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2018-2019学年高中数学苏教版必修3教学案:第3章 3.4 互斥事件-含解析

数学 互斥事件 预习课本 P112~115,思考并完成以下问题 1.什么叫互斥事件? 2.若 A,B 是两个事件,则 A+B 的含义是什么? 3.互斥事件的概率加法公式是什么? 4.什么叫对立事件,对立事件有什么性质? [新知初探] 1.互斥事件 (1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件. (2)如果事件 A1,A2,…,An 中的任何两个都是互斥事件,就说事件 A1,A2,…,An 彼 此互斥. [点睛] (1)若事件 A1,A2,…,An 彼此互斥,则在这些事件中,至多有一个发生,即可以有一 个发生,而其他的均不发生,也可以是均不发生. (2)如果事件 A 与 B 是互斥事件,那么 A 与 B 同时发生的概率为 0. (3)从集合的角度来看,事件 A,B 彼此互斥,是指事件 A,B 所含的结果 组成的集合彼此不相交, 也就是它们的交集是空集, 所有事件结果构成全集 I, 如图所示. 2.互斥事件的概率加法公式 数学 (1)A+B 表示在一次试验中 A,B 至少有一个发生. (2)如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率等于事件 A,B 分别发生的概率的 和,即 P(A+B)=P(A)+P(B). (3)如果事件 A1, A 2, …, An 两两互斥, 则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). [点睛] 运用上述公式必须判断事件间的互斥性, 然后再判断它们当中是否必有一个发生, 否则 不能用公式. 3.对立事件 (1)定义:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件,事件 A 的对立事 件记为 A . (2)性质:P(A)+P( A )=1,P( A )=1-P(A). [点睛] (1)两个事件是对立事件,则必然为互斥事件;但两个互斥事件不一定是对立事件; (2)对立事件是一种特殊的互斥事件,在一次试验中,对立事件有且只有一个发生,而 互斥事件则可能两个都不发生,即互斥事件至多有一个发生; (3)从集合的角度看,表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事 件的并集是全集,而两个互斥事件的并集不一定是全集;(4)两个对立事件的概率之和一定 等于 1,而两个互斥事件的概率之和小于或等于 1. [小试身手] 1.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名同学去参加比赛. (1)“恰有一名男生”和“恰有两名男生”; (2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”; (3)“至少有一名男生”和“全是男生”; (4)“至少有一名男生”和“全是女生”. 试判断以上各对事件是不是互斥事件,并说明理由. 解:(1)是互斥事件. 理由如下:在所选的两名同学中,“恰有一名男生”实质是选出“一名男生,一名女 生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件. (2)不是互斥事件. 数学 理由如下: “至少有一名男生”包括“一名男生, 一名女生”和“两名都是男生”两种 结果,“至少有一名女生”包括“一名女生,一名男生”和“两名都是女生”两种结果,它 们可能同时发生. (3)不是互斥事件. 理由如下: “至少有一名男生”包括“一名男生, 一名女生”和“两名都是男生”两种 结果,这与“全是男生”可能同时发生. (4)是互斥事件. 理由如下: “至少有一名男生”包括“一名男生, 一名女生”和“两名都是男生”两种 结果,它与“全是女生”不可能同时发生,所以一定是互斥事件. 2. 某射手在一次射击训练中, 射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算这个射手在一次射击中射中 10 环或 7 环的概率. 解:记“射中 10 环”为事件 A,“射中 7 环”为事件 B,由于在一次射击中,A 与 B 不可能同时发生,故 A 与 B 是互斥事件. ∴射中 10 环或 7 环的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49. 互斥事件、对立事件的判断 [典例] 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报”,事件 B 为 “至少订一种报”,事件 C 为“至多订一种报”,事件 D 为“不订甲报”,事件 E 为“一 种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 D;(4)B 与 C;(5)C 与 E. [解] (1)由于事件 C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件 A 与事件 C 有可能 同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 发生可导致事件 E 一定不发生,且事件 E 发生会导致事件 B 一定 不发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件 B 发生, 数学 事件 D 也可能发生,故 B 与 D 不互斥. (4)事件 B“至少订一种报”中有这些可能: “只订甲报” “只订乙报” “订甲、乙两种报” , 事件 C“至多订一种报”中有这些可能: “什么也不订” “只订甲报” “只订乙报” .由于这两 个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (5)由(4)的分析,事件 E“一种报也不订”只是事件 C 的一种可能,故事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件. 互斥事件、对立事件的判断方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生; ②对立事件首先是互斥事件,且必有一个要发生. (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 它们所含的结果组成的集合分别是 A,B:①若事件 A 与 B 互斥,即集合 A∩B=?;②若事件 A 与 B 对立,即集合 A∩B=?,且 A∪B=I,也即 A=?IB 或 B=?IA; ③对互斥事件 A 与

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