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4.1.1函数的单调性与导数(导学案)doc


函数的单调性与导数(导学案)
1、 精读教材 P89-P93 的内容,用红笔进行勾画 2、 限时完成导学案合作探究部分,书写规范 3、 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑 4、 必须记住的内容:函数单调性的定义、导数公式 【学习目标】 1、 了解函数的单调性与导数的关系 2、能运用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。

【课前预习】 一、 预习导学 知识回顾:
1、 判断函数的单调性有哪些方法?比如判断 y=x2+3 的单调性, 如何进行? (分 别用定义法、图像法完成)

2、如果遇到函数:y=x3-3x 判断单调性呢?还有其他方法吗?

自主学习
1、 【思考】 如图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的 函数 v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.运动员从起跳到 最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态 有什么区别? 【引导】 随着时间的变化,运动员离水面的高 度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 结论: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度
h 随时间 t 的增加而增加, h(t ) 是增函数. 即 相

应地, . (2) 从最高点到入水, 运动员离水面的高 h 随 时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减函数.相应 地, .

2、 【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点 处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢? 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系. 【探究】观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. (1)函数 y ? x 的定义域为 (2) 函数 y ? x2 的定义域为 ,并且在定义域上是 , (??, 0) 上单调 在 ,其导数 , (0, ??) 上单调 在 ; ;

而 y? ? ( x2 )? ? 2 x ,当 x ? 0 时,其导数 其导数 。

;当 x ? 0 时,其导数

;当 x ? 0 时,

(3)函数 y ? x3 的定义域为

,在定义域上为

; ;

而 y? ? ( x3 )? ? 3x2 ,若 x ? 0 ,则其导数 (4) 函数 y ? 单调

,当 x ? 0 时,其导数

1 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) , (??, 0) 上单调 在 , (0, ??) 上 在 x 1 1 而 y? ? ( )? ? ? 2 ,因为 x ? 0 ,显然 y? ? 0 . x x

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间 ( a , b) 内,如 果函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增,那么 个区间内单调递减,那么 . ;如果函数 y ? f ( x) 在这

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? 【探究】如图,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 这时,函数 f ( x) 在 x0 附近单调 ; ”式的,这 ”式的,

在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“ 时,函数 f ( x) 在 x1 附近单调 结论: .

函数的单调性与导数的关系:在某个区间 ( a , b) 内, 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 ;

特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 问: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,反过来成立么?
【我的疑惑】



小结:
二、 预习检测 1、 判断下列函数的单调性 :

( )y ? x 2 ? 2 x ? 7 ( x ? 1) 1 1 (2)y ? ( x ? 0) x

2、若f ( x) ? x 3 ? ax ? 8的单调递减区间为

(?5,,求f ( x)的增区间 5) .

【课内探究】
【例 1】判断下面函数的单调性,并求出单调区间. (1) 、

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3
x∈(0, ? )

(2) 、f(x)=sinx-x

小结: 求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: 【例 2】如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面 积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图

像, 【答案】

【巩固练习】
1、设 f ' (x)是函数 f (x) 的导函数,f ' (x)的图象如下,则 f (x) 的图象的 大致形状:

y y= f ' (x) o 1 2 x

应用导数信息确定函数大致图像,利用导数的正负可以判断函数的增减性,求 函数的单调区间,同样,利用导数的正负还可以绘制函数的大致图象。
2、f(x)=5x2-2x 的单调增区间为 , x 3、设函数 f(x)=e -1-x,则 f(x)的单调减区间是 4、若函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是

【我的收获】


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