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第一章第1讲知能训练轻松闯关


行胜于言

1.已知 U 为全集,集合 A,B 如图所示,则(?UA)∪B=(

)

A.{0,1,3} B.{2,3,4} C.{0,1,3,5} D.{3,5} 解析:选 C.由题意得?UA={3,5},则(?UA)∪B={0,1,3,5}. 3 ? ? 2.已知集合 A=?x?x∈Z,且2-x∈Z?,则集合 A 中的元素个数为( ) ? ? ? A.2 B.3 C.4 D.5 3 解析:选 C.因为 ∈Z,2-x 的取值有-3,-1,1,3,又 x∈Z,所以 x 值分别为 5, 2-x 3,1,-1,故集合 A 中的元素个数为 4. 3.设集合 M={x∈Z||x-1|<2},N={y∈N|y=-x2+2x+1,x∈R},则( ) A.N∈M B.M N C.N M D.M=N 解析:选 D.M={0,1,2},N={0,1,2},所以 M=N. 4.设集合 A={-1,0,2},集合 B={-x|x∈A 且 2-x?A},则 B=( ) A.{1} B.{-2} C.{-1,-2} D.{-1,0} 解析:选 A.当 x=-1 时,2-x=3?A,此时-x=1∈B,当 x=0 时,2-0=2∈A,当 x=2 时,2-2=0∈A,所以 B={1}. ? ? 1 x 5.(2016· 南昌调研)已知集合 A={x|x2+2x<0},B=?x??2? -2≥0?,则 A∩?RB=( ) ? ?? ? ? A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(-2,-1] D.[-1,0) - 解析:选 B.因为 A={x|-2<x<0},B={x|2 x≥2}={x|x≤-1},所以?RB={x|x>-1}, 故 A∩?RB={x|-1<x<0}. 6. (2016· 南昌月考)设集合 P={a2, log2a}, Q={2a, b}, 若 P∩Q={0}, 则 P∪Q=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3} 解析:选 B.因为 P∩Q={0},所以 0∈P,只能 log2a=0,所以 a=1,a2=1,又 0∈Q, 因为 2a=21=2≠0,所以 b=0,所以,P={0,1},Q={2,0},所以 P∪Q={0,1,2}. 7.(2016· 贵州省七校第一次联考)已知集合 A={0,1,2,3,4},B={x|x= n,n∈A}, 则 A∩B 的真子集个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选 C.由题意,得 B={0,1, 2, 3,2},所以 A∩B={0,1,2},所以 A∩B

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的真子集个数为 2 -1=7,故选 C. 8.(2016· 临沂质检)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若?UB ?A,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:选 D.因为 x2-3x+2>0,所以 x>2 或 x<1. 所以 A={x|x>2 或 x<1},因为 B={x|x≤a}, 所以?UB={x|x>a}. 因为?UB?A,借助数轴可知 a≥2,故选 D. ? π? 9.设全集 U=R,A={y|y=tan x,x∈B},B=?x?|x|≤ ?,则图中阴影部分表示的集 4? ? ? 合是( )

3

A.[-1,1] π π B.?- , ? ? 4 4? π π C.?-1,- ?∪? ,1? 4? ?4 ? ? π π D.?-1,- ?∪? ,1? 4? ?4 ? ? π π 解析:选 C.图中阴影部分表示的集合为(?UB)∩A=?-1,- ?∪? ,1?. 4? ?4 ? ? 10.已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2b+1,b∈Z},C={x|x =4c+1,c∈Z},则有( ) A.m+n∈A B.m+n∈B C.m+n∈C D.m+n 不属于 A,B,C 中任意一个集合 解析:选 B.因为 m∈A,所以设 m=2a1,a1∈Z,又 n∈B,所以设 n=2b1+1,b1∈Z, 所以 m+n=2(a1+b1)+1,而 a1+b1∈Z,所以 m+n∈B. b ? ? 11. 设集合 A=?5,a,a-b?, B={b, a+b, -1}, 若 A∩B={2, -1}, 则 A∪B=( ) ? ? A.{-1,2,3,5} B.{-1,2,3} C.{5,-1,2} D.{2,3,5} b b b ? ? ? ?a=2, ?a=-1, ? ?a=2, ?a=1, ? 解析: 选 A.由 A∩B={2, -1}, 可得? 或? 当? 时, ?b=2. ?a-b=-1 ? ?a-b=2. ? ?a-b=-1 ? ? b ? ?a=1, ?a=-1, ? 此时 B={2,3,-1},所以 A∪B={-1,2,3,5};当? 时,? 此时不符 ? ?b=-1, ? ?a-b=2 合题意,舍去. 12.已知 A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合 A,B 之间的运算“*”:A*B ={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则 A*B 中的所有元素数字之和为( ) A.15 B.16 C.20 D.21 解析:选 D.由 x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得 A={0,1,2,3}.因为 A*B={x|x =x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以 A*B 中的元素有:0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,

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2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以 A*B={1,2,3,4,5,6},所 以 A*B 中的所有元素数字之和为 21. 13. 集合 A={0, 2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0, 1, 2, 4, 16}, 则 a 的值为________. 2 解析:根据并集的概念,可知{a,a }={4,16},故只能是 a=4. 答案:4 14.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:因为 1?{x|x2-2x+a>0},所以 1∈{x|x2-2x+a≤0},即 1-2+a≤0,所以 a≤1. 答案:(-∞,1] 15.已知 A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:因为 A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}?B,所以 a≥2. 答案:[2,+∞) 16.已知集合 A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若 C∩A=C,则 a 的取值范围是 ________. 解析:因为 C∩A=C,所以 C?A. 3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 ?-a<a+3, ②当 C≠?时,要使 C?A,则?-a≥1,

?

? ?a+3<5,

3 解得- <a≤-1. 2 综上,可得 a 的取值范围是(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] 4? 1 ? ? ? ? B=?x?b- ≤x≤b?, 1. (2016· 唐山统考)已知 a、 b 均为实数, 设集合 A=?x? ?a≤x≤a+5 , ? 3
? ? ? ?

且 A、B 都是集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把 n-m(n>m)叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”, 那么集合 A∩B 的“长度”的最小值是( ) 7 4 A. B. 15 15 17 2 C. D. 15 15 4 1 2 解析:选 D.结合题意可知,A∩B 的“长度”的最小值为 + -1= . 5 3 15 2.已知集合 M={1,2,3,4},集合 A、B 为集合 M 的非空子集,若?x∈A、y∈B, x<y 恒成立, 则称(A, B)为集合 M 的一个“子集对”, 则集合 M 的“子集对”共有________ 个. 解析:当 A={1}时,B 有 23-1=7 种情况,当 A={2}时,B 有 22-1=3 种情况,当 A ={3}时,B 有 1 种情况,当 A={1,2}时,B 有 22-1=3 种情况, 当 A={1,3},{2,3}, {1,2,3}时,B 均有 1 种情况, 所以满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+1+1+1=17 个. 答案:17 3.已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. 解:(1)因为 9∈(A∩B), 所以 2a-1=9 或 a2=9,所以 a=5 或 a=3 或 a=-3.

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当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}; 当 a=3 时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性; 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 所以 a=5 或 a=-3. (2)由(1)可知,当 a=5 时, A∩B={-4,9},不合题意, 当 a=-3 时,A∩B={9}.所以 a=-3. 4.(2016· 徐州模拟)已知集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|2m<x<1-m}. (1)当 m=-1 时,求 A∪B; (2)若 A?B,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-2<x<2}, 则 A∪B={x|-2<x<3}. ?1-m>2m, (2)由 A?B 知?2m≤1,

?

? ?1-m≥3,

得 m≤-2,即实数 m 的取值范围为(-∞,-2]. (3)由 A∩B=?,得 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 1 ? ? ?m<3, ?m<3, 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时,需? 或? 3 ?1-m≤1 ? ?2m≥3, ? 1 1 得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上知 m≥0,即实数 m 的取值范围为[0,+∞).


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