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用均值不等式求最值的方法和技巧1


专题

用均值不等式求最值的方法和技巧
a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2
2

一、几个重要的均值不等式 ① a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ?

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?
③ a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? abc ? 号成立;
a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? “=” ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时, 3 ? ?
3 3

a3 ? b3 ? c3 当且仅当 a = b = c 时,“=” (a、b、c ? R ? ), 3

号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正” 、二“定” 、三“等” ; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2

1 ? a b

a?b ? ab ? ? 1 2

a 2 ? b2 。 2

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?
1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常 数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值: 3 ① y ? x 2 (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) 2 ② y ? sin 2 x cos x(0 ? x ?

?
2

)

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。 通常要通过乘以或除以常数、 拆因式 (常常是拆高次的式子) 、 平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 例 3、若 x、y ? R ? ,求 f ( x) ? x ?
4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x

评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,
1

配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 4、条件最值问题。
8 1 例 4、已知正数 x、y 满足 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项) 例 1 求函数
y ? 3x 2 ? 16 2 ? x 2 的最小值.

评注 为了创造条件利用均值不等式,添项是常用的一种变形技巧;为了 保证式子的值不变,添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.

评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利

2

? a?b ? ab ? ? ? ? 2 ? 来解决. 用

2

3、 裂项 例 3 已知 x ? ?1 ,求函数
y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1

的最小值.

4、 取倒数
( x ? 1)2 1 y ? 0? x? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数 例 4 已知

5、 平方 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且
2x2 ? y2 ? 8 x 6 ? 2 y2 3 求 的最大值.

2 评注 本题也可将 x 纳入根号内,即将所求式化为 x 6 ? 2 y ,先配系数,

再运用均值不等式的变式. 6、 换元(整体思想) 例 6 求函数
y? x?2 2 x ? 5 的最大值.

3

7、 逆用条件
1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) x y 例 7 已知 ,则 x ? y 的最小值是(

) .

1 9 ? x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 x y 的最大值,则同 评注 若已知 (或其他定值),要求

样可运用此法. 8、 消元
y2 例 9、设 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是.

4


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