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平面向量同步基础练习题

平面向量同步基础练习题
r r r r (1)若 a = b ,则 a = b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 1.下列命题: uuu uuur r uuu uuur r ( 3 ) 若 AB = DC ,则 ABCD 是平行四边形。 4 ) 若 ABCD 是平行四边形,则 AB = DC 。 5 ) 若 ( ( r r r r r r r r r r r r a = b, b = c ,则 a = c 。 (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。其中正确的是_______ r r r r 2.( 2.(1)若 a = (1,1), b = (1, ?1), c = (?1, 2) ,则 c = ______ (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 ur uu r ur uu r A. e1 = (0,0), e2 = (1, ?2) B. e1 = (?1, 2), e2 = (5,7) ur uu r 1 3 ur uu r C. e1 = (3,5), e2 = (6,10) D. e1 = (2, ?3), e2 = ( , ? ) 2 4 r r uuur uuu r uuur r uuu r r uuu r 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD = a, BE = b ,则 BC 可用向量 a , b 表示为 ( 3) _____
(4) ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD = 2 DB , CD = r AB + s AC ,则 r + s 的值是___ 3.( 3.(1)△ABC 中, | AB |= 3 , | AC |= 4 , | BC |= 5 ,则 AB? BC = _________ r r u r r r u r r 1 r 1 r r π (2)已知 a = (1, ), b = (0, ? ), c = a + kb, d = a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____ 2 2 4 r r r r r r (3)已知 a = 2, b = 5, a b = ?3 ,则 a + b 等于____ (4)已知 a , b 是两个非零向量,且 a = b = a ? b ,则 a与a + b 的夹角为____ 4.( 4.(1)已知 a = (λ ,2λ ) , b = (3λ ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是______ ,则 OF , FQ 夹角 θ 的取值范围是_____ (2) ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ = 1 ,若 < S < 2 2 r r r r r r r r (3)已知 a = (cos x,sin x), b = (cos y,sin y ), a 与 b 之间有关系式 k a + b = 3 a ? kb , 其中k > 0 ,①用 k r r r r r r 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小 uuu uuu uuu r r r uuu uuur uuur r 5. (1)化简:① AB + BC + CD = ___;② AB ? AD ? DC = ____; (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB = a, BC = b, AC = c ,则 | a + b + c | =_____ (3)O 是三角形 ABC 所在平面内一点,满足 OB ? OC = OB + OC ? 2OA ,则三角形 ABC 的形状为 ____ ( 4 ) 若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA + BP + CP = 0 ,设
? ?→ ? ?→ → →
→ →

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

r r

r

r

r r

r r r

1

3

? ?→ ? ?→

uuu r

r uuu r

r uuur

r

r

r r

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

uuu uuu uuu r r r

r

uuu r | AP | uuu = λ ,则 λ 的值为___ r | PD | r r r r m λ 2 2 6. 设两个向量 a = (λ + 2, λ ? cos α ) 和 b = (m, + sin α ), 其中 λ , m, α 为实数.若 a = 2b, 则 的取值范
2 m
围是( ) B. [4,8] C. (?∞,1] D. [?1, 6]

A. [ ?6,1]

7. 已知向量 OA = (4, 6), OB = (3,5), 且 OC ⊥ OA, AC // OB, 则向量 OC 等于
? 3 2? (A) ? ? , ? ? 7 7? ? 2 4? (B) ? ? , ? ? 7 21 ? ?3 2? (C) ? ,? ? ?7 7?

uuu r

uuu r

uuur

uuu uuur uuu r r

uuur

(D) ? ,?

?2 ?7

4? ? 21 ?

8. 如图, △ ABC 中, O 是 BC 的中点, 在 点 过点 O 的直线分别交直线 AB ,AC 于不同的两点 M,N ,若 AB = mAM , AC = n AN ,则 m + n 的值为 .

A

uuu r

uuuu r

uuur

uuur

N
B

O

C

r r r r 9. 设向量 a = (4 cos α , sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 ,

M

r r r r r r b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b ..
10. 如 图 2-1 所 示 , 两 射 线 OA 与 OB 交 于 O , 则 下 列 选 项 中 向 量 的 终 点 落 在 阴 影 区 域 内 的 是 _________________.

图 2-1





+





+



-

11. 已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|= ,且 c∥a,求 c 的坐标;

(2)若|b|=

,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. =a, =b,而 M、N 分别是△AOB 的两边 OA、OB 上的点,且 =p 用 a、b 表示出来.

12. 如图 2-4 所示,已知△AOB,其中 =

3 a , 4

=

2 b ,设 BM 与 AN 相交于 P,试将向量 3


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