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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)古典概型教学案


古_典_概_型

[知识能否忆起] 一、基本事件的特点 1.任何两个基本事件是互斥的. 2.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 二、古典概型的两个特点 1.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性. 2.每个基本事件出现的可能性相等,即等可能性. [提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征:有限性和等可能性. 三、古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数 P(A)= .
基本事件的总数 [小题能否全取] 1.(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( A. C. 1 2 2 3 1 B. 3 D.1 )

解析: C 基本事件总数为(甲、 选 乙)、 (甲、 丙)、 (乙、 丙)共三种, 甲被选中共 2 种. 则

P= .
2.(教材习题改编)从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数,则取出的两个数不是连续自 然数的概率是( A. C. 3 5 1 3 ) 2 B. 5 2 D. 3

2 3

解析:选 D 从六个数中任取 2 个数有 15 种方法,取出的两个数是连续自然数有 5 种 情况,则取出的两个数不是连续自然数的概率 P=1- 5 2 = . 15 3

3.甲、乙两同学每人有两本书,把四本书混放在一起,每人随机拿回两本,则甲同学 拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )

1

A. C.

1 3 1 2

2 B. 3 1 D. 4

解析:选 B 记甲同学的两本书为 A,B,乙同学的两本书为 C,D,则甲同学取书的情 况有 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种,有一本自己的书,一本乙同学的书的取法有 AC,AD,

BC,BD 共 4 种,所求概率 P= .
4.(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的 放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有一个球的概率为________. 解析:依题意得,甲、乙两球各有 3 种不同的放法,共 9 种放法,其中有 1,2 号盒子中 2 各有一个球的放法有 2 种,故有 1,2 号盒子中各有一个球的概率为 . 9 2 答案: 9 5.(教材习题改编)从 3 台甲型彩电和 2 台乙型彩电中任选两台,其中两种品牌的彩电 齐全的概率是________. 3×2 3 解析:P= = . 10 5 3 答案: 5 1.古典概型的判断: 一个试验是否为古典概型, 在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等 可能性,只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型. 2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求.

2 3

简单的古典概型

典题导入 [例 1] (2012·安徽高考)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球、 2 个白球和 3 个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( A. 1 5 2 B. 5 )

2

C.

3 5

4 D. 5

[自主解答] (文)设袋中红球用 a 表示,2 个白球分别用 b1,b2 表示,3 个黑球分别用

c1,c2,c3 表示,则从袋中任取两球所含基本事件为(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),
(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b1,c2),(b2,c3),(c1,c2), (c1,c3),(c2,c3)共 15 个. 两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2), (b2,c3)共 6 个. 6 2 因此其概率为 = . 15 5 (理)从 6 个球中任取两球有 C6=15 种取法,颜色一黑一白的取法有 C2C3=6 种,故概率
2 1 1

P= = .
[答案] B

6 2 15 5

在本例条件下,求两球不同色的概率. 解:两球不同色可分三类:一红一白,一红一黑,一白一黑. 1×2+1×3+2×3 11 故 P= = . 15 15

由题悟法 计算古典概型事件的概率可分三步: (1)算出基本事件的总个数 n; (2)求出事件 A 所包含的基本事件个数 m; (3)代入公式求 出概率 P. 以题试法 1.“?数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 1 469),在两位的“?数”中 任取一个数比 36 大的概率是( A. C. 1 2 3 4 ) 2 B. 3 4 D. 5

解析: A 在两位数中, 选 十位是 1 的“?数”有 8 个; 十位是 2 的“?数”有 7 个; ??; 十位是 8 的“?数”有 1 个.则两位数中,“?数”共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个, 比 36 大的“?数”共有 3+5+4+3+2+1=18 个.故在两位的“?数”中任取一个数比 36

3

18 1 大的概率是 = . 36 2 复杂的古典概型

典题导入 [例 2] (2012·江西高考)如图所示, A1(1,0,0), 2(2,0,0), 从 A

B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选
取 3 个点. (1)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2)求这 3 点与原点 O 共面的概率. [自主解答] (文)从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果是:

x 轴上取 2 个点的有 A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共 4 种; y 轴上取 2 个点的有 B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共 4 种; z 轴上取 2 个点的有 C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 4 种.
所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,

A2B2C2,共 8 种.因此,从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果共 20 种.
(1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:A1B1C1,

A2B2C2,共 2 种,因此,这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为 P1= = .
(2)法一: 选取的这 3 个点与原点 O 共面的所有可能结果有: 1A2B1, 1A2B2, 1A2C1, 1A2C2, A A A A

2 1 20 10

B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 12 种,因此,这 3 个点与原
12 3 点 O 共面的概率为 P2= = . 20 5 法二:选取的这 3 个点与原点不共面的所有可能的结果有 A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,

A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共 8 种,因此这 3 个点与原点 O 共面的概率为 P2=1- = .
(理)从这 6 个点中任取 3 个点可分三类:在 x 轴上取 2 个点、1 个点、0 个点,共有 C2C4 +C2C4+C4=20 种取法. 2 1 (1)选取的 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥项点的取法有 2 种,概率 P1= = . 20 10 12 3 2 1 (2)法一: 选取的 3 个点与原点 O 共面的取法有 C2·C4·3=12 种, 所求概率 P2= = . 20 5 法二:选取的 3 个点与原点不共面的取法有 C2·C2·C2=8 种,因此这 3 个点与原点 O 8 3 共面的概率 P2=1- = . 20 5
1 1 1 1 2 3 2 1

8 20

3 5

4

由题悟法 求较复杂事件的概率问题, 解题关键是理解题目的实际含义, 把实际问题转化为概率模 型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用 互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解. 以题试法 2. 一个小朋友任意敲击电脑键盘上的 0 到 9 十个键, 则他敲击两次(每次只敲击一个数 字键)得到的两个数字恰好都是 3 的倍数的概率为( A. C. 4 25 2 5 2 D. 9 B. 2 15 )

解析:选 A 任意敲击两次有 10×10=100 种方法,两次都是 3 的倍数有 4×4=16 种 16 4 方法,故所求概率为 P= = . 100 25

1.(2013·惠州调研)一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 个球,然后 放回袋中再取出 1 个球,则取出的 2 个球同色的概率为( A. C. 1 2 1 4 1 B. 3 2 D. 5 )

解析:选 A 把红球标记为红 1、红 2,白球标记为白 1、白 2,本试验的基本事件共有 16 个,其中 2 个球同色的事件有 8 个:红 1,红 1,红 1、红 2,红 2、红 1,红 2、红 2, 8 1 白 1、白 1,白 1、白 2,白 2、白 1,白 2、白 2,故所求概率为 P= = . 16 2 2.(2012·鸡西模拟)在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,从中任取一根,取 到长度超过 30 mm 的纤维的概率是( A. C. 3 4 2 5 B. 3 10 )

D.以上都不对

解析:选 B 在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,即基本事件总数为 40,且它

5

3 们是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为 . 10 3.(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1、2、3、 4、5、6,将这一颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的 概率为( A. C. 1 12 1 36 ) B. D. 1 18 7 108

解析:选 A 基本事件总数为 6×6×6,事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本 事件有(1,1,1), (1,2,3), (3,2,1), (2,2,2), (1,3,5), (5,3,1), (2,3,4), (4,3,2), (3,3,3), (2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6) 18 1 共 18 个,所求事件的概率 P= = . 6×6×6 12

4.已知某车间在三天内,每天生产 10 件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了 1 件,n 件次品,而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查,若发现有次 品,则当天的产品不能通过.则第一天通过检查的概率为( A. C. 2 5 2 3 3 B. 5 6 D. 7 )

解析:选 B 因为随意抽取 4 件产品检查是随机事件,而第一天有 1 件次品,所以第一 C9 3 天通过检查的概率 P= 4 = . C10 5 5.(2012·宁波模拟)设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x +ax-b 在区 间[1,2]上有零点的概率为( A. C. 1 2 11 16 ) 5 B. 8 3 D. 4
3 2 3 4

解析:选 C 因为 f(x)=x +ax-b,所以 f′(x)=3x +a.因为 a∈{1,2,3,4},因此
? ?f? 1? ≤0, f′(x)>0,所以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则? ?f? 2? ≥0, ?

解得

a+1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有 a=1,2≤b≤10,故 b=2,b=4, b=8;a=2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12;a=3,4≤b≤14,故 b=4,b=8,b=12;a

6

11 =4,5≤b≤16,故 b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为 . 16 6.某种饮料每箱装 6 听,其中有 4 听合格,2 听不合格,现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测,则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( A. C. 1 15 8 15 3 B. 5 14 D. 15 )

解析:选 B 从“6 听饮料中任取 2 听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件 共有 15 个,而“抽到不合格饮料”含有 9 个基本事件,所以检测到不合格饮料的概率为 P 9 3 = = . 15 5 7.(2012·南京模拟)从分别写有 0,1,2,3,4 的五张卡片中取出一张卡片,记下数字后 放回, 再从中取出一张卡片. 则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是________. 解析:从 0,1,2,3,4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 25 种,数字之和恰好等于 4 的 1 结果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数字和恰好等于 4 的概率是 P= . 5 1 答案: 5 8.(2012·重庆高考)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课 和其它三门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 ________(用数字作答). 解析:基本事件是对这 6 门课排列,故基本事件的个数为 A6.“课表上的相邻两节文化 课之间至少间隔 1 节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”, 利用“插空法”, 可得其 排列方法种数为 A3A4.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之 A3A4 1 间至少间隔 1 节艺术课”发生的概率为 6 = . A6 5 1 答案: 5 9.(2012·江苏高考)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数 列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 解析:由题意得 an=(-3)
n-1
3 3 3 3 6

,易知前 10 项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于 8

6 3 的项为第一项和偶数项,共 6 项,即 6 个数,所以 P= = . 10 5 3 答案: 5 10. 暑假期间, 乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查. 甲、 如
7

图是这个城市的地铁二号线路图(部分),甲、乙分别从太平街站(用 A 表示)、南市场站(用

B 表示)、青年大街站(用 C 表示)这三站中,随机选取一站作为调查的站点.

(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率; (2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率. 解:(1)由题知,所有的基本事件有 3 个,甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事 1 件有 1 个,所以所求事件的概率 P= . 3 (2)由题知,甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表: 乙 甲

A
(A,A) (B,A) (C,A)

B
(A,B) (B,B) (C,B)

C
(A,C) (B,C) (C,C)

A B C

由表格可知,共有 9 种可能结果,其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有 4 种,分别为(A,B),(B,A),(B,C),(C,B).因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调 4 查的站点相邻的概率为 . 9 11. (2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5) 和一个正四面体(四个面分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次,规定“正方体向上的面上的 数字为 a,正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”.设复数为 z=a+bi. (1)若集合 A={z|z 为纯虚数},用列举法表示集合 A; (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a +(b-6) ≤9”的概率. 解:(1)A={6i,7i,8i,9i}. (2)满足条件的基本事件的个数为 24. 设满足“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a +(b-6) ≤9”的事件为 B. 当 a=0 时,b=6,7,8,9 满足 a +(b-6) ≤9; 当 a=1 时,b=6,7,8 满足 a +(b-6) ≤9; 当 a=2 时,b=6,7,8 满足 a +(b-6) ≤9; 当 a=3 时,b=6 满足 a +(b-6) ≤9.
8
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 B 为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8), (3,6)共计 11 个. 11 所以所求概率 P= . 24 12.(2012·福州模拟)已知 A、B、C 三个箱子中各装有 2 个完全相同的球,每个箱子里 的球,有一个球标着号码 1,另一个球标着号码 2.现从 A、B、C 三个箱子中各摸出 1 个球. (1)若用数组(x,y,z)中的 x,y,z 分别表示从 A、B、C 三个箱子中摸出的球的号码, 请写出数组(x,y,z)的所有情形,并回答一共有多少种; (2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和,猜中有奖,那么猜什么数获奖的可能性 最大?请说明理由. 解:(1)数组(x,y,z)的所有情形为(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1), (2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共 8 种. (2)记“所摸出的三个球号码之和为 i”为事件 Ai(i=3,4,5,6),易知,事件 A3 包含有 1 个基本事件,事件 A4 包含有 3 个基本事件,事件 A5 包含有 3 个基本事件,事件 A6 包含有 1 1 3 3 1 个基本事件,所以,P(A3)= ,P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6)= .故所摸出的两球号码之和为 8 8 8 8 4 或 5 的概率相等且最大. 故猜 4 或 5 获奖的可能性最大.

1.(2012·温州十校联考)从 - =1(其中 m,n∈{-1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭 圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 ( ) A. C. 1 2 2 3 4 B. 7 3 D. 4

x2 y2 m n

解析:选 B 当方程 - =1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时,不能有 m<0,

x2 y2 m n

x2 y2 n>0,所以方程 - =1 表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m,n)有(2,-1),(3, m n
-1),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(-1,-1)共 7 种,其中表示焦点在 x 轴上的双曲线 4 时,则 m>0,n>0,有(2,2),(3,2),(2,3),(3,3)共 4 种,所以所求概率 P= . 7 2.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n 则直线 y= x 与圆(x-3) +y =1 相交的

m n

2

2

9

概率为________. 解析:由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共 36 种. 由直线与圆的位置关系得,d= |3m|
2 2

m +n

<1,即 <

m n

2 1 1 1 1 2 ,共有 , , , , ,5 种,所 4 3 4 5 6 6

m 5 2 2 以直线 y= x 与圆(x-3) +y =1 相交的概率为 . n 36
答案: 5 36

3. (2012·天津高考)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解:(1)由分层抽样定义知,从小学中抽取的学校数目为 6× 21 =3;从中学中 21+14+7

14 7 抽取的学校数目为 6× =2;从大学中抽取的学校数目为 6× =1.因此, 21+14+7 21+14+7 从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5, 大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5}, {A4,A6},{A5,A6}共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1, 2}, A1, A {

A3},{A2,A3}共 3 种.
3 1 所以 P(B)= = . 15 5

1. 已知 A={1,2,3}, ={x∈R|x -ax+b=0}, ∈A, ∈A, A∩B=B 的概率是( B a b 则 A. C. 2 9 8 9 B. 1 3

2

)

D.1

10

解析:选 C ∵A∩B=B,∴B 可能为?,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当 B =?时,a -4b<0,满足条件的 a,b 为 a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当 B ={1}时,满足条件的 a,b 为 a=2,b=1.当 B={2},{3}时,没有满足条件的 a,b.当 B ={1,2}时,满足条件的 a,b 为 a=3,b=2.当 B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的 a,
2

b.∴A∩B=B 的概率为

8 8 = . 3×3 9
2 2

2.将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a、b,则直线 ax-by=0 与圆(x-2) +y =2 相 交的概率为________. 解析:圆心(2,0)到直线 ax-by=0 的距离 d= 则有 d= |2a| |2a|

a2+b2

,当 d< 2时,直线与圆相交,

a2+b2

< 2,得 b>a,满足题意的 b>a,共有 15 种情况,因此直线 ax-by=0

15 5 2 2 与圆(x-2) +y =2 相交的概率为 = . 36 12 答案: 5 12

3.(2012·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (1)求 an 和 bn; (2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项, 写出相应的基本事件, 并求这两项 的值相等的概率. 解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q.依题意得

S10=10+

10×9 d=55,b4=q3=8, 2

解得 d=1,q=2, 所以 an=n,bn=2
n-1

.

(2)分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项, 得到的基本事件有 9 个(1,1), (1,2), (1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).符合题意的基本事件有 2 个(1,1), (2,2). 2 故所求的概率 P= . 9

11


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