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江西南昌市2013届高三第一次模拟测试数学(理)试题(WORD版)

江西南昌市 2013 届高三第一次模拟测试

数学(理)试题
第Ⅰ 卷
—、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合题目要求的。 1.已知集合 A,B,则 A ? B ? A是A ? B ? B 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 2.若复数 z 满足 A.2i B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 2i ? i (i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为 z
B.2 C.-I D.-1

3.在数列 {an } 中,若 a1 ? 2 ,且对任意的 n ? N * 有2an?1 ? 1 ? 2an ,则数列 {an } 前 10 项的和为 A.5 B.10 C.

5 2

D.

4.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 A. ? 3

1 B. ? 2

2 C. 3
B. y ? lg | x | D. y ? x3

2 ? , 则f (? ) = 3 6 1 D. 2

5 4

5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A. y ? cos2 x ? sin 2 x C. y ?

e x ? e? x 2

6.双曲线

1 2 3 x2 y 2 , ? 2 ? ?1 与抛物线 y ? x 2 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实轴的弦长为 2 8 3 b a

则双曲线的离心率等于 A.2 B.

2 3 3

C.

3 2 2

D. 3

7.设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? , 且? ? ? ”的平面 ? , ? A.不存在 8. ( 3 y ? B.有且只有一对 C.有且只有两对 D.有无数对

x )5 展开式的三项为 10,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状为

第 1 页 共 7 页

? 9.下列四个命题中,① e dx ? e ;② 设回归直线方程为 y ? 2 ? 2.5x, 当变量 x 增加一个单位时,y 大约减
x 0

?

1

少 2.5 个单位;③ 已知 ? 服从正态分布 N(0, ? 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则: P(? ? 2) ? 0.1④ 对 于命题 p : " A.0 个

x x ? 0"则?p : " ? 0" 错误的个数是 x ?1 x ?1
B.1 个 C.2 个 D.3 个

10. P 的底边长为 2 3 , 点 高为 2 的正三棱柱表面上的动点, 是该棱柱内切球的一条直径, PM ? PN MN 则 取值范围是 A.[0,2]

???? ??? ? ?

B.[0,3]

C.[0,4]

D.[—2,2]

第Ⅱ 卷
11.已知 e1 ? (cos

?? ?

?

? ? ? ?? ? ? ?? ?? ,sin ), e2 ? (2sin , 4 cos ), e1 ? e2 ? 4 6 4 3

.

12.若一个圆台的主视图如图所示,则其全面积等于

. .

13.三个好朋友同时考进同一所高中,该校高一有 10 个班,则至少有 2 人分在同一班的概率为 14.已知函数 f ( x) ? a sin(

?
5

x) ? b tan( x)(a, b为常数, x ? R ) ,若 f (1) ? 1 ,则不等式 f (31) ? log2 x 5

?

的解集为 . 三、选择题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分,本题共 5 分。 15 . 1 ) 坐 标 系 与 参 数 度 方 程 选 做 题 ) 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 圆 C 的 参 数 方 程 为 ( (

? x ? 3 ? 3cos ? ? , (? 为参数) ,平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴为以极轴,并在两种坐 ? ? y ? 1 ? 3 sin ? ?
标系中取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 所得的弦长为 。

?
6

) ? 0 ,则直线 l 裁,圆 C

(2) (不等式选做题)若对任意的 a ? R, 不等式 | x | ? | x ? 1|?|1 ? a | ? |1 ? a | 恒成立,则实数 x 的取值 范围是 。 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第 2 页 共 7 页

A n s i 16. (本小题满分 12 分) 设角 A, C 为△ B, ABC 的三个内角。 设 f ( ) ? (1)

A2i ? , n s

取极大值 f ( A0 ) ,试求 A0 和f ( A0 ) 的值; (2)当 A 取 A0 时,而 AB ·AC ? ?1,求 BC 边长的最小值。 17. (本小题满分 12 分)某市电视台的娱乐频道“好声音”节目,制定第一轮晋级互第二轮的规则如下;每名 选手准备三首有顺歌曲,按顺序唱,第一首歌专业评审团全票通过则直接晋级到第二轮;否则唱第二 首歌和第三首歌,第二首歌由专业评审团投票是否通过,第三首歌由媒体评审团投票是否通过。若第 二首歌获得专业评审团三分之二票数以上通过,且第三首歌获得媒体评审团三分之二票数以上通过, 晋级到第二轮;若第二首歌,没有获得专业评审团三分之二票数通过,但第三首歌,媒体评审团全票 通过,也同样晋级到第二轮,否则淘汰。某名选手估计自己三首歌通过的概率如下表:

??? ???? ?

A A A 0 时,f ( A) 当 取 2

若晋级后面的歌就不需要唱了,求(1)求该选手晋级唱歌首数 ? 的分布列及数学期望; (2)求该选手 晋级概率。 18. (本小题满分 12 分)设 f ( x ) ? ln(1 ? x) ? x ? ax2 . (1)当 x=1 时, f ( x ) 取到极值,求 a 的值。 (2)当 a 满足什么条件时, f ( x)在区间[ ? , ? ] 有单调递增区间。 19. (本小题满分 12 分)如图是多面体 ABC—A1B1C1 和它的三视图。 (1)线段 CC1 上是否存在一点 E,使 BE⊥ 平面 A1CC1,若不存在请说明理由,若存在请找出并证明; (2)求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值。

1 2

1 3

20. (本小题满分 13 分)已知点 M (?1, 0), N (1, 0), 动点P( x, y )满足 :| PM | . | PN |? (1)求 P 的轨迹 C 的方程;

4 , 1 ? cos ?MPN

(2)是否存在过点 N (1,0)的直线l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,并且曲线 C 存在点 Q,使四边形 OAQB 为 平行四边形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。 21. (本小题满分 14 分)设正项数列 {an } 的前项和是 Sn ,若 {an }和{ Sn }都是等差数列,且公差相等,

第 3 页 共 7 页

(1)求 {an } 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a5 恰为等比数列 {bn } 的前三项,记数列 cn ? 对任意 n ? N*, 都有Tn ? 2.

24bn , 数列{cn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: (12bn ? 1)2

参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 题目 C D C A B 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5,共 20 分) 11. 2 12. 5? ? 3 5? 13. 6 B 7 D 14. 8 D 9 C 10 C

7 25

? 0, 2 ?

三、选做题(本题共 5 分) ② (??, ? 1 ] ? [ 3 , ??) 2 2 四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 15. ① 4 2 16.解: (1)因为 f ?( A) ? cos A ? cos

A A A A A ? 2cos 2 ? cos ? 1 ? (2cos ? 1)(cos ? 1) . ……2 分 2 2 2 2 2 A A 1 因为 0 ? A ? ? ,则 cos ? 1 ? 0 .由 f ?( A) ? 0 ,得 cos ? , 2 2 2

第 4 页 共 7 页

A ? 2? ? ,即 0 ? A ? .……………………………………………………4 分 2 3 3 2? 2? 2? ) 时, f ( A) 为增函数;当 A ? ( , ? ) 时, f ( A) 为减函数.故 A0 ? 所以当 A ? (0, , f ( A) 取极大 3 3 3 2? 3 3 值 f ( A0 ) = f ( ) ? . ………………………………………………6 分 3 2 ??? ??? ? ? (2)由 AB ? AC ? ?1 知 bc ? 2 ,………………………………………………………8 分
所以 0 ? 而 a ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc ? 6 , …………………………………………………10 分 当且仅当 b ? c ? 2 时, BC 边长的最小值为 6 …………………………………12 分 17.解:(1)ξ =1,3。 P(? ? 1) ? 0.2; P(? ? 3) ? 0.8 1 3 0.2 0.8 E? ? 1? 0.2 ? 3 ? 0.8 ? 2.6 …………………………………………………………6 分 (2)设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为 A,第二首歌三分之二以上专业评审团 通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评审团通过且第 三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为 B、C 。则 (i) P( A) ? 0.2, …………………………………………………………7 分 ξ P

(ii) P( B) ? (1 ? 0.2) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.32, ……………………………………………………9 分 (iii) P(C ) ? (1 ? 0.2) ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.16 ……………………………………………11 分 ∴该选手晋级的概率为: P ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? 0.68 …………………………12 分 2 18. 解: (1) f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) ,
且 f '( x) ?

1 ?2ax 2 ? (2a ? 1) x …………………………………………2 分 ? 2ax ? 1 ? 1? x 1? x

由题意得: f '(1) ? 0 ,则 ?2a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 a ? ?

1 ,……………………………4 分 4

x ? x x( x ? 1) 1 2 ?2 又 a ? ? 时, f '( x) ? 2 , 4 1? x 1? x 当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , 1 所以 f (1) 是函数 f ( x ) 的极大值,所以 a ? ? ;………………………………………6 分 4 1 1 1 1 ( 2 ) 要 使 的 f ( x ) 在 区 间 [? , ? ] 有 单 调 递 增 区 间 , 即 要 求 f '(x )? 0在 区 间 [? , ? ] 有 解 , 当 2 3 2 3 1 1 ? ? x ? ? 时 f '( x) ? 0 等价于 2ax ? (2a ? 1) ? 0 .……………………………8 分 2 3 a ? 0 时,不等式恒成立;………………………………………………………9 分 ①当 2a ? 1 2a ? 1 1 3 ? ? ,解得 a ? ? ……………10 分 ②当 a ? 0 时得 x ? ? ,此时只要 ? 2a 2a 3 4 2a ? 1 2a ? 1 1 ? ? ,解得 a ? ?1 ……………11 分 ③当 a ? 0 时得 x ? ? ,此时只要 ? 2a 2a 2 综上所述, a ? (?1, ??) ……………12 分
2

1

1

1

19.证明:由(1)知 AA1, AB, AC 两两垂直,如图建系,BC ? 2 2 ,则 A(0,0,0)

???? ? C(0, ?2,0), C1 (?1, ?1, 2) , CC1 ? (?1,1,2) ???? ? ???? AC1 ? (?1, ?1,0), AC ? (0, ?2, ?2). …………………………………………1 分 1 1
第 5 页 共 7 页

, A (0,0, 2) , B(?2, 0, 0) , 1

设 E ( x, y, z ) ,则 CE ? ( x, y ? 2, z) ,

EC1 ? (?1 ? x,?1 ? y,2 ? z) ………3 分

? x ? ?? ? ?x ??? ? ???? ? 设 CE ? ? EC1 , ? ? y ? 2 ? ?? ? ?y ? ? z ? 2? ? ? z ?

则 E(

??? ? 2 ? ? ?2 ? ? 2? ?? ?2 ? ? 2? , , ) , BE ? ( , , ) ………………………4 分 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?
? 2?? 2?? ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 0 ,得 ? ? 2 ? ?? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 0 ? 1? ? 1? ? ?

? 由 ? BE ? A1C1 ? 0 ? ? ? BE ? A1C ? 0

所以线段 CC1 上存在一点 E , CE ? 2EC1 , 使 BE ? 平面 ACC1 ……………6 分 1 另证:补形成正方体,易证 CE : EC1 ? 2 :1

??? ?

???? ?

?? ???? ? ?? ?m ? A1C1 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ? (2)设平面 AC1C 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则由 ? ?? ???? ,得 ? , 1 ??2 y ? 2 z ? 0 ? m ? A1C ? 0 ? ?? 取 x ? 1 ,则 y ? ?1, z ? 1. 故 m ? (1, ?1,1) ,……………………………………………8 分 ?? ? ? ?? ? 而平面 A AC 的一个法向量为 n ? (1,0,0) ,则 cos ? m, n ?? m ? n ? 1 ? 3 ……11 分 1 ?? ?
mn 3
3

平面 C1 A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值为 20.解: (1)由 PM ?PN ?

3 …………………………………………12 分 3

4 得 PM ?PN cos ?MPN ? 4 ? PM ?PN 1 ? cos ?MPN 显然 cos ?MPN ? ?1 ,若 cos ?MPN ? 1 ,则 P(? 3,0) …………………………1 分 否则, P, M , N 构成三角形,在 ?PMN 中,
4 ? MN ? PM ? PN ? 2 PM ?PN cos ?MPN ? PM ? PN ? 2(4 ? PM ?PN )
2 2 2 2 2

( PM ? PN )2 ? 12 ,即 PM ? PN ? 2 3 …………………………………………5 分
x2 y 2 ? ? 1. …………………………………………………6 分 3 2 (2)设 A(x1, y1) 、 (x 2, y 2) ,由题意知 l 的斜率一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1,代入椭圆方程整理得 B
所以 P 的轨迹 C 的方程为

(2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , 4m 4 , y1 y2 ? ? 显然 ? ? 0. 则 y1 ? y2 ? ? ……①,…………………8 分 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ???? ??? ??? ? ? 假设存在点 Q ,使得四边形 OAQB 为平行四边形,其充要条件为 OQ ? OA ? OB ,则点 Q 的坐标为
( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1. 3 2 整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6. …………………………………10 分

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。由点 Q 在椭圆上,即

又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6,x22 ? 3 y22 ? 6. 故 2x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ?3 ……② 2 将 x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 代入由①②解得 m ? ? 即直线 l 的方程是: x ? ?

2 . 2

2 y ? 1 ,即 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ………………………13 分 2
第 6 页 共 7 页

21.解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 Sn ?

d d 2 d d n ? (a1 ? )n ? n ,且 a1 ? ? 0 ……2 分 2 2 2 2

1 又 d ? d ,所以 d ? ,………………………………………………………………4 分
2

2 d 1 2n ? 1 a1 ? ? , an ? ………………………………………………………………5 分 2 4 4 1 n ?1 2 ? 3n (2)易知 bn ? ? 3 ………………6 分, ∴ cn ? n ………………7 分。 4 (3 ? 1)2

2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n?1 1 1 ………9 分 ? n ? n ? n?1 ? n n 2 n n ?1 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1 3 2 ? 32 2 ? 3n 3 1 1 1 1 ∴ 当 n ? 2 时, Tn ? ? 2 ??? n ? ?( ? 2 )?( 2 ? 3 ) 2 2 2 (3 ? 1) (3 ? 1) 2 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 ? n ) ? 2? n ? 2, + ? ? ( n ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 * 且 T1 ? 3 ? 2 故对任意 n ? N , Tn ? 2 .……………………………………………14 分。
当 n ? 2 时,
2

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