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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.4 基本不等式


§ 7.4

基本不等式及其应用

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). b a (2) + ≥2(a,b 同号). a b (3)ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R).

a2+b2 ?a+b?2 (4) ≥ 2 ? 2 ? (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个正 2 数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.( × ) x a+b 2 (2)ab≤( ) 成立的条件是 ab>0.( × 2 (3)函数 f(x)=cos x+ )

4 π ,x∈(0, )的最小值等于 4.( × ) cos x 2 )

x y (4)“x>0 且 y>0”是“ + ≥2”的充要条件.( × y x

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1 (5)若 a>0,则 a3+ 2的最小值为 2 a.( × ) a (6)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).( √ )

1.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C. + > a b ab 答案 D 解析 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误. 对于 B、C,当 a<0,b<0 时,明显错误. b a 对于 D,∵ab>0,∴ + ≥2 a b ba · =2. ab B.a+b≥2 ab b a D. + ≥2 a b

)

2.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( 1 1 A. ≤ ab 4 C. ab≥2 答案 D 1 1 B. + ≤1 a b D.a2+b2≥8

)

1 1 解析 4=a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时,等号成立),即 ab≤2,ab≤4, ≥ ,选项 A,C ab 4 1 1 a+b 4 不成立; + = = ≥1,选项 B 不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项 D a b ab ab 成立. 1 1 3.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为( x y 3 A.2 B. 2 答案 C 1 1 解析 由 ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0,y>0, + =log3a+log3b x y =log3ab≤log3? a+b?2 1 1 ? 2 ? =1,当且仅当 a=b= 3时“=”成立,则x+ y的最大值为 1. 1 C.1 D. 2 )

4.(2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是________.(单位: 元) 答案 160

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4 解析 设该长方体容器的长为 x m,则宽为 m.又设该容器的造价为 y 元,则 y=20×4+2(x x 4 4 4 + )×10,即 y=80+20(x+ )(x>0).因为 x+ ≥2 x x x “=”),所以 ymin=80+20×4=160(元). 4 4 x· =4(当且仅当 x= ,即 x=2 时取 x x

题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值 5 1 例 1 (1)已知 x< ,求 f(x)=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 y2 (2)已知 x 为正实数且 x2+ =1,求 x 1+y2的最大值; 2 x-1 (3)求函数 y= 的最大值. x+3+ x-1 5 解 (1)因为 x< ,所以 5-4x>0, 4 则 f(x)=4x-2+ 1 1 =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x

1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 故 f(x)=4x-2+ (2)因为 x>0, 所以 x 1+y2= 2 1 y2 2[x2+? + ?] 2 2 1 y x2? + ?≤ , 2 2 2
2

1 的最大值为 1. 4x-5

1 y2 y2 1 3 又 x2+( + )=(x2+ )+ = , 2 2 2 2 2 1 3 3 2 所以 x 1+y2≤ 2( × )= , 2 2 4 即(x 1+y2)max= 3 2 . 4

(3)令 t= x-1≥0,则 x=t2+1, t t 所以 y= 2 =2 . t +1+3+t t +t+4 当 t=0,即 x=1 时,y=0; 1 当 t>0,即 x>1 时,y= , 4 t+ +1 t

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4 因为 t+ ≥2 4=4(当且仅当 t=2 时取等号), t 1 1 所以 y= ≤ , 4 5 t+ +1 t 1 即 y 的最大值为 (当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值). 5 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提: “一正”“二定”“三相等”. 所 谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值, “三相等” 是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式, 然后再利用基本不等式. (1)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 3 (2)若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于( x-2 ) )

B.1+ 3 C.3 D.4

答案 (1)B (2)C 解析 (1)因为 0<x<1,所以 x>0,3-3x>0. 1 由基本不等式可得 x(3-3x)= · 3x(3-3x) 3 1 3x+3-3x 2 3 ≤ ( )= , 3 2 4 1 当且仅当 3x=3-3x,即 x= 时,等号成立.故选 B. 2 (2)因为 x>2,所以 x-2>0,则 1 1 f(x)=x+ =(x-2)+ +2≥2 x-2 x-2 1 ?x-2?· +2=4, x-2

1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时取等号. x-2 即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3. 题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值 8 2 例 2 (1)已知 x>0,y>0 且 x+y=1,则 + 的最小值为________. x y (2)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 答案 (1)18 (2)6

解析 (1)(常数代换法) ∵x>0,y>0,且 x+y=1,
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8 2 8 2 ∴ + =( + )(x+y) x y x y 8y 2x =10+ + ≥10+2 x y 8y 2x · =18. x y

8y 2x 当且仅当 = ,即 x=2y 时等号成立, x y 2 1 8 2 ∴当 x= ,y= 时, + 有最小值 18. 3 3 x y 9-3y (2)由已知得 x= . 1+y 方法一 (消元法) ∵x>0,y>0,∴y<3, 9-3y ∴x+3y= +3y 1+y = 12 +(3y+3)-6≥2 1+y 12 · ?3y+3?-6=6, 1+y

12 当且仅当 =3y+3, 1+y 即 y=1,x=3 时,(x+3y)min=6. 方法二 ∵x>0,y>0, 1 1 x+3y 2 9-(x+3y)=xy= x· (3y)≤ · ( ), 3 3 2 当且仅当 x=3y 时等号成立. 设 x+3y=t>0,则 t2+12t-108≥0, ∴(t-6)(t+18)≥0, 又∵t>0,∴t≥6. 故当 x=3,y=1 时,(x+3y)min=6. 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函

数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方 法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. 2 1 (1)若两个正实数 x,y 满足 + =1,并且 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取 x y 值范围是( ) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) D.(-4,2)

A.(-∞,-2)∪[4,+∞) C.(-2,4)

(2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. 答案 (1)D (2)5

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2 1 4y x 解析 (1)x+2y=(x+2y)( + )=2+ + +2≥8, x y x y 4y x 当且仅当 = ,即 x=2y 时等号成立. x y 由 x+2y>m2+2m 恒成立, 可知 m2+2m<8,即 m2+2m-8<0,解得-4<m<2. 1 3 (2)方法一 由 x+3y=5xy 可得 + =1, 5y 5x 1 3 ∴3x+4y=(3x+4y)( + ) 5y 5x 9 4 3x 12y 13 12 = + + + ≥ + =5. 5 5 5y 5x 5 5 3x 12y 1 (当且仅当 = ,即 x=1,y= 时,等号成立), 5y 5x 2 ∴3x+4y 的最小值是 5. 方法二 由 x+3y=5xy 得 x= 1 ∵x>0,y>0,∴y> , 5 9y 13 9 1 +4y= + · +4(y- ) 5 5 1 5 5y-1 y- 5 1 5 3y , 5y-1

∴3x+4y=

13 ≥ +2 5

36 =5, 25

1 当且仅当 y= 时等号成立, 2 ∴(3x+4y)min=5. 题型三 基本不等式与函数的综合应用 例 3 (1)已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是( A.(-∞,-1) C.(-1,2 2-1) B.(-∞,2 2-1) D.(-2 2-1,2 2-1) )

x2+ax+11 (2)已知函数 f(x)= (a∈R),若对于任意 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是 x+1 ________. 8 答案 (1)B (2)[- ,+∞) 3 解析 (1)由 f(x)>0 得 32x-(k+1)· 3x+2>0, 2 2 2 解得 k+1<3x+ x,而 3x+ x≥2 2(当且仅当 3x= x, 3 3 3

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即 x=log3 2时,等号成立), ∴k+1<2 2,即 k<2 2-1. x2+ax+11 8 (2)对任意 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,即 ≥3 恒成立,即知 a≥-(x+ )+3. x x+1 8 17 设 g(x)=x+ ,x∈N*,则 g(2)=6,g(3)= . x 3 ∵g(2)>g(3),∴g(x)min= 17 8 8 .∴-(x+ )+3≤- , 3 x 3

8 8 ∴a≥- ,故 a 的取值范围是[- ,+∞). 3 3 思维升华 (1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max, a<f(x)恒成立?a<f(x)min; (2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. p 已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4, x-1 则实数 p 的值为________. 答案 9 4

p 解析 由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 时取等号,因为 x-1 9 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 题型四 基本不等式的实际应用 例 4 某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为 2 000 元 /m2;材料工程费在建造第一层时为 400 元/m2,以后每增加一层费用增加 40 元/m2.要使平均 每平方米建筑面积的成本费最低,则应把楼盘的楼房设计成________层. 答案 10 解析 设应把楼房设计成 x 层,每层有面积 y m2, 则平均每平方米建筑面积的成本费为 2 000y+y×400+y×440+?+y×[400+40?x-1?] k= xy = 2 000 +20x+380≥2 x 2 000 · 20x+380 x

=780, 2 000 当且仅当 =20x, x 即 x=10 时取等号,故应把楼房设计成 10 层. 思维升华 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘,一般

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地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得自变量的范围,然后再利用基本不等式 求最值. (1)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件, x 则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备 8 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 (2)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方案 p+q 乙:每次都提价 %,若 p>q>0,则提价多的方案是________. 2 答案 (1)B (2)乙 解析 (1)设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 800 x y= + ≥2 x 8 800 x · =20. x 8 )

800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立,故选 B. x 8 (2)设原价为 1,则提价后的价格为 方案甲:(1+p%)(1+q%), p+q 2 方案乙:(1+ %) , 2 因为 ?1+p%??1+q%?≤ 1+p% 1+q% p+q + =1+ %, 2 2 2

p+q 且 p>q>0,所以 ?1+p%??1+q%?<1+ %, 2 p+q 2 即(1+p%)(1+q%)<(1+ %) , 2 所以提价多的方案是乙.

忽视最值取得的条件致误 1 2 典例:(1)已知 x>0,y>0,且 + =1,则 x+y 的最小值是________. x y 3 (2)函数 y=1-2x- (x<0)的最小值为________. x 1 2 易错分析 (1)多次使用基本不等式, 忽略等号成立的条件. 如: 1= + ≥2 x y ∴x+y≥2 xy≥4 2,得(x+y)min=4 2. 2 , ∴ xy≥2 2, xy

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3 (2)没有注意到 x<0 这个条件误用基本不等式得 2x+ ≥2 6. x 解析 (1)∵x>0,y>0, 1 2 ∴x+y=(x+y)( + ) x y y 2x =3+ + ≥3+2 2(当且仅当 y= 2x 时取等号) x y ∴当 x= 2+1,y=2+ 2时,(x+y)min=3+2 2. 3 3 (2)∵x<0,∴y=1-2x- =1+(-2x)+(- )≥1+2 x x 6 时取等号,故 y 的最小值为 1+2 6. 2 答案 (1)3+2 2 (2)1+2 6 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件; (2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致. 3 ?-2x?· =1+2 6,当且仅当 x=- -x

方法与技巧 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常 常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择 好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等, a+b 2 a2+b2 a+b 例如:ab≤( )≤ , ab≤ ≤ 2 2 2 的条件和等号成立的条件. m 3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数 y=x+ (m>0)的单调性. x 失误与防范 1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. a2+b2 (a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成立 2

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.下列不等式一定成立的是( )
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1 A.lg(x2+ )>lg x(x>0) 4 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 答案 C 1 1 解析 当 x>0 时,x2+ ≥2· x· =x, 4 2 1 所以 lg(x2+ )≥lg x(x>0), 4 故选项 A 不正确; 运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”, 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定, 故选项 B 不正确; 由基本不等式可知,选项 C 正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不正确. x +1 1 1 2.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是( a b 1 A. B.1 C.4 D.8 4 答案 C a+b=1, ? ? 解析 由 a>0,b>0,ln(a+b)=0 得?a>0, ? ?b>0. 1 1 a+b 1 1 1 故 + = = ≥ = =4. a b ab ab a+b 2 1 2 ? ? ?2? 2 1 当且仅当 a=b= 时上式取“=”. 2 3.已知 x>0,y>0,且 4xy-x-2y=4,则 xy 的最小值为( A. 2 2 B.2 2 C. 2 D.2 ) )

答案 D 解析 ∵x>0,y>0,x+2y≥2 2xy, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2 2xy, ∴4≤4xy-2 2xy,
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即( 2xy-2)( 2xy+1)≥0, ∴ 2xy≥2,∴xy≥2. 4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 答案 A 解析 设甲、乙两地相距 s, s s 则小王往返两地用时为 + , a b 从而 v= 2s 2ab = . s s a+b + a b a+b 2ab 2ab , > =a, 2 a+b 2b B.v= ab a+b D.v= 2 )

∵0<a<b,∴ ab< ∴

2 1 2ab < ,即 < ab,∴a<v< ab. a+b ab a+b

z 5.(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最小值时,x+2y-z 的 xy 最大值为( 9 A.0 B. 8 答案 C 解析 由题意知:z=x2-3xy+4y2,
2 2 z x -3xy+4y x 4y 则 = = + -3≥1,当且仅当 x=2y 时取等号,此时 z=xy=2y2. xy xy y x

) 9 C.2 D. 4

所以 x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y=-2(y-1)2+2≤2. x 6.若对于任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 1 答案 a≥ 5 解析 x 1 = , 1 x +3x+1 3+x+ x
2

1 因为 x>0,所以 x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号), x 则 1 1 ≤ = , 1 3+2 5 3+x+ x 1

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x 1 1 的最大值为 ,故 a≥ . 5 5 x2+3x+1

1 1 7.设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x2+ 2)( 2+4y2)的最小值为________. y x 答案 9 1 1 1 解析 (x2+ 2)( 2+4y2)=5+ 2 2+4x2y2≥5+2 y x xy 立. 8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元, 一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储 费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________. 答案 20 200 200 400 解析 设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 次,则一年的总运费为 ×2= ,一年的 x x x 400 总存储费用为 x, 所以一年的总运费与总存储费用为 +x≥2 x 400 400 · x=40, 当且仅当 =x, x x 1 1 · 4x2y2=9,当且仅当 x2y2= 时“=”成 x2y2 2

即 x=20 时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物 20 吨. 3 8 9.(1)当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值; 2 2x-3 (2)设 0<x<2,求函数 y= x?4-2x?的最大值. 解 (1)y=x+ 3-2x 8 8 3 =-( + )+ . 2 2x-3 3-2x 2

3 当 x< 时,有 3-2x>0, 2 ∴ 3-2x 8 + ≥2 2 3-2x 3-2x 8 · =4, 2 3-2x

3-2x 8 1 当且仅当 = ,即 x=- 时取等号. 2 2 3-2x 3 5 于是 y≤-4+ =- . 2 2 5 故函数的最大值为- . 2 (2)∵0<x<2,∴2-x>0, ∴y= x?4-2x?= 2· x?2-x? x+2-x ≤ 2· = 2, 2 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号,

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∴当 x=1 时,函数 y= x?4-2x?的最大值为 2. 10.某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正 面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元,求: 仓库面积 S 的最大允许值是多少?为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁 栅应设计为多长? 解 设铁栅长为 x(x>0)米, 一侧砖墙长为 y(y>0)米, 则顶部面积 S=xy, 依题设, 得 40x+2×45y +20xy=3 200, 由基本不等式得 3 200≥2 40x· 90y+20xy=120 xy+20xy=120 S+20S, 则S +6 S-160≤0,即( S-10)( S+16)≤0,故 0< S≤10,从而 0<S≤100,所以 S 的最大允许 值是 100 平方米,取得此最大值的条件是 40x=90y 且 xy=100,解得 x=15,即铁栅的长应设 计为 15 米. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.(2013· 福建)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) 答案 D 解析 ∵2x+2y≥2 2x y,且 2x+2y=1,


)

B.[-2,0] D.(-∞,-2]

1 + ∴2x y≤ ,∴x+y≤-2.选 D. 4 1 |a| 12.(2013· 天津)设 a+b=2,b>0,则当 a=________时, + 取得最小值. 2|a| b 答案 -2 1 |a| a+b |a| a b |a| b |a| 解析 由于 a+b=2,所以 + = + = + + ,由于 b>0,|a|>0,所以 + 2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a| b ≥2 b |a| 1 |a| 1 5 1 |a| · =1,因此当 a>0 时, + 的最小值是 +1= ;当 a<0 时, + 的最小值 4|a| b 2|a| b 4 4 2|a| b

b |a| ? ?4|a|= b , 1 3 1 |a| 3 是- +1= .故 + 的最小值为 ,此时? 4 4 2|a| b 4 ? ?a<0,

即 a=-2.

13.规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a、b 为正实数).若 1?k=3,则 k 的 k?x 值为________,此时函数 f(x)= 的最小值为________. x 答案 1 3

解析 1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍去). ∴k=1.
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1?x x+x+1 1 f(x)= = =1+ x+ ≥1+2=3, x x x 当且仅当 x= 1 ,即 x=1 时等号成立. x

m 3 1 14.已知 a>0,b>0,若不等式 - - ≤0 恒成立,则 m 的最大值为________. 3a+b a b 答案 16 m 3 1 3 1 3b 3a 解析 因为 a>0,b>0,所以由 - - ≤0 恒成立得 m≤( + )(3a+b)=10+ + 恒成 a b a b 3a+b a b 立. 3b 3a 因为 + ≥2 a b 3b 3a · =6, a b

3b 3a 当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+ + ≥16, a b 所以 m≤16,即 m 的最大值为 16. 15.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计),第 t 天(1≤t≤30,t∈N*)的旅游 1 人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)=4+ ,而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)=120-|t-20|. t (1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值. 解 (1)W(t)=f(t)g(t) 1 =(4+ )(120-|t-20|) t

?401+4t+ t , =? 140 ?559+ t -4t,

100

1≤t≤20, 20<t≤30. 100 ≥401+2 t 100 4t· =441(t=5 时取最小值). t

(2)当 t∈[1,20]时,401+4t+

140 当 t∈(20,30]时,因为 W(t)=559+ -4t 递减, t 2 所以 t=30 时,W(t)有最小值 W(30)=443 , 3 所以 t∈[1,30]时,W(t)的最小值为 441 万元.

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