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高中数学 2.3.2《平面与平面垂直的判定》教案 新人教版A必修2

平面与平面垂直的判定
教学目的: 1.理解二面角及其平面角的概念, 能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角: 3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直。 教学重点:二面角的概念和二面角的平面角的作法,面面垂直的判定 教学难点:二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定 教学过程: 一、创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的?问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多问题要 涉及到两个平面相交所成的角的情形, 你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、 发射人 造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探。 二、研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其形状,然后引导学生用数学思维思考,并将它与角 进行类比,归纳出二面角的概念及记法与表示. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle) 。这条直线叫二面 角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 棱为 AB,面分别为α ,β 的二面角记作二面角α -AB-β 。有 时为了方便,也可在α ,β 内(棱以外的半 平面部分)分别取 点 P,Q,将这个二面角记作二面角 P-AB-Q。如果棱记作 l, 那么这个二面角记作二面角α ―l―β 或 P―l―Q。 2、二面角的度量 提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位 置关系,如我们常说“把门开大一些” , 是指二面角大一些,那我们 应如何度量二面角的大小呢? 师生活动: 师生共同做一个小实验 (预先准备好的二面角的模型) , 在其棱上取一点为顶点, 在两个半平面内各作一射线, 通过实验操 作,研探二面角 大小的度量方法——二面角的平面角。 在二面角α ―l―β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半 平面α 和β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面 角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” , “OB⊥L” ; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)二面角的 平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,平面角是直角时叫直二面角。 (4)二面角的平面角 的范围是: [0 ,180 ] 3、两个平面互相垂直 观察教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.引导出两个 平面互相垂直的概念. 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
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两个平面互相垂直的画法及其表示: 两个平面互相垂直通过画成: 直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。 平面α 与β 垂直, 记作:α ⊥β 。 4、两个平面垂直的判定 教师指出:判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有下面的判定定理. 两个平面垂直的判定定理:如果一个

平面经过另一个平 面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

求证:α ⊥β . 分析: 要证明两个平面互相垂直, 只有根据两个平面互相垂直的定义, 证明由它们组 成的二面角是直二面角,因此必须作出它的一个平面 角, 并证明这个平面角是直角. 如何作平面角呢?根据平面角的定义, 可以作 BE⊥CD,使∠ABE 为二面角α -CD-β 的平面角. 让学生独自写出证明过程. 证明:设 a∩β =CD,则 B∈CD.

∴AB⊥CD. 在平面 β 内过点 B 作直线 BE⊥CD,则∠ABE 是二面角α -CD-β 的平面角,又 AB⊥BE,即二 面角α -CD-β 是直二面角. ∴α ⊥β . 特别指出:两个平面垂直的判定定理,不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出垂 直于一个平面的另一个平面的依据.如:建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查 所砌的墙面是否和水平面垂直,实际上,就是依据这个原理.另外,这个定理说明要证明面 面垂直,实质上是转化为线面垂直来证明. 三、应用举例,强化所学 例 1、如图,AB 为⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是 圆周上不同于 A,B 的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面 PBC。 教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽 检学生掌握情况,教师最后讲评并板书证明过程。

证明:设⊙O 所在平面为 α ,由已知条件,有 PA⊥α ,BC 在 α 内, 所以,PA⊥BC, 因为,点 C 是不同于 A,B 的任意一点,AB 为⊙O 的直径, 所以,∠BCA=90°,即 BC⊥CA
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又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线, 所以,BC⊥平面 PAC, 又因为 BC 在平面 PBC 内, 所以,平面 PAC⊥平面 PBC。 四、运用反馈,深化巩固 1.指导完成课本 P.69 的探究问题 2.指导完成课本 P.69 的练习 五、小结归纳,整体认识 1.比较角与二面角之间的关系 角 二面角

A 边

图形
顶 点 O 边 B

定义

从平面内一点出发的两条射线(半 直线)所组成的图形 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

构成 表示

2.二面角的度量; 3.两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? 六、课后巩固,拓展思维 1、课后作业:P.73 习题 2.3 A 组 1,2,3,4. 2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么∠AOB 的 大小与点 O 在 L 上的位置无关?

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