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选修2-1第2章圆锥曲线2.3.2双曲线的简单几何性质第2课时


2.3.2 双曲线的简单几何性质第 2 课时
一、选择题 1.双曲线 C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2), 则双曲线 C 的方程为( A. - =1 4 4 )

x

2

y

2

B. - =1C. - =1 D. - =1 4 4 4 8 8 4 )

y

2

x2

y2 x2

x2 y2

2.双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( 3 A.2 B. 3C. 2D. 2

x2 y2 b a

3. 已知双曲线 2- 2=1 和椭圆 2+ 2=1(a>0, m>b>0)的离心率互为倒数, 那么以 a,

x2 y2 a b

x2 y 2 m b

b,m 为边长的三角形一定是(

)

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=-x,则双曲线方程 16 64 为( ) A.x -y =96 B.y -x =100C.x -y =80 D.y -x =24 5.已知定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( 1 3 7 A. B. C. D.5 2 2 2 二、填空题 6.过双曲线 - 2=1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M,N 两点,F2 为其右焦点, 4 b 则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为________. 7.(2011·山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点, a b 16 9 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. )
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y 2

x2 y2

x2

y2

x2 y2 8.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴的 a b
直线交双曲线于 A,B 两点.若△ABF2 为直角三角形,则双曲线的离心率为________ 三、解答题 9.求与双曲线 - =1 共渐近线且过点 A(2 3,-3)的双曲线方程. 16 9

x2

y2

10. 已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1、 F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, - 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积.

11.双曲线 C 的中心在坐标原点,顶点为 A(0, 2),A 点关于一条渐近线的对称点是

B( 2,0),斜率为 2 且过点 B 的直线 l 交双曲线 C 于 M,N 两点,求:
(1)双曲线的方程; (2)|MN|.

y → 2 12.已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x - =1 于 A、B 两点,且ON= 2
1 → → (OA+OB). 2 (1)求直线 AB 的方程; → → (2)若过点 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且CD·AB=0,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么?

2

双曲线的简单几何性质第 2 课时
一.选择题 题号 答案 二.填空题 6. 8 7. 1 B 2 C 3 B 4 D 5 C

x2 y2
4

- =1 3

8. e=1+ 2. 三.解答题 9.解 设与双曲线 - =1 16 9 共渐近线的双曲线方程为 - =λ (λ ≠0). 16 9 ∵A(2 3,-3)在双曲线上, ?2 3? ?-3? 1 ∴λ = - =- . 16 9 4
2 2

x2

y2

x2

y2

x y 1 4y x ∴所求双曲线方程为 - =- 即 - =1. 16 9 4 9 4
10.解 (1)∵e= 2. ∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵过点(4,- 10), ∴λ =16-10=6. ∴双曲线的方程为 x -y =6. (2)由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3. ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0). → → ∴MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m). → → 2 2 ∴MF1·MF2=(3+2 3)(3-2 3)+m =-3+m . ∵M 在双曲线上, ∴9-m =6,∴-3+m =0. → → ∴MF1·MF2=0. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3,
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

△F1MF2 的高 h=|m|= 3, 1 ∴S△F1MF2= ×4 3× 3=6. 2 11.解:(1)依题意可设双曲线方程为 - 2=1, 2 b 线段 AB 以中垂线 y=x 即渐近线,∴b =2,双曲线方程为 - =1. 2 2 (2)MN 的方程为 y=2(x- 2),
2

y2 x2

y2 x2

y x ? ? 2 - 2 =1, ? ? ?y=2?x- 2?

2

2

?3x -8 2x+6=0.

2

8 2 Δ =56>0,x1+x2= ,x1x2=2, 3 ∴|MN|= 1+2 |x1-x2|= 5·
2

64×2 2 70 -8= . 9 3

12.解 (1)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB:y=k(x-1)+2,代入 x - =1 2 得(2-k )x -2k(2-k)x-(2-k) -2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*)的两根, ∴2-k ≠0. 2k(2-k) 且 x1+x2= . 2 2-k → 1 → → ∵ON= (OA+OB), 2 ∴N 是 AB 的中点, ∴
2 2 2 2 2

y2

(*)

x1+x2
2

=1,
2

∴k(2-k)=-k +2,k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. (2)共圆.将 k=1 代入方程(*)得

x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3,
∴A(-1,0),B(3,4). → → ∵CD·AB=0,∴CD 垂直 AB, ∴CD 所在直线方程为

y=-(x-1)+2,
即 y=3-x,代入双曲线方程整理得 x +6x-11=0, 令 C(x3,y3),D(x4,y4)及 CD 中点 M(x0,y0) 则 x3+x4=-6,x3·x4=-11, ∴x0=
2

x3+x4
2

=-3,y0=6,

即 M(-3,6). |CD|= 1+k |x3-x4| = 1+k
2 2

(x3+x4) -4x3x4

2

=4 10, 1 |MC|=|MD|= |CD|=2 10, 2 |MA|=|MB|=2 10, 即 A、B、C、D 到 M 的距离相等, ∴A、B、C、D 四点共圆.


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