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天津市红桥区高三数学上学期期末考试试题理(扫描版)_图文

天津市红桥区 2016 届高三数学上学期期末考试试题 理(扫描版)

1

2

3

4

5

6

高三数学(理)答案(2016、01) 一、选择题 每题 5 分,共 40 分 1.B; 2.C; 3.B; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.D 二、填空题 每题 5 分,共 30 分 题号 9 10 答案 10 18 11 12 13 25 14

5π 6

3 5

45

三、解答题 共 80 分 (15) (本小题满分 13 分) 某篮球队规定,在一轮训练中,每人最多可投篮 4 次,一旦投中即停止该轮训练,否则一直 试投到第 四次为止.已知一个投手的投篮命中概率为 (Ⅰ)求该选手投篮 3 次停止该轮训练的概率; (Ⅱ)求一轮训练中,该选手的实际投篮次数 ? 的概率分布和数学期望. [解] (Ⅰ)该选手投篮 3 次停止该轮训练即第三次投中事件为 A ,概率为:
3 3 3 ; --------------------------------------4 分 P( A) ? (1 ? )2 ? ? 4 4 64

3 , 4

(Ⅱ) ? 的可能取值为 1、2、3、4,-------------------------5 分
P(? ? 1) ? 3; 4

3 3 3 P(? ? 2) ? (1 ? ) ? ? ; 4 4 16 3 3 3 ; P(? ? 3) ? (1 ? )2 ? ? 4 4 64 3 3 3 1 P(? ? 4) ? (1 ? )3 ? ? (1 ? )4 ? 4 4 4 64

------------------11 分 1
3 4

所以, ? 的分布列为

?

2
3 16

3
3 64

4
1 64

P

3 3 3 1 97 . E(? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 4 16 64 64 64

-------------------13 分

(16) (本小题满分 13 分) 函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 1,当 x ?

?
2

) 在同一个周期内,当 x ?

?
4

时 y 取最大值

7? 时, y 取最小值 ? 1 。 12

(Ⅰ)求函数的解析式 y ? f ( x).

7

(Ⅱ)函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y ? f ( x) 的图象? (Ⅲ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间.

解: (Ⅰ)

?

2?

? ?? ? 3

? 2?(

7? ? ? ) 12 4
----------------------4 分

又因 sin( ? ? ? ) ? 1,? 又? ? ?

3 4

?
2

3? ? ? ? ? 2k? ? , 4 2

,? ? ? ?

?

? -----------------------7 分 ? 函数 f ( x) ? sin( 3 x ? ) 4 ? ? (Ⅱ) y ? sin x 的图象向右平移 个单位得 y ? sin( x ? ) 的图象 4 4 ? 1 ( ? ) 图象上所有点的横坐标变为原来的 .纵坐标不变,得到 再 由 y ? co sx 4 3 ? y ? sin( 3 x ? ) 的图象,----------------------------------------------9 分 4
π ? 3 π (Ⅲ)令 ? 2k? ≤ 3x ? ≤ ? 2k? (k ? Z ) , 2 4 2
求得函数 f ( x ) 的单调递减区间为 [ (17) (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 9 ,其前 n 项和为 Sn ,对 n ? N? , n ≥ 2 ,都有 Sn ? 3(Sn?1 ? 2) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项;
9? ? (Ⅱ)求证:数列 ? S n ? ? 是等比数列; 2? ?

4

,

-----------------------6 分

2k? π 2k? 7π ? , ? ] .-------- --------13 分 3 4 3 12

(Ⅲ)若 bn ? ?2log3 an ? 20 , n ? N? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最大值; 解: (Ⅰ)∵ Sn ? 3(Sn?1 ? 3) , Sn?1 ? 3(Sn ? 3) , ∴ an ?1 ? 3an .故 ?an ? 是公比为 3,首项为 9 的等比数列, an ? 3n?1 ------4 分 (Ⅱ)因为 an ? 9 ? 3n?1 ,所以 Sn ?

9(1 ? 3n ) 9 9 ? ? ? ? 3n ,--------------7 分 1? 3 2 2

9 27 n Sn ?1 ? 3 9 9 27 9 9 n 27 n?1 2? 2 所以, Sn ? ? ? 3 ? ? 3 , S1 ? ? ? 3 ? , ? 3. 9 27 n ?1 2 2 2 2 2 2 Sn ? 3 2 2
8

9 ? 27 ? 故,数列 ? S n ? ? 是 为首项,公比为 3 的等比数列. ------------9 分 2? 2 ?

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 bn ? ?2log3 an ? 20 ? ?2n ? 18 , ∴ ?bn ? 是公差为 ?2 .首项为 16 的等差数列. ----------------11 分
Tn ? ?n2 ? 17n ,因为 b8 ? 0, b9 ? 0, b10 ? 0

所以, T8 或 T9 最大,最大值为 72. (18) (本小题满分 13 分) 已知长方体 AC1 中,棱

-----------------13 分

A1 B1 C1

D1

AB ? BC ? 1, 棱 BB1 ? 2 ,连结 B1C ,过 B
点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E ,交 B1C 于 F .

? 平面 EBD ; (Ⅰ)求证: AC 1
(Ⅱ)求点 A 到平面 A 1B 1C 的距离; B A

E F C D

DE 所成角的正弦值. ( Ⅲ)求平面 A 1B 1C 与直线 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,那么 (Ⅰ)证:以 A 为原点, AB, AD, AA 1 分别为

A(0, 0, 0) 、 B(1, 0, 0) 、 C (1,1, 0) 、 D(0,1, 0) 、 A1 (0,0, 2) 、 B1 (1,0, 2) 、 C1 (1,1, 2) 、
D1 (0,1, 2) , AC ? (1,1, ?2) , BD ? (?1,1,0) , 1
设 E (1,1, z ) ,则: BE ? (0,1, z ) , CB1 ? (0, ?1,2) , ………2 分

BE ? B1C ? BE ? CB1 ? ?1? 2z ? 0 ,

z?

1 1 1 ,? E (1,1, ) , BE ? (0,1, ) , 2 2 2

AC 1 ? BD ? ?1 ? 1 ? 0 ? 0 , AC 1 ? BE ? 0 ? 1 ?1 ? 0 ,
………4分 ………5分

?A 1C ? BD, A 1C ? BE ,
又 BD

EBD . BE ? B ? A 1C ? 平面

(Ⅱ)连结 AE1 ,A 到平面 A 1B 1C 的高 , 设为 h, ……6分 1B 1C 的距离 , 即三棱锥 A ? A

S

A 1B 1C

?

5 1 , VC ? A1B1 A ? ,由 VA? A1B1C ? VC ? A1B1A 3 2

9

得:

1 5 1 2 5 , ? h ? ,h ? 3 2 3 5 2 5 . 5
………9 分

? 点 A 到平面 A1B1C 的距离是
(Ⅲ)连结 DF ,

AC ? BE, B1C ? BE, AC 1 1

B1C ? C ,? BE ? 平面 A 1B 1C ,

(9 分) ? DF 是 DE 在平面 A 1B 1C 上的射影, ? EDF 是 DE 与平面 A 1B 1C 所成的角, 设 F (1, y, z ) ,那么 BF ? (0, y, z), CF ? (?1, y ?1, z), B1C ? (0,1, ?2) ,

BF ? B1C ? 0
4 2 ,z ? , 5 5

? y ? 2z ? 0



CF // B1C , ? z ? 2 ? 2 y



由①、②得 y ?

1 1 1 DE ? (1, 0, ) , EF ? (0, ? , ? ) 2 5 10
在 Rt FDE 中, DE

………11 分

?

EF 1 5 5 ? ,因此, DE 与 , EF ? .? sin ?EDF ? ED 5 2 10

平面

A 1B 1C 所成的角的正弦值是

1 . 5

………13 分

(19) (本小题满分 14 分) 已知圆 C : x ? y ? 4 .
2 2

(Ⅰ)直线 l 过点 P(1, 2) ,且与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 y 轴的直线 m ,设 m 与 x 轴的交点为 N ,若向量

OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程.
(Ⅲ) 若点 R(1, 0) ,在(Ⅱ)的条件下,求 RQ 的最小值. 解: (Ⅰ)显然直线 l 不垂直于 x 轴, 设其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 ………2 分 设圆心到此直线的距离为 d ,则 d ?

?k ? 2 k 2 ?1

? 2,

得k ? 0或k ? ?

4 3

………4 分

10

故所求直线方程为 y ? 2 或 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 .

………5 分

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) , Q 点坐标为 ( x, y ) ,则 N 点坐标是 ( x0 ,0)

( x, y) ? (2 x0 , y0 ) ∵ OQ ? OM ? ON ,∴
x2 ? y2 ? 4 2 2 x ? y ? 4 0 又∵ 0 ,∴ 4
由已知,直线 m / /oy 轴,所以, x ? 0 ,



x0 ?

x 2 , y0 ? y

………7 分

…………9 分

x2 ? y2 ? 4 Q 4 ∴ 点的轨迹方程是 (x ? 0)
2

………………10 分

RQ ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ( Ⅲ)设 Q 坐标为(x,y), RQ ? ( x ?1, y) , , …………11 分
x2 ? y2 ? 4 又 4 ( x ? 0 )可得:

4 2 44 3 ( x ? ) ? 2 x 2 3 3 ? 11 ? RQ ? ( x ? 1) ? 4 ? 4 4 3.
2

………………13 分

4 33 ? x ? ?? 4,0? ? ?0,4? ?当x ? 时, RQ 取到最小值 3 3

…………14 分

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax ? 1.
2

1 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率 k ? ? ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若 xf ?( x) ≥ x 2 ? x ? 1 ,求 a 的取值范围. (Ⅰ)因为 f ?( x) ?
3a ? 1 1 2ax2 ? a ? 1 , f ?(1) ? 1 ? ? 2 x

1 解得: a ? ? .---------------------------------------------------3 分 2

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

2ax2 ? a ? 1 , x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加;--------------------5 分
11

当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少;----------------- 6 分 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 . 2a

当 x∈(0,

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0;单调增, 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 单调减------------------------10 分 2a

(Ⅲ) xf ?( x) ? 2ax2 ? a ? 1≥ x2 ? x ? 1 , 得: a ≥ 令 g ( x) ? 则 g ?( x) ? 当0? x? 当x?
x2 ? x 2 x2 ? 1 x2 ? x ,( x ? 0) 2 x2 ? 1

---------------------------11 分

(2 x ? 1)(2 x 2 ? 1) ? 4 x( x 2 ? x) ?2 x 2 ? 2 x ? 1 ? (2 x 2 ? 1) 2 (2 x 2 ? 1) 2 ,

1? 3 时, g ( x) 单调递增, 2

1? 3 时, g ( x) 单调递减, 2

1? 3 1? 3 所以, g ( x)max ? g ( , )? 2 4

-------------------------13 分 .-----------------------14 分

故 a≥

1? 3 4

12