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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第10讲 变化率与导数、导数的计算


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第 10 讲
[考纲]

变化率与导数、导数的计算

1.了解导数概念的实际背景; 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义; 1 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y= x,y=x2,y=x3,y= x 的导数; 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 能求简单复合函数[仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数]的导数.

知 识 梳 理
1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 ①定义:称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 Δy Δx= f?x0+Δx?-f?x0? 为 Δx

函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或

.

②几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数). 相应地, 切线方 程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)称函数 f′(x)= f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex 导函数 f′(x)=αxα-1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0) f′(x)=ex

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宜宾市优学堂培训学校 f(x)=logax f(x)=ln x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? ?′= (3)? (g(x)≠0). g ? x ? [g?x?]2 ? ? 4.复合函数的导数 设 u=v(x)在点 x 处可导, y=f(u)在点 u 处可导, 则复合函数 f[v(x)]在点 x 处可导, 且 f′(x)=f′(u)· v′(x). 1 f′(x)=xln a 1 f′(x)= x

辨 析 感 悟
1.对导数概念的理解 (1)f′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率.( ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( ) (3)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值.( ) 2.导数的几何意义与物理意义 (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (5)物体的运动方程是 s=-4t2+16t, 在某一时刻的速度为 0, 则相应时刻 t=0.( ) (6)(2012· 广东卷改编 ) 曲线 y= x3 - x+ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 2x- y + 1= 0.( ) 3.导数的计算 (7)若 f(x)=a3+2ax-x2,则 f′(x)=3a2+2x.( ) )

(8)(教材习题改编)函数 y=xcos x-sin x 的导函数是 y′=-xsin x.( (9)[f(ax+b)]′=f′(ax+b).( )

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宜宾市优学堂培训学校 [感悟· 提升] 1.“过某点”与“在某点”的区别 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别:前 者 P(x0,y0)为切点,如(6)中点(1,3)为切点,而后者 P(x0,y0)不一定为切点. 2.导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直 线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或 两个以上的公共点,如(4). 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导,其导数为 两层导数之积,如(9).

考点一 【例 1】 分别求下列函数的导数: (1)y=ex· cos x; (3)y= ln?2x+1? . x

导数的计算

x x (2)y=x-sin 2cos 2;

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宜宾市优学堂培训学校 规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有:①商的求导中,符号判定错误; ②不能正确运用求导公式和求导法则,在第 (3)小题中,忘记对内层函数 2x+1 进行求导. (2)求函数的导数应注意: ①求导之前利用代数或三角变换先进行化简,减少运算量; ②根式形式,先化为分数指数幂,再求导. ③复合函数求导先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元处理. 【训练 1】 (1)(2013· 江西卷改编)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex, 则 f′(1)=________. (2)若 f(x)= 3-x+e2x,则 f′(x)=________.

考点二

导数的几何意义

【例 2】 (1)(2013· 广东卷)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=________. (2) 设 f(x) = xln x + 1 , 若 f′(x0) = 2 , 则 f(x) 在 点 (x0 , y0) 处 的 切 线 方 程 为 ____________________.

规律方法 (1)导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜 率.第(1)题要能从“切线平行于 x 轴”提炼出切线的斜率为 0,进而构建方程, 这是求解的关键,考查了分析问题和解决问题的能力. (2)在求切线方程时,应先判断已知点 Q(a,b)是否为切点,若已知点 Q(a,b)不 是切点,则应求出切点的坐标,利用切点坐标求出切线斜率,进而用切点坐标表 示出切线方程.
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宜宾市优学堂培训学校 【训练 2】 (1)(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 ____________________. (2)若函数 f(x)=excos x,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角 ).

考点三

导数运算与导数几何意义的应用

ln x 【例 3】 (2013· 北京卷)设 l 为曲线 C:y= x 在点(1,0)处的切线. (1)求 l 的方程; (2)试证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方.

规律方法 (1)准确求切线 l 的方程是本题求解的关键;第(2)题将曲线与切线 l 的 位置关系转化为函数 g(x)=x-1-f(x)在区间(0,+∞)上大于 0 恒成立的问题, 进而运用导数研究,体现了函数思想与转化思想的应用. (2)当曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,切线 方程为 x=x0;当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.

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宜宾市优学堂培训学校 1 【训练 3】 (2014· 济南质检)设函数 f(x)=aex+aex+b(0<a<1). (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值; 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x,求 a 和 b 的值.

1.理解导数的概念时,要注意 f′(x0),(f(x0))′与 f′(x)的区别:f′(x)是函数 y =f(x)的导函数, f′(x0)是 f(x)在 x=x0 处的导数值, 是常量但不一定为 0, (f(x0))′ 是常数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视 求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时, 首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 3.求曲线的切线时,要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别.

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求曲线切线方程考虑不周 【典例】 (2014· 杭州质检)若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)=x3-3x2+2x 和 y=x2+a 都相切,则 a 的值是( A.1 1 C.1 或64 ). 1 B.64 1 D.1 或-64

[防范措施]

(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键,

分清过点 P 的切线与在点 P 处的切线的差异. (2)熟练掌握基本初等函数的导数,导数的运算法则,正确进行求导运算. 【自主体验】 1 函数 y=ln x(x>0)的图象与直线 y=2x+a 相切,则 a 等于 ( A.2ln 2 C.ln 2 自助餐 基础巩固题组 一、选择题 1.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( ). B.ln 2+1 D.ln 2-1 ).

A.-1 B.-2 C.2 D.0 2.
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宜宾市优学堂培训学校 如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)= ( ).

A.2 B.6 C.-2 D.4 x+1 3.(2014· 济南质检)设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直, x-1 则 a=( ).

A.2 B.-2 1 C.-2 1 D.2 ).

1 1 4.已知曲线 y=4x2-3ln x 的一条切线的斜率为-2,则切点横坐标为( A.-2 B.3 C.2 或-3 D.2 5.(2014· 湛江调研)曲线 y=e 的三角形的面积为( 1 A.3 2 C.3 1 B.2 D.1 ).
-2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成

二、填空题 ?π? ?π? 6.已知函数 f(x)=f′?4?cos x+sin x,则 f?4?的值为________. ? ? ? ? 7.(2013· 南通一调)曲线 f(x)= ________. 1 8.若以曲线 y=3x3+bx2+4x+c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为 非负数,则实数 b 的取值范围是________. f′?1? x 1 2 e e -f(0)x+2x 在点(1,f(1))处的切线方程为

三、解答题
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宜宾市优学堂培训学校 9.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.

10.已知函数 f(x)=x3-ax2+10. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数 x,使得 f(x)<0 成立,求实数 a 的取值范围.

能力提升题组 一、选择题 1.(2014· 北京西城质检)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标 分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐 标为( ). D.-8

A.1 B.3 C.-4

2.已知 f(x)=logax(a>1)的导函数是 f′(x),记 A=f′(a),B=f(a+1)-f(a),C =f′(a+1),则( A.A>B>C C.B>A>C ).

B.A>C>B D.C>B>A

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宜宾市优学堂培训学校 二、填空题 3.(2014· 武汉中学月考)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲 线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log +…+ log 三、解答题 4.(2013· 福建卷改编)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)当实数 a>0 时,求函数 f(x)的极值.
2013 2013

x + log x
1 2013

2

x

2012

的值为________.

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