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2016-2017学年高中数学人教A版选修1-2 第二章 推理与证明 学业分层测评3 Word版含答案

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016· 郑州高二检测)下列说法正确的是( A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论无法判定正误 【解析】 合情推理得出的结论不一定正确,故 A 错;合情推理必须有前提 ) 有结论,故 B 对;合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相同的推理,可进行猜想,故 C 错;合情推理得出的 结论可以进行判定正误,故 D 错. 【答案】 B ) 2.下面使用类比推理恰当的是( A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类比推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“ c =c +c (c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” 【解析】 【答案】 由实数运算的知识易得 C 项正确. C 3.(2016· 大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图 217 所示, 图 217 按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( A.6n-2 B.8n-2 ) C.6n+2 【解析】 D.8n+2 从①②③可以看出,从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一 个图中的火柴棒多 6 根,故火柴棒数成等差数列,第一个图中火柴棒为 8 根,故 可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n+2. 【答案】 C 4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切 球切于四面体各正三角形的( ) A.一条中线上的点,但不是中心 B.一条垂线上的点,但不是垂心 C.一条角平分线上的点,但不是内心 D.中心 【解析】 【答案】 由正四面体的内切球可知,内切球切于四个面的中心. D 5.(2016· 南昌调研)已知整数对的序列为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 57 个数对是( A.(2,10) C.(3,5) 【解析】 B.(10,2) D.(5,3) 由题意,发现所给数对有如下规律: ) (1,1)的和为 2,共 1 个; (1,2),(2,1)的和为 3,共 2 个; (1,3),(2,2),(3,1)的和为 4,共 3 个; (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和为 5,共 4 个; (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和为 6,共 5 个. 由此可知,当数对中两个数字之和为 n 时,有 n-1 个数对.易知第 57 个数 对中两数之和为 12,且是两数之和为 12 的数对中的第 2 个数对,故为(2,10). 【答案】 二、填空题 6.把正数排列成如图 218 甲的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇 数行中的偶数,得到如图 218 乙的三角形数阵,现把图乙中的数按从小到大的顺 序排成一列,得到一个数列{an},若 an=2 017,则 n=__________. A 【导学号:19220014】 1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16 甲 1 24 579 10 12 14 16 乙 图 218 【解析】 图乙中第 k 行有 k 个数, 第 k 行最后的一个数为 k2, 前 k 行共有 k?k+1? 2 个数, 由 44×44=1 936,45×45=2 025 知 an=2 017 出现在第 45 行,第 45 行第一 个数为 1 937, 第 【答案】 2 017-1 937 44?44+1? +1=41 个数为 2 017, 所以 n= +41=1 031. 2 2 1 031 7.(2016· 日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面 积)S=πr2,观察发现 S′=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测 4 度(体积)V=3πr3, 观察发现 V′=S.已知四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3, 猜想其四维测度 W=________. 【解析】 【答案】 因为 V=8πr3,所以 W=2πr4,满足 W′=V. 2πr4 8.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3?b9=29.若{an}为等差数列,a5=2, 则{an}的类似结论为________. 【解析】 结合等差数列的特点, 类比等比数列中 b1b2b3?b9=29 可得, 在{an} 中,若 a5=2,则有 a1+a2+a3+?+a9=2×9. 【答案】 三、解答题 a1+a2+a3+?+a9=2×9 9.已知数列 8×1 8×2 8×n , ,?, ,?,Sn 为其前 n 项和,计 12×32 32×52 ?2n-1?2?2n+1?2 算 S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并归纳出 Sn 的公式. 【解】 8×1 8 32-1 ?2×1+1?2-1 S1= 2 = = 32 = , 1 ×32 9 ?2×1+1?2 2 2 8 8×2 24 5 -1 ?2×2+1? -1 S2=9+ 2 = = 52 = , 3 ×52 25 ?2×2+1?2 2 2 24 8×3 48 7 -1 ?2×3+1? -1 S3=25+ 2 = = = , 72 5 ×72 49 ?2×3+1?2 2 2 48 8×4 80 9 -1 ?2×4+1? -1 S4=49+ 2 = = = , 92 7 ×92 81 ?2×4+1?2 ?2n+1?2-1 由此归纳猜想 Sn= . ?2n+1?2 10.(2016· 咸阳高二检测)在平面几何中,研究正三角形内任意一点与三边的 关系时,我们有真命题:边长为 a 的正三