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【步步高】2014届高考数学一轮复习 第2章 章末检测备考练习 苏教版


章末检测
一、填空题 1.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=________. 2.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x -34x+64=0 的两根,则 a4=________. 3.若{an}是等比数列,其公比是 q,且-a5,a4,a6 成等差数列,则 q=________. 4.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列, 则 a+b+c 的值为________. 1 1 2 2 1
2

a b c
5.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火 第一秒钟通过的路程为 2 km,以后每秒钟通过的路程都增加 2 km,在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是________秒. S10 1 S15 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 = ,则 =________. S5 2 S5 7.已知等比数列{an}为递增数列,且 a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an =________. 8.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使 得 Sn 达到最大值的 n 是________. 9. 如果数列{an}满足 a1=2, 2=1, a 且 10.已知 Sn=1-2+3-4+?+(-1)
2

anan-1 anan+1 = , 则此数列的第 10 项 a10=________. an-1-an an-an+1 n,则 S17+S33+S50=________.
*

n-1

11.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=________. 12.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10=12,则 a8 =________. 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 13.已知数列 1, , , , , , , , , ,?,则 是数列中的第________项. 2 1 3 2 1 4 3 2 1 6 14. 等比数列{an}的公比为 q, 其前 n 项的积为 Tn, 并且满足条件 a1>1, 99a100-1>0, a

a99-1 <0. a100-1

给出下列结论:①0<q<1;②a99a101-1<0;③T100 的值是 Tn 中最大的;④使 Tn>1 成立的最大 自然数 n 等于 198.其中正确的结论是________.(填写所有正确的序号) 二、解答题 15. 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 13 后成为等比数列{bn} 5、 中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+ ?是等比数列. 4? ? -1-

16.已知数列{log2(an-1)} (n∈N )为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)证明: + +?+ <1. a2-a1 a3-a2 an+1-an 17.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2

*

18.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2 . (1)设 bn=

n

an
2

n-1

.证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 1 2 19.已知正项数列{bn}的前 n 项和 Bn= (bn+1) ,求{bn}的通项公式. 4 20.甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为 a 万元,由于经营方式不同,甲超市 前 n 年的总销售额为 (n - n +2)万元,乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多 2 2?n-1 ? a? ? 万元. ?3? (1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式; (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%,则该超市将被另一超市 收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年? 答案 3 1.88 2.8 3.-1 或 2 4.1 5.15 6. 4 13.50 14.①②④ 15.(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d, 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 5 2 2 由 b3=b1·2 ,即 5=b1·2 ,解得 b1= . 4 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 4 5 bn= ·2n-1=5·2n-3. 4 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 5 n ? 1-2 ? 4 5 n-2 Sn= =5·2 - , 1-2 4 7.2
n

a

2

1 8.20 9. 10.1 11.-7 12.3 5

-2-

5 n-2 即 Sn+ =5·2 . 4 5 5 所以 S1+ = , 4 2 5 Sn+1+ 4 5·2n-1 = n-2=2. 5 5·2 Sn+ 4 ? 5? 5 因此?Sn+ ?是以 为首项,2 为公比的等比数列. 4? 2 ? 16.(1)解 设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9, 得 log2(9-1)=log2(3-1)+2d, 则 d=1. 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n, 即 an=2 +1. (2)证明 因为 1 = n, 2 所以 1 1
n

an+1-an 2n+1-2n



1

a2-a1 a3-a2



1

+?+

1

an+1-an

1 1 1 1 = 1+ 2+ 3+?+ n 2 2 2 2 1? 1 ? ×?1- n? 2 ? 2? 1 = =1- n<1. 1 2 1- 2 17.解 (1)设数列{an}的公比为 q. 1 2 2 2 2 由 a3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1, 1 所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an n? n+1? =-(1+2+?+n)=- . 2 1 ? 1 2 ?1 故 =- =-2? - ?, bn n? n+1? ?n n+1? 1 1 1 + +?+

b1 b2

bn

-3-

1 ? 2n ? 1? ?1 1? ?1 =-2[?1- ?+? - ?+?+? - ?]=-n+1. ? 2? ?2 3? ?n n+1? ?1? 2n 所以数列? ?的前 n 项和为- . n+1 ?bn? 18.(1)证明 由已知 an+1=2an+2 , an+1 2an+2n an 得 bn+1= n = = n-1+1=bn+1. n 2 2 2 ∴bn+1-bn=1,又 b1=a1=1. ∴{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)知,bn=n, n-1=bn=n.∴an=n·2 2 ∴Sn=1+2·2 +3·2 +?+n·2 两边乘以 2 得: 2Sn=1·2 +2·2 +?+(n-1)·2
1 2 1 2 1 2

n

an

n-1

.

n-1

n-1

+n·2 , -n·2
n

n

两式相减得:-Sn=1+2 +2 +?+2 =2 -1-n·2 =(1-n)2 -1, ∴Sn=(n-1)·2 +1. 19.解 当 n=1 时,B1=b1, 1 2 ∴b1= (b1+1) ,解得 b1=1. 4 当 n≥2 时,bn=Bn-Bn-1 1 1 2 2 = (bn+1) - (bn-1+1) 4 4 1 2 2 = (bn-bn-1+2bn-2bn-1), 4 整理得 bn-bn-1-2bn-2bn-1=0, ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0. ∵bn+bn-1>0,∴bn-bn-1-2=0.
2 2

n-1

n

n

n

n

∴{bn}为首项 b1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴bn=2(n-1)+1=2n-1,即{bn}的通项 bn=2n-1. 20.解 (1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an,bn. 则有 a1=a,当 n≥2 时,

a a an= (n2-n+2)- [(n-1)2-(n-1)+2]
2 2 =(n-1)a. ? ?a, ∴an=? ?? n-1? ?

n=1, a, n≥2.

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)

?2? ?2?2 ?2?n-1 =a+a? ?+a? ? +?+a? ? ?3? ?3? ?3? ? ?2?n-1? * =?3-2? ? ?a(n∈N ). 3? ? ? ?
(2)易知 bn<3a,所以乙将被甲超市收购,
-4-

1 由 bn< an 得: 2 ?3-2?2?n-1?a<1(n-1)a. ? ?3? ? 2 ? ? ? ? ?2?n-1 ∴n+4? ? >7,∴n≥7. ?3? 即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.

-5-


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