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数学必修4《平面向量》单元测试


数学必修 4《平面向量》单元测试
一、选择题 1.下列说法正确的是( )

A.向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 必在同一直线上 ? ? ? ? B.向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反 C.向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 2.如图,在平行四边形 ABCD 中, BC ? DC ? BA 等于( A. AD B. DA C. AC D. CB D.单位向量都相等
B C D 第2题


A

? ? ? ? 3. 已知向量 a ? (4, x) , b ? ( x,4) ,若 a 、 b 平行且反向,则 x 的值为( A.0 B.-4 C. 4 D. x ? R



? ? ? ? ? ? 4. 在正方形 ABCD 中,已知它的边长为 1,设 AB ? a, BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c | 的值为 ( ) A.0 B.3 C. 2 2 D. 2 ? 2
5.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2则OC = (
1 A. (5e1 ? 3e2 ) 2 1 1 B. (5e1 ? 3e2 ) C. (3e2 ? 5e1 ) 2 2 1 D. (5e2 ? 3e1 ) 2



1 1 6.化简 [ (2a ? 8b) ? (4a ? 2b)] 的结果是 3 2

( D. a ? b



A. 2a ? b

B. 2b ? a

C. b ? a

7.对于菱形 ABCD,给出下列各式: ① AB ? BC ③ | AB ? CD |?| AD ? BC | 其中正确的个数为 A.1 个 B.2 个 ② | AB |?| BC | ④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB | 2 ( C.3 个 D.4 个 ( ) )

8.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | ? | b |?| a ? b | C. | a | ? | b |?| a ? b | B. | a ? b |?| a ? b | D. | a | ? | b |?| a ? b |

9.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0) , (3,0) , (1,-5) ,则第四个点的坐 标为( ) A. (1,5)或(5,-5) B. (1,5)或(-3,-5) C. (5,-5)或(-3,-5) D. (1,5)或(-3,-5)或(5,-5)
1

10 . 下 列 各 组 向 量 中 : ① e1 ? (?1,2)

e2 ? (5,7) ② e1 ? (3,5)

e2 ? (6,10) ③ e1 ? (2,?3)


1 3 e2 ? ( ,? ) 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( 2 4 A.① B.①③ C.②③ D.①②③

? ? ? ? ? ? 11. 已知向量 a ? (1, n),b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 | a | =(
A. 1 B. 2 C. 2 D.4



1 12.已知 | a |? 10, | b |? 12 ,且 (3a )( b) ? ?36 ,则 a与b 的夹角为 5 A.60° B.120° C.135° D.150°





x ? ? ? 13. 将 y ? 2 cos( ? ) 的图象按向量 a ? (? ,?2) 平移, 则平移后所得图象的解析式为 ( 3 6 4 x ? x ? A. y ? 2 cos( ? ) ? 2 B. y ? 2 cos( ? ) ? 2 3 4 3 4 x ? x ? C. y ? 2 cos( ? ) ? 2 D. y ? 2 cos( ? ) ? 2 3 12 3 12



14. 若 OF1 =(2,2), OF2 =(-2,3)分别表示 F1 , F2 ,则 F1 ? F2 为( A.(0,5) 二、填空题 15.已知 a ? (3,2) , b ? (2,?1) ,若 ? a ? b与a ? ?b 平行,则λ = 16.非零向量 a, b满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a, b 的夹角为 B.25 C.2 2

) D.5

. .

17.在四边形 ABCD 中,若 AB ? a, AD ? b, 且 | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是
2 18.已知 e 为单位向量, | a | =4, a与e 的夹角为 ? ,则 a在e 方向上的投影为 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 19. 若向量 a, b 的夹角为 60 , | a |?| b |? 1,则 a ? (a ? b ) ? .

三、解答题 ? ? 20.已知 a ? (1,0),b ? (1,1) ,分别求使下列结论成立的实数 ? 的值: ? ? ? ? ? ? ? (1) (a ? ?b ) ? a ; (2) (a ? ?b ) //(?a ? b ) ;

2

21.已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60o, c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? k b ,当实数 k 为何值时, ⑴c ∥d ⑵c ? d

22.设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D 三 点共线,求 k 的值.

23.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,求向量 a = e1 + e2 与 b = e2 -2 e1 的夹角.

24.已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值;(2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围.

3

数学必修 4《平面向量》单元测试答案
一、选择题 1-5:CABCA 二、填空题 15. 6-10:BCCDA 16. 120 11-14:CBA D 18.

?1

17.矩形

?2

19.

1 2

三、解答题 ? ? ? ? ? 20.解: (1) a ? ?b ? (1 ? ?, ?) ,? (a ? ?b ) ? a ,? (1 ? ? ) ? 1 ? 0 ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 ; ? ? ? ? (2) a ? ?b ? (1 ? ?, ?) , ?a ? b ? (? ? 1,1) , ? ? ? ? ? (a ? ?b ) //(?a ? b ) , (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 0 ,解得 ? ? 1或? ? ?1 ; 21.⑴若 c ∥ d 得 k 22.? BD

?

9 5

⑵若 c ? d 得 k

??

? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2

?

?

29 14

若 A,B,D 三点共线,则 AB 与BD共线,

? 设 AB ? ? BD即 2e1 ? k e2 ? ? e1 ? 4? e2
由于 e1与e2不共线 可得: 23.

2e1 ? ? e1 k e2 ? ?4? e2

故?

? 2, k ? ?8

1 解析:依题意有 e12=1,e22=1,e1· e2= , 2 3 (-2e1+e2)=-2 e12-e1· a· b=(e1+e2)· e2+e22=- , 2 a2=(e1+e2)2=e12+2e1· e2+e22=3, b2=(-2e1+e2)2=4 e12-4e1· e2+e22=3, ∴|a|= 3,|b|= 3, 3 - 2 a· b 1 cos〈a,b〉= = =- . 2 |a||b| 3× 3 ∴a 与 b 的夹角为 120° . 点评:注意单位向量 e1,e2 的模为 1.

24.解:(1) AB ? (?3,?4), AC ? (c ? 3,?4) , 当 c=5 时, AC ? (2,?4) ,
cos?A ? cos? AC, AB? ? ? 6 ? 16 5? 2 5 ? 1 5

, ? sin ?A ? 1 ? cos2 ?A ?

2 5 ; 5

(2)若A为钝角,则 cos?A ? cos? AC, AB? ? 0 ,? AB ? AC ? ?3(c ? 3) ? (?4) 2 ? 0 , 25 25 解得c> 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ , ? ? ). , 3 3
4


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