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(精选+详解)2013届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题07 不等式

一.基础题
1.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】若

,则 错误!未找到引用源。 错误!未

找到引用源。的最小值为( A.错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。

) B. D. 错误! 未找到引用源。 C.

错误!未找到引用源。

2.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】

? x ? y ? ?1 ? 已知 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z=2x-y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ?
(A) 2 (B)1 (C) -1 (D) 3

y

A O B x

3. 2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】 【 “1<a<2” “对任意的正数 x,2 x ? 是 的( ) A、充分不必要条件 C、充要条件

a ? 2” x

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
[来源:Z.xx.k.Com]

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
那么目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 A. 2 【答案】B 【解析】做出满足条件的可行域如图,平移直线 y ? 2 x ,由图可知,当直 线经过点 D(0,-1)时,直线的 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最大, 所以最大值为 1,选 B. 3. 【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知 0< a <1, log a (1 ? x ) ? log a x 则
[来源:Z。xx。k.Com]



B. 1

C. ?2

D. ?3

A. 0 ? x ? 1 C. 0 ? x ?
1 2

B. x ?
1 2

1 2

D. ? x ? 1

4.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知 x, y ? (0, ??) , 2 若

x ?3

1 ? ( )y , 2

1 m ? , (m ? 0) 的最小值为 3,则 m 等于 x y
B. 2 2 C.3 D.4

A.2

5.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】

已知 p ? a ? A.p≥q 【答案】A

1 1 x 2 ?2 (a>2), q ? ( ) (x∈R),则 p,q 的大小关系为( a?2 2
B.p>q
[来源:学&科&网]

) D.p≤q

C.p<q

1 1 ? (a ? 2) ? ? 2 ≥2+2=4,当且仅当 a=3 时,取得等号;而由于 a?2 a?2 1 x 2 ?2 1 ?2 x2-2≥-2,故 q ? ( ) ≤ ( ) ? 4 ,当且仅当 x=0 时,取得等号,故 p≥q. 2 2
【解析】 p ? a ? 6.【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定不 成立的是 1 1 A. ? B. log2 a ? log2 b a b a?b C. a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2 D. b ? ab ? ?a 2

7.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知 a, b, c ? R ? ,若 A. c<a<b

c a b ? ? ,则 a?b b?c a?c
B. b〈c〈a C. a〈b〈c D. c<b<a

?x ? y ? 0 ? 8.【2013 届河北省重点中学联合考试】设 z=2x+y,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最 ?0 ? y ? k ?
大值为 6,则 z 的最小值为___

?x ? y ?1 ? 0 ? 9.【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x+2y ? ?1 ? x ? 1 ?
的值 域为____
错误!未找到引用源。 解析:可行域如图.设

. 错误!未找到引用源。则 错误!未找到引用源。

易知点错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。为最优解. ,
8

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , ,
6

又可行域过原点,
4

错误!未找到引用源。

.

2

10

-5

-1

1

5

10

15

x+y-1=0
-2

x+y+1=0

-4

10. 【 广 东 省 珠 海 市 2012 年 9 月 高 三 摸 底 考 试 】 不 等 式 x ? x ? 2 ? 3 的 解 集
-6


-8

.

11.【2012-2013 山西省示范性高中联考数学(理) 函数 y ? a 】 恒过定点 A,若点 A 在直 线

x ?3

? 2(a ? 0, a ? 1) 的图像


x y ? ? ?1 上,且 m, n ? 0 ,则 3m ? n 的最小值为( m n

A. 13

B. 16

C. 11 ? 6 2 .

D. 28.

? 2x ? y ? 0 ? 12. 2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】 【 已知变量 x、 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , y ? x?0 ?
则 z ? log 4 (2 x ? y ? 4) 的最大值为 A.2 B.

3 2

C.

2 3

D.1

13.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】对任意错误!未找到引用源。, 错误! 未找到引用源。恒成立,则错误!未找到引用源。的取值范围是( )

A. 错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

B.错误! 未找到引用源。

C.错误! 未找到引用源。

D.

14.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】已知 的取值范围是 ____.

2 4 ? 1 ? 0 ,则 f ( x ) ? x ? x?4 x ?1

15.【2012-2013 福建安溪一中、德化一中高三联考试数学(理) 】若变量 x、y 满足

?x ? y ? 2 ? 0 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 2x ? y 的最大值为 ?1 ,则 a ? ?y ? a ?

二.能力题
1.【四川省资阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 电视台应某企业之约播放两套连 续剧.其中,连续剧甲每 次播放时间为 80 min,其中广告 时间为 1 min, 收视观众为 60 万; 连续剧乙每次播放时间为 40 min, 其中广告时间为 1 min, 收视观众为 20 万.已知该企业与电视台达成协议,要求电视台 每周 至少播放 6 min 广告, 而电视台每周只能为该企业提供 不多于 320 min 的节目时间. 则该电视台通过这两套连续剧 所获得的收视观 众最多为 A.220 万 B.200 万 C.180 万 D.160 万

2.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】已知实数 a , b 满足等式

2a ? 3b , 下列五个关系式: 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 其 ①
中可能成立 的关系式有 【答案】 ①②⑤ 【解析】设 2 ? 3 ? k , 则 a ? log2 k , b ? log3 k ,分别画出 y ? log2 x, y ? log3 x
a b

(填序号)

的图像可得. 3.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】已知 x ? 0, y ? 0,lg 2 ? lg8 ? lg 2 ,则
x y

1 1 的最小值是 ? x 3y

.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 4.【山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考】若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, , ? x ? 0, ?
则z ?3
x?2 y

的值域是

.

【答案】 [1,9] 【解析】令 t ? x ? 2 y ,则

1 t ,做出可行域, y ?? x? 2 2

平移直线

y??

由图象知当直线经过 O 点是,t 最小, 1 , x 2

当经过点 D(0,1) 时, t 最大,所以 0 ? t ? 2 ,所以

1 ? z ? 9 ,即 z ? 3x ? 2 y 的值域是 [1,9] .
5.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? c ,( x ? R) 的值 域为 [0, ??) , 则 ____ .

a ?1 c ?1 ? 的最小值为 c a

6.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】 设集合 A ?

?? x, y ? || x | ? | y |? 1? , B ? ?? x, y ? ( y ? x)( y ? x) ? 0? , M ? A ? B ,若动点


P( x, y ) ? M ,则 x2 ? ( y ? 1)2 的取值范围是(

A. [ , ]

1 5 2 2

B. [

2 5 , ] 2 2

C. [ ,

1 2

10 ] 2

D. [

2 10 , ] 2 2

7. 【2012-2013 学年度河北省普通高中 11 月高三教学质量监测】 .已知 M 是 ?ABC 内的一点 (不含边界) ,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,若 ?MBC, ?MCA 和 ?MAB 的面积分
0

??? ??? ? ?

别为 x,y,z,则

1 4 ? 的最小值是 x? y z

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

三.拔高题 1.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数

y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , ???? ???? ? M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当 1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为( )
A. ?12, ??? B.

?0,3?

C . ?3,12?

D. ?0,12?

?x ? y ? 1 ? 2.【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? ?2 ,若 ?3x ? 2 y ? 3 ?
x 2 ? 4 y 2 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值为 (
A. ) C.4 D.1

53 2

B.

4 5

【答案】B 【解析】 x ? 4 y ? a 恒成立知错误! 由 未找到引用源。
2 2

令错误!未找到引用源。,则表达式表示中心在原点,长 轴长为错误!未找到引用源。,短轴长为错误!未找到
引用源。的椭圆,

画出(x,y)的可行域(如图所示) 由图可知三视图 可知,当直线 错误!未找到引用源。. ∴△=4-20(1-t)=0,即错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 故答案选 B. 3.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】变量 x,y 满足约束条件

? x ? 2y ? 2 ? ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3 | x | ? | y ? 3 | 的取值范围是( ? 4 x ? y ? ?1 ?
A. [ ,9]



3 2

B. [ ?

3 , 6] 2

C. [?2,3]

D. [1, 6]

4.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知 M 是 ?ABC 内的一点 (不含边界) ,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,若 ?MBC, ?MCA 和 ?MAB 的面积分
0

??? ??? ? ?

别为 x,y,z,记 f ( x, y, z ) ?

1 4 9 ? ? ,则 f ( x, y, z ) 的最小值是 x y z

5.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 已知不等式组 ,表示的平面区域为错误!未找到引用源。 ,其中错误!

错误!未找到引用源。 ,则当错误!未找到引用源。的面积取得最小值时的错误!未找到引用源。 未找到引用源。 的值为 .

6.【2013 届浙江省重点中学协作体 高三摸底测试】 已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ?R (Ⅰ)若 k ? 0 ,且对于任 意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确 定实数 k 的 取值范围; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1
[来源:Zxxk.Com]

? 2) (n ?N? )

n 2

本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用,同时考查推理论证能力,分类 讨论等综合解题能力和创新意识。满分 15 分。 解: (Ⅰ)由 f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函 数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立. 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

1] ①当 k ? (0, 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .
x

? 此时 f ( x ) 在 [0, ?) 上单调递增. 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. , ②当 k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 .
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, k ) ln

ln k

(ln k, ?) ?

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ?

, 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e . 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .····· 分 ····7
(Ⅱ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , ??
F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得,[ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n 故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

····15 ? 2) 2 ,n ? N? .····· 分

n