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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.8 解三角形的综合应用课件 文_图文

第四章 三角函数、解三角形

§4.8 解三角形的综合应用

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平视线 上方 叫仰角,目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图 ①).

答案

2.方向角 相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等. 3.方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位 角为α(如图②).

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为 α+β=180°.( × )

π (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0,2].( × )
(3) 方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间
的位置关系.( √ )

(4)如图,为了测量隧道口AB的长度,可测量
数据a,b,γ进行计算.( √ )
答案

2

考点自测

1.海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10 n mile,从A望C和B成60°
5 6 视角,从B望C和A成75°视角,则BC=________ n mile.

解析

如图,在△ABC中,

AB=10,∠A=60°,∠B=75°,

BC 10 ∴ = , sin 60° sin 45°

∴BC=5 6.
解析答案

2.某人向正东方向走 x 千米后,他向右转 150° ,然后朝新方向走 3 千 3或 2 3 米,结果他离出发点恰好为 3千米,则 x 的值是________.

解析
2

依题意,x2+9-2×3xcos 30° =( 3)2,

x -3 3x+6=0,
(x- 3)(x-2 3)=0,

∴x1= 3或 x2=2 3.

解析答案

3.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30° ,经过 1 min
6.6 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海拔高度为________ km(精确到

0.1 km,参考数据: 3≈1.732).

解析

1 50 ∵AB=1 000×60= 3 km,

AB 50 ∴BC= · sin 30° = km. sin 45° 3 2 50 50 ∴航线离山顶 h= ×sin 75° = ×sin(45° +30° )≈11.4 km. 3 2 3 2

∴山高为18-11.4=6.6 km.
解析答案

4.轮船A和轮船 B 在中午 12时同时离开海港 C,两船航行方向的夹角为 120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则下午2时两 70 船之间的距离是________n mile. 解析 设两船之间的距离为d, 则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900, ∴d=70,即两船相距70 n mile.

解析答案

5.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,S 为△ABC 的 π 面积.若向量 p=(4,a2+b2-c2),q=( 3,S)满足 p∥q,则 C=________. 3
解析 由题意得 p∥q?4S= 3(a +b -c ),
2 2 2

1 又 S=2absin C,

所以 2absin C= 3(a2+b2-c2)?sin C
?a2+b2-c2? ??sin C = 3? 2ab ? ?

= 3cos C?tan C= 3,
π 解得 C= . 3
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题型分类 深度剖析

题型一

求距离、高度问题
(1)如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定

例1

一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,

50 2 m. B两点的距离为________
解析 由正弦定理得

2 AC· sin∠ACB 50× 2 AB= = =50 2(m). sin B 1 2
解析答案

(2)(2015· 湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30° 的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏 北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1) 一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P的南偏西 75°的方向上, 距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N处,则这只 17 6 海里/小时. 船航行的速度为________ 2 解析 由题意知,在△PMN 中, PM = 68 海里, ∠MPN = 75°+ 45°

=120°,∠MNP=45°. MN 68 由正弦定理,得sin 120° =sin 45° ,
解得 MN=34 6海里,
34 6 17 6 故这只船航行的速度为 4 = 2 海里/小时.
解析答案

(2)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A,B两点,从A,B 两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高度为________m.

解析答案

题型二

求角度问题
(1)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的

例2

距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察 北偏西10° 站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的__________ 方向.

解析

由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°,

又AC=BC,

所以∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°,
所以灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.
解析答案

(2) 如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB , CD 的高度 分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD=________.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已 知点 A 到墙面的距离为 AB ,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此 人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB = 15 m , AC = 25 m , ∠BCM = 30° , 则 tan θ 的 最 大 值 是 ________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

解析答案

题型三

三角形与三角函数的综合问题
?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? ? 2 3sin ?4+x?+2sin?4+x?cos?4+x?. ? ? ? ? ? ?

例 3 已知函数 f(x)=2

(1)求函数f(x)的单调递增区间;
解 由题意知,f(x)=
? ?π ?? ?π ? ? ? ?? ? 3?1-cos?2+2x??+sin?2+2x? ? ? ? ?? ? ?

= 3(1+sin 2x)+cos 2x
= 3+ 3sin 2x+cos 2x= π π π 由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2,k∈Z, π π 解得 kπ-3≤x≤kπ+6,k∈Z, ? π π? ? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为?kπ-3,kπ+6?,k∈Z. ? ?
解析答案

? π? ? ? 3+2sin?2x+6?, ? ?

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且角 A 满足 f(A)= 3+1.若 a=3,BC 边上的中线长为 3,求△ABC 的面积 S.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,2cos C+ c=2b,则△ABC的周长的取值范围是____________.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

9.函数思想在解三角形中的应用

典例

(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船

上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A
处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直

线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案( 即
确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,

并说明理由.
思维点拨 温馨提醒 解析答案 返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.利用解三角形解决实际问题时, (1)要理解题意,整合题目条件, 画出示意图,建立一个三角形模型; (2)要理解仰角、俯角、方位角、 方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围, 最后还要检验问题的实际意义. 2. 在三角形和三角函数的综合问题中,要注意边角关系相互制约, 推理题中的隐含条件.

失误与防范

1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系

弄混.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,

这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理
起来既清楚又不容易出现错误.

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练出高分

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1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA

6 =60°,则A,C两点之间的距离为________ km.
解析 如图,在△ABC中,

由已知可得∠ACB=45°,
AC 2 ∴sin 60° =sin 45° ,

3 ∴AC=2 2× 2 = 6.
解析答案

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2.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向
直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察

灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,
那么B,C两点间的距离是________ 海里.

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3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km, 一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已 知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头 A驶到码头B所用的最短时间为 6 min,则客船在 静水中的速度为________ km/h.

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4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B, C 的俯角分别为 75°, 30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度BC等于________ m.

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5.如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B在同一

水 平 面 内 的 两 个 测 点 C 与 D , 测 得 ∠BCD = 15° ,
∠BDC = 30°, CD= 30 ,并在点 C 测得塔顶 A的仰角为

60°,则塔高AB等于________.

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6.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平 面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台

10 3 底部的连线成30°角,则两条船相距 ____m.
解析 如图,OM=AOtan 45°=30 (m),

3 ON=AOtan 30° = ×30=10 3 (m), 3

在△MON 中,由余弦定理得,MN=
= 300=10 3 (m).

3 900+300-2×30×10 3× 2

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7.在 200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30°, 400 60°,则塔高为________m. 3 解析 如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,

∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°.
400 又 AB=200 m,∴AC= 3 m. 3

在△ACD中,由余弦定理得,AC2=2CD2-2CD2· cos 120°=3CD2,

1 400 ∴CD= AC= 3 m. 3
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8.在Rt△ABC中,∠C=90°,且内角A、B、C所对的边a、b、c满足

(1, 2] a+b=cx,则实数x的取值范围是________.
解析


a+b sin A+sin B x= = =sin A+cos A c sin C
? π? ? ? A∈?0,2?, ? ?

? π? ? ? 2sin?A+4?.又 ? ?

? π? π π ? ? ∴sin 4<sin?A+4?≤sin 2,即 x∈(1, 2]. ? ?

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9.如图,渔船甲位于岛屿 A的南偏西60°方向的B处,且与 岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; 解 依题意知,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.

在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120°=784,解得BC=28. BC 所以渔船甲的速度为 2 =14 海里/小时.

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(2)求sin α的值. 解 在△ABC中,因为AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,

AB BC 由正弦定理,得sin α=sin 120° ,
3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α= = = . BC 28 14

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10.如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1, P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .

1 (1)若 PB= ,求 PA; 2
解 由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
2

1 1 7 在△PBA 中,由余弦定理得 PA =3+ -2× 3× cos 30° = , 4 2 4
7 故 PA= 2 .
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(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.



设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.

3 sin α 在△PBA 中,由正弦定理得sin 150° = , sin?30° -α?

化简得 3cos α=4sin α,
3 3 所以 tan α= 4 ,即 tan∠PBA= 4 .

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11.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水 柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是________ m.

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12.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏 东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10∶00 到 达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相
32 距 8 2n mile.此船的航速是________ n mile/h.

解析

设航速为v n mile/h,

1 在△ABS 中,AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° , 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得sin 30° =sin 45° ,∴v=32.
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13.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形 AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿 DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则 该扇形的半径为________米.

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14.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面

上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度 ( 单位:
km) : AB = 5 , BC = 8 , CD = 3 , DA = 5 ,且 A , B , C ,

D四点共圆,则AC的长为________ km.

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15.在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物
顶端相对于山坡的斜度为15°,如图所示,向山顶前进

100 m后,又从B点处测得斜度为45°,设建筑物的高为
50 m.设此山对于地平面的斜度为θ,则cos θ=________.

解析答案

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