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必修5 第二章 数列 期末复习(知识点及题型全)


绵阳市开元中学高 2013 级第二学期

必修 5 第二章

《 数 列 》期末复习
制卷:王小凤

学生姓名

二.数列通项公式的求法 (n ? 1) ? ? S1 1.根据 S n ,利用公式 an ? ? 求通项 an 。 ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)
注.已知 S n 求 an ,应分 n ? 1 及 n ? 2 两步,最后验证 a1 是否满足后面的 an . 等比数列 2.根据数列的递推关系,叠加法、累乘法求通项 an ,其要点是: (1) an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ?a2 ) ?L ? (an ?an?1) ; (2) an ? a1? 3.构造新的等差、等比数列,转化法求通项 a n 。

【知识梳理】 一.等差数列与等比数列
等差数列 定义 通项公式

an ? an?1 ? d ( n ? 2 )
a n ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d ,(n ? m)

a a2 a3 ? ?L ? n (n ? 2) a1 a2 an?1

, 如果 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的 等比中项,且 三个数成等比数列的设法: 当 q ? 1 时: Sn ? 当 q ? 1 时: Sn ? 若 m ? n ? p ? q ,则

三.数列求和
1.利用等差、等比数列的公式求和; 2.分组求和法; 3.错位相减求和,适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列; 4.裂项相消求和,它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项) ,并使它们 在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消.常见裂项公式: 1 (1) 1 ? 1 ( 1 ? 1 ) (2) ? 1 ( n? k ? n ) n(n ? k ) k n n ? k n?k ? n k 5.倒序相加法求和。 法求解:

如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 中项 等差中项,且 A ?

a?b . 2

三个数成等差数列的设法:



a , a , aq q

前 n 项和

n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? d 或 Sn ? na1 ? 2 2
若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ;

四. Sn 的最值问题:在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号
?a ? 0
的项数 m 使得 S m 取最大值.

性 质

若 2m ? p ? q , 则

( p, q, n, m ? N * )

若2m ? p ? q, 则有a

2 m

? ap ? aq ,( p, q, n, m ? N )
*

(1)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ? m ?a m?1 ? 0 (2)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列
an ? dn ? (a1 ? d ) ? An ? B sn ? d2 2 d n ? (a1 ? )n ? An 2 ? Bn 2 2

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列
an ? a1 n q ? Aq n q a a sn ? 1 ? 1 q n ? A ? Aq n (q ? 1) 1? q 1? q

?a m ? 0 的项数 m 使得 S 取最小值。 m ?a m?1 ? 0

函数思想 看数列

【考点题型】
考点一:通项公式、递推公式的基本应用
1.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项( A.380 B.39 C.35 )

(1)定义法:证明 an?1

? an (n ? N * ) 为一个常数; ? an?1 ? an?1 (n ? N * ,

(2 )等差中项:证明 2an

a n ?1 (1)定义法:证明 (n ? N * ) 为一个常数 an
(2)中项:证明 an
2

判定方法

n ? 2)
(3)通项公式: an (4 ) s n

? an?1 ?an?1 (n ? N * , n ? 2) ? cqn (c, q 均是不为 0 常数)

D.23 )

? kn ? b(k , b 为常数)( n ? N

*

)

(3)通项公式: an (4) sn

2.已知数列 ?an ? , a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? an?1 ? an ,则数列的第五项为( A. 6 B. ?3 C. ?12 D. ?6

? An2 ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N * )

? Aq n ? A ( A, q 为常数, A ? 0,q ? 0,1)
1

绵阳市开元中学高 2013 级第二学期

考点二:等差、等比数列的基本运算
3. 若等差数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 、a ? 1 、2a ? 3 , 则 2011 是这个数列的( A.第 1006 项 B.第 1007 项 C.第 1008 项 D.第 1009 项 ) )

考点三:等差、等比数列的性质的应用
11.已知 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a8 ? a11 ? 48 ,则 a6 ? a7 ? ( A.12 B.16 C.20 D.24 ) D. a51 ? 51 )

4.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.138 B.135 C.95 ) D. ? 2 ( ) D. ) D.512
1 8

12.已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a101 ? 0 ,则有( A. a1 ? a101 ? 0 B. a2 ? a100 ? 0 C. a3 ? a99 ? 0

D.23

5.在等比数列 {an } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a7 ? ( A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2

13 . 设 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 , 则 ( a1 1? a 1 2? a 1 3 ? A. 120 ) B. 105 C. 90 ) D.12 D. 75

6.已知 a, b, c, d 是公比为 2 的等比数列,则 A.1 B.
1 2

2a ? b = 2c ? d 1 C. 4

14.等差数列 ?an ? 中, S15 ? 90 ,则 a8 = ( A.3 B.4 C.6

7.在等比数列 ?an ? 中, a 6 ?a5 ? a7 ? a5 ? 48 ,则 S10 等于( A.1023 B.1024 C.511

15.若一等差数列前四项的和为 124,后四项的和为 156,又各项的和为 350,则此 数列共有 A.10 项 B.11 项 C.12 项 D.13 项 ) ( )

8.等差数列 ?an ? 的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是( A.90 ) B.100 C.145 D.190

16.等比数列 ?an ? 中, an ? 0 , a5a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ???? ? log3 a10 ? ( A.12 B.10 C.8 D. 2 ? log3 5

9.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则 二数之和为( A. 13
1 2

) B. 11
1 4

17.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? L ? a10 ? 15 , a11 ? a12 ? L ? a20 ? 20 ,则 C. 10
1 2

D. 9

1 2

a21 ? a22 ? L ? a30 ? (
A.15

) B.25 C.35 D.45 )

10.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差 为( A.5 ) B.4 C.3 D.2
2

18.已知等比数列前 10 项的和为 10,前 20 项的和为 30,那么前 30 项的和为( A.60 B.70 C.90 D.126

绵阳市开元中学高 2013 级第二学期

考点四:等差、等比数列的实际应用
19. 夏季高山上温度从山脚起每升高 100 米, 降低 0.7℃, 已知山顶的温度是 14.1℃, 山脚的温度是 26℃,则山的相对高度是( A.1500 B. 1600 ) C.1700 D.1800

考点六:数列的通项公式的求解
24.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? n , a1 ? 1 ,求 an .

20.某种细菌培养过程中,每半小时分裂一次(一次分裂为两个) ,经过 4 小时,这 种细菌由 1 个可繁殖成( A. 64 )个. C. 256 D. 512 25.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,求 an .

B. 128

21.一套共 7 册的书计划每 2 年出一册,若各册书的出版年份数之和为 13979,则出 齐这套书的年份是( A.1997 ) B. 1999 C.2001 D.2003

考点七:等差、等比数列的证明数列求和
26. 已知数列{an}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列, Sn 为其前 n 项和, a1, 2a7, ) 3a4 成等差数列,求证:12S3,S6,S12-S6 成等比数列.

考点五:等差数列前 n 项和的最值
22. 等差数列{ an }中, ( | a3 | ? | a9 | , 公差 d ? 0 , 那么使前 n 项和 Sn 最大的 n 值为 A.5 B.6 C.5 或 6 D.6 或 7

23.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差 d; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值.

27.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?
an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (提示:利用等差数列定义证明) 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

(提示:错项相减求和)

28.等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,{bn } 为等比数列, b1 ? 1 , 且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 . (1)求 an 与 bn ; (2)求和:
1 1 1 ? ?L ? . (提示:裂项相消求和) S1 S2 Sn

(注:将第 26—28 题解题过程写在试卷背面 )
3


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