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2019年版高中全程复习方略配套课件:32诱导公式(北师大版·数学理)语文_图文

第二节 诱导公式
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三年1考 高考指数:★
能利用单位圆中的三角函数线推导出 ? ±α ,π ±α 的正弦、余
2
弦、正切的诱导公式.

1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点也是热点. 2.主要以选择题、填空题的形式考查.

三角函数的诱导公式

(1)三角函数的诱导公式

函数 角

α +2kπ (k∈Z)



π +α

π -α
?
2 -α

? 2



sinx
sinα
-sinα -sinα sinα cosα
cosα

cosx
cosα
cosα -cosα -cosα sinα
-sinα

tanx
tanα
-tanα tanα -tanα cotα -cotα

(2)诱导公式的记忆方法与规律:
①记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.(解释:公式中的 角可以表示为k· ? ±α (k∈Z)的形式,“奇、偶”是指k的奇
2
偶性;“符号”是指把任意角α 看作是锐角时原函数值的符号)
②可以分类记忆:函数名称“变与不变”,函数值的符号“变
与不变”.

【即时应用】

(1)思考:“符号看象限”中符号是否与α 的大小有关?

提示:无关,只是把α从形式上看作锐角,从而2kπ+α,

π+α,-α,π-α, ? -α,? +α分别是第一、三、四、二、

2

2

一、二象限角.

(2)sin( ? 4? )=______.

3

【解析】sin(? 4?) ? ?sin(? ? ?) ? sin ? ? 3 .

3

3

32

答案: 3

2

(3)已知tan(π +α )=3,则 2cos(? ? ?) ? 3sin(? ? ?) =______.
4cos(??) ? sin(2? ? ?)
【解析】∵tan(π+α)=3,∴tanα=3.

原式= ?2cos? ? 3sin? ? ?2 ? 3tan? ? ?2 ? 3? 3 ? 7.

4cos? ? sin? 4 ? tan?

4?3

答案:7

利用诱导公式求值 【方法点睛】利用诱导公式解题的原则和步骤 (1)诱导公式应用的原则:负化正、大化小,化到锐角为终了.

(2)诱导公式应用的步骤:

任意负角的 三角函数

任意正角的 三角函数

0~2π 的角的三角函数

锐角三角函数

【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符 号.

【例1】(1)(2012·蚌埠模拟)已知 sin? ? 3 ,θ ∈( ? ,π ),则

5

2

sin(?? ? ?) =______.
sin(9 ? ? ?) 2

(2)已知α 为第三象限角,

sin(? ? ?)gcos(3? ? ?)gtan(? ? ?)

f (?) ?

2

2

,

tan(?? ? ?)gsin(?? ? ?)

①化简f(α );②若 cos(? ? 3?) ? 1 , 求f(α )的值.
25

【解题指南】(1)先求tanθ,再利用诱导公式化简代数式,将 tanθ的值代入. (2)①直接利用诱导公式化简约分.②利用α在第三象限及同角 三角函数关系的变形式得f(α).

【规范解答】(1)sinθ= 3 ,θ∈( ? ,π),

5

2

?cos? ? ? 1? sin2? ? ? 4 , 5

? tan? ? sin? ? ? 3 ; cos? 4

sin(?? sin ( 9?

? ?) ? ?)

?

sin? cos?

?

tan?

?

?

3 4

.

2

答案:? 3
4

sin(? ? ?)gcos(3? ? ?)gtan(? ? ?)

(2)①f (?) ?

2

2

tan(?? ? ?)gsin(?? ? ?)

? (?cos?)gsin?g(?tan?) ? ?cos?. (?tan?)gsin?

② Q cos(? ? 3?) ? 1 , 25

??sin? ? 1 , 从而 sin? ? ? 1 .

5

5

又α为第三象限角,

?cos? ? ? 1? sin2? ? ? 2 6 , 5
即f(α)的值为 2 6 .
5

【反思·感悟】在利用诱导公式求值时,一般要先化简,再根 据条件求值,掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负 号”的正确判断.另外,诱导公式的应用非常灵活,可以正用、 逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.

利用诱导公式化简证明 【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路 ①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函 数;③整理得最简形式. 2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.

【例2】(1)化简:

sin(2?

?

?)gcos(3?

?

?)gcos(

3 2

?

?

?)

;

sin(3? ? ?)gsin(? ? ?)gcos(?? ? ?)

(2)求证:对于任意的整数k,

sin(k? ? ?)cos(k? ? ?) ? ?1. sin[(k ?1)? ? ?]cos[(k ?1)? ? ?]
【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简,约分得结果.

(2)由于此题中的k不明确,需要对其分偶数和奇数讨论.

【规范解答】(1)原式= ?sin?g(?cos?)g?sin? ? 1.
sin?g(?sin?)g(?cos?)
(2)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),
则原式= sin(2n? ? ?)cos(2n? ? ?) ? (?sin?)cos? ? ?1.
sin(2n? ? ? ? ?)cos(2n? ? ? ? ?) (?sin?)(?cos?)
当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z,
则原式= sin[(2n ?1)? ? ?]cos[(2n ?1)? ? ?] ? ?sin?cos? ? ?1.
sin[(2n ? 2)? ? ?]cos(2n? ? ?) sin?cos?
故对任意的整数k, sin(k? ? ?)cos(k? ? ?) ? ?1.
sin[(k ?1)? ? ?]cos[(k ?1)? ? ?]

【反思·感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注 意把任意角α看成锐角来处理. 2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化 简是求解的关键.

诱导公式在三角形中的应用

【方法点睛】三角形中的诱导公式

在三角形ABC 中常用到以下结论:

sin(A+B)=sin(π -C)=sinC,

cos(A+B)=cos(π -C)=-cosC,

tan(A+B)=tan(π -C)=-tanC,

sin( A ? B) ? sin( ? ? C) ? cos C ,

22

22

2

cos( A ? B) ? cos( ? ? C) ? sin C .

22

22

2

【例3】在△ABC中,若sin(2π -A)=- 2 sin(π -B), 3 cosA=- 2 cos(π -B),求△ABC的三个内角.
【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系
求得cosA,进而可求得角A,B,C.

【规范解答】由已知得

sinA ? 2sinB, 3cosA ? 2cosB 两式平方相加得2cos2A=1,

即 cosA ?

2 2



cosA

?

?

2. 2

(1)当 cosA ?

2 2

时, cosB ?

3, 2

又角A、B是三角形的内角,

∴A=

?, 4

B=

? ,? 6

?C ? ? ? (A ? B) ? 7? . 12

(2)当 cosA ? ? 2 时,
2 cosB ? ? 3 ,
2
又角A、B是三角形的内角,

∴A= 3?,B= 5?,不合题意.

4

6

综上知,A ? ?,B ? ?,C ? 7? .

4

6

12

【反思·感悟】1.三角形中常用角的变形结论有:A+B=π-C; 2A+2B+2C=2π;A ? B ? C ? ? .
2222
2.求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的
范围,最后求角.

【满分指导】关于诱导公式主观题的规范解答

【典例】(12分)(2012·合肥模拟)已知 sin(? ? ?) ? ? 5 ,? ?(0,?),
25

(1)求

cos2 ( ? 4

?

?) 2

? cos2 ( ? 4

?

?) 2

的值;

sin(? ? ?) ? cos(3? ? ?)

(2)求 cos(2? ? 3?) 的值.
4
【解题指南】利用已知结合诱导公式求出cosα和sinα,把所给

三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简,即可求得.

【规范解答】(1)Q sin(? ? ?) ? ? 5 , …………………………2分
25

∴cosα= ?

5 , 又α∈(0,π),∴sinα=
5

2 5 . ………………4分
5

cos2 ( ? ? ? ) ? cos2 ( ? ? ? )

42

42

sin(? ? ?) ? cos(3? ? ?)

cos2 ( ? ? ? ) ? sin2 ( ? ? ? )

?

42

42

sin? ? cos?

cos( ? ? ?)

?

2

?

?sin?

? ? 2 . ………………………………6分

sin? ? cos? sin? ? cos? 3

(2) Q cos? ? ? 5 ,sin? ? 2 5 ,? ? (0,?) ? sin2? ? ? 4 ,

5

5

5

cos2? ? ? 3 ,……………………………………………………10分
5

cos(2? ? 3?) ? ? 2 cos2? ? 2 sin2? ? ? 2 . …………………12分

4

2

2

10

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下 失分警示和备考建议:
失 在解答本题时有以下两点容易造成失分: 分 警 (1)忽略α的范围而使解的三角函数值符号错误; 示 (2)在化简时公式应用错误,而使结果错误.

在用诱导公式解三角函数的问题时,还有以下几点容 备 易造成失分,在备考时要高度关注: 考 (1)诱导公式记忆不准确; 建 (2)不注意角的范围和象限,造成符号的错误. 议 另外,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形,
才能快速正确地解决这类问题.

1.(2012·西安模拟)sin330°=( )

(A) 1 2

(B) ? 1 2

(C) 3

(D) ? 3

2

2

【解析】选B.sin330°=sin(360°-30°)=sin(-30°)

? ?sin30? ? ? 1 . 2

2.(2012·南京模拟)已知 cos(π-α)= 3 ,π<α< 3π , 则sin(π +α )

2

2

=______.

【解析】cos(? ? ?) ? 3 ,
2

??cos? ? 3 ,?cos? ? ? 3 .

2

2

又 Q ? ? ? ? 3 ?,?? ? 7 ?.

2

6

?sin(? ? ?) ? ?sin? ? ?sin(7 ?) ? sin ? ? 1 .

6

62

答案:1
2

3.(2012·滁州模拟)若cosα = 2 ,α 是第四象限角,则
3
sin(α -2π )+sin(-α -3π )cos(α -3π )=______.
【解析】原式=-sin(2π-α)+[-sin(3π+α)cos(3π-α)]
=sinα+[-sin(π+α)cos(π-α)]
=sinα+sinα(-cosα) ∵cosα= 2 ,α是第四象限角,
3

?sin? ? ? 1? 4 ? ? 5 , 93

∴原式= ? 5 ? (? 5 )? (? 2) ? ? 5 ? 2 5 ? ? 5 .

3

3

3 39

9

答案:? 5
9