8,∴-3<ab<4.

变式训练 3:已知-π2<β<α<π2,求 2α-β 的取值范围. 解:∵-π2<α<π2,-2π<β<2π, ∴-π2<-β<2π,∴-π<α-β<π. 又∵β<α,∴α-β>0,∴0<α-β<π, ∴-π2<2α-β<32π.

课堂检测

1.若 x>y 与1x>1y同时成立,则( )

A.x>0,y>0

B.x>0,y<0

C.x<0,y>0

D.x<0,y<0

【解析】∵由 x>y 推出1x>1y,满足需 xy<0. 又 x>y,∴x>0,y<0.

【答案】B

2.若 a>b,则下列不等式中正确的是( )

A.a2>b2

B.1a<1b

C.|a|>|b|

D.b-a<0

【解析】∵a>b,∴b-a<0, 故选 D.

【答案】D

3.已知 a>b>0,且 c>d>0,则 ad与 【解析】∵c>d>0,∴1d>1c>0,

bc的大小关系是________.

∵a>b>0,∴ad>bc>0,



ad>

b c.

【答案】

ad>

b c

4.已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为________,yx的 取值范围为________. 【解析】∵28<y<33,∴-33<-y<-28, 又∵60<x<84,∴27<x-y<56. 由 28<y<33,得313<1y<218, 即2110<yx<3. 【答案】(27,56) (2110,3)

5.已知 1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求 3a-2b 的取值范围.

解:设 3a-2b=x(a+b)+y(a-b),则 3a-2b=(x+y)a+(x-y)b.

从而?????xx+ -yy= =3-2 ,解得?????xy= =1252

.∴3a-2b=12(a+b)+52(a-b).

∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3, ∴12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤125,∴-2≤3a-2b≤10.