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【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.2 平面向量基本定理及坐标运算课件


§5.2

平面向量基本定理及坐

标运算

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理

1.平面向量的基本定理
不共线 如果e1、e2是同一平面内的两个_________向量,那么对于这 一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1 不共线 +λ2e2,其中_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 基底 量的一组_______.

2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i、j作为基底,任作一个向量a,由平面向量基本定理知, 有且只有一对实数x、y 使得a=xi+yj,我们把(x,y)叫做 (x,y) 向量a的直角坐标,记作a=________.其中x叫做a在x轴上的 坐标,y叫做a在y轴上的坐标,(x,y)叫做向量a的坐标表 示.与a相等的向量的坐标也为(x,y).显然i=(1,0),j=(0,1),

0=(0,0).

3.平面向量的坐标运算 (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (x1+x2,y1+y2) 则 a+b=____________________, (x1-x2,y1-y2) a-b=_____________________.

(λx,λy) (2)已知 a=(x,y)和实数 λ,那么 λa=_________. (3)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0). x1y2-x2y1 则 a∥b 的充要条件是____________=0.
(4)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2. → (5)若点 M(x1,y1),N(x2,y2),则MN=(x2-x1,y2-y1).

思考探究 1.向量的坐标与点的坐标有什么区别与联系?

提示:向量的坐标是用有向线段的起点和终点的坐标来计算
的,即终点的坐标减起点的同名坐标,当起点在坐标原点时, 终点的坐标就是该向量的坐标.
2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件能表示 x 1 y1 成 = 吗? x 2 y2 提示:不能,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-

x2y1=0.同时,a∥b的充要条件也不能错记为:x1x2-y1y2=0, x1y1-x2y2=0等.

课前热身
1.(2011· 高考广东卷)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4). 若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( 1 A. 4 C.1 1 B. 2 D.2 )

解析:选 B.a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),而 c=(3,4), 1 由(a+λb)∥c 得 4(1+λ)-6=0,解得 λ= . 2

→ → 2.(2012· 高考广东卷)若向量AB=(1,2),BC=(3,4), → 则AC=( A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)
→ → → 解析:选 A.AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6),故选 A.

)

3. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1, -2),C(3,1), → → 且BC=2AD ,则顶点 D 的坐标为( 7 A.(2, ) 2 C.(3,2) 1 B.(2,- ) 2 D.(1,3) )

答案:A

→ → 4.在△ABC 中,AB=a,BC=b,若 O 为△ABC 的重心, → 则BO =________(用 a、b 表示).

1 答案: (b-a) 3

5.下列各组向量中:①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5), 1 3 e2=(6,10);③e1=(2,-3),e2=( ,- ),能作为表示它们所 2 4 在平面内所有向量的基底的是________.

答案:①

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 平面向量基本定理

平面向量基本定理是用已知向量来表示未知向量的理论依 据. 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算.

例1

如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC

的中点,已知AM=c,



A N =d,试用 c,d 表示AB, AD .
【思路分析】 分别在△ADM 和△ABN 中,利用三角形法则







AM=AD +DM , A N =AB+BN .













【解】 法一:设AB=a,AD =b, 1 → → 则 a=AN +NB=d+(- b),① 2 1 → → b=AM+MD=c+(- a),② 2 1 1 将②代入①得 a=d+(- )[c+(- a)] 2 2 4 2 ?a= d- c, 3 3 1 4 2 4 2 代入②得 b=c+(- )( d- c)= c- d. 2 3 3 3 3 → 4 2 → 4 2 即AB= d- c,AD = c- d. 3 3 3 3





法二:设AB=a,AD =b, 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN = b, DM= a, 2 2





? 因而? 1 ?d=a+2b,
1 c=b+ a, 2

? ?? 2 ?b=3?2c-d?,
2 a= ?2d-c?, 3

→ 4 2 → 4 2 即AB= d- c,AD = c- d. 3 3 3 3 → 【名师点评】 本题构造了向量方程组通过解方程组求得AB,
AD 的表达式.



考点2 平面向量的坐标运算
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若

已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题
过程中要注意方程思想的运用.

→ 例2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,
BC=b, CA=c, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.





【思路分析】

首先利用点的坐标求出向量坐标,再按坐标

运算法则求向量坐标.

【解】

a=AB=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5);



b=BC=(-3,-4)-(3,-1)=(-6,-3); c=CA=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),
?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? ? ,解得? ∴ ?-3m+8n=-5 ? ? ?n=-1.





【思维总结】

向量加减法的坐标运算就是向量在x轴上的相

应坐标、在y轴上的相应坐标之间的加减运算,是向量的代数 运算形式.

跟踪训练
1.(2011· 高考重庆卷)已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+ b 与 a 共线,那么 a· 的值为( b A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 D.a+b=(1,k)+ (2,2)=(3,k+2). ∵a+b 与 a 共线,∴k+2-3k=0,解得 k=1. ∴a· (1,1)·2,2)=4. b= (

考点3

向量共线的坐标运算

向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的 方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法.

例3

平面内三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),

若d满足(d-c)∥(a+b)且d的起点为坐标原点,求d终点的

轨迹方程.
【思路分析】 设d=(x,y),用坐标表示d-c和a+b,根据

向量共线关系寻求x、y的关系式.

【解】

设 d=(x,y),∴d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1).

而 a+b=(3,2)+(-1,2)=(2,4). x-4 y-1 又∵(d-c)∥(a+b).∴ = . 2 4 ∴2x-y-7=0,即为 d 终点的轨迹方程.

【思维总结】

向量共线,主要是依据“相等向量的坐标相

同”这一原则建立关系式.

跟踪训练 2.在本例的基础上,若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
解:∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 又∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=- . 13

方法感悟
方法技巧

1.在一个复杂的几何图形中恰当地选择两个不共线向量来表
示其他向量,然后进行运算是解决向量问题的基本方法. 2.利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相

同这一原则,通过列方程(组)进行求解.
3.如果已知两向量共线,求某些参数的取值,则利用“若a= (x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是:x1y2-x2y1=0”

比较简捷.

失误防范 1.形同意不同:要区分点的坐标与向量的坐标的区别,尽管 在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中同 样有方向与大小的信息. 2.a∥b的充要条件有两种表达形式: (1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R); (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0. 两种充要条件的表达形式不同,第(1)种是用线性关系的形式

表示的,而且有前提条件b≠0.而第(2)种是用坐标形式表示的,
且没有b≠0的限制. 3.由于基底向量不共线,所以0不能作为一个基底向量.

考向瞭望把脉高考
命题预测 近两年的高考试题,用坐标表示的平面向量的线性运算成为高 考的热点,尤其是对向量共线的充要条件及平面向量的基本定理 的考查,试题多以选择题,填空题的形式出现,属容易题,命题者 意在此突出考查学生基础及数形结合思想的运用. 在2011年的高考中,北京卷考查了向量减法及坐标运算,2012年

的高考中,广东卷、安徽卷、重庆卷均考查了向量的坐标运算.
预测2014年的高考中,这部分若是单独考查仍以填空题或选择题 的形式出现,属于基本计算,知识集中于基本定理及线性运算.

典例透析
高考北京卷)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1), 例 (2011· c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.

【解析】

a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3),

又∵a-2b 与 c 共线,∴a-2b∥c, ∴ 3× 3-3×k=0,解得 k=1.

【答案】

1

【名师点评】

本题考查向量的坐标运算,考查学生的转化、

化归能力与运算求解能力,难度较小.


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