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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.5.2等比数列的前n项和导学案(含解析)新人教版必修5

第二章 第五节 数列前 n 项和习题课
目标定位:运用分组求和法,错位相减法,裂项相消法求数列的和,弄清每一种方法对 应的题型特征。 (重点和难点)

1.等差数列和等比数列求和公式是什么?其公式是如何推导的?

2.等差数列和等比数列的性质有哪些?

分组转化法求和 1 1 1 [例 1] 已知数列{cn}:1 ,2 ,3 ,?,试求{cn}的前 n 项和. 2 4 8 [解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn, 1 1 1 ? ?1?n? 则 Sn=1 +2 +3 +?+?n+? ? ? 2 4 8 ? ?2? ?

?1 1 1 ?1?n? =(1+2+3+?+n)+? + + +?+? ? ? ?2? ? ?2 4 8
1? ?1?n? 1-? ? ? ? n?n+1? 2? ?2? ? = + 2 1 1- 2 =

n?n+1?
2

?1?n +1-? ? . ?2?
n2+n

即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= [类题通法]

?1?n +1-? ? . 2 ?2?

当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列, 但如果它的通项公式可以拆分为几项的 和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前 n 项和 等于拆分成的每个数列前 n 项和的和. [活学活用]

n个 ? ? ? ? ? 1.求和:Sn=3+33+333+?+ 333? 3 . n个 ? ? ? ? ? 解:数列 3,33,333,?, 333? 3 的通项公式

an= (10n-1).
1 1 1 2 n ∴Sn= (10-1)+ (10 -1)+?+ (10 -1) 3 3 3 1 n 2 n = (10+10 +?+10 )- 3 3 1 10?1-10 ? n = × - 3 1-10 3 = 10 n n (10 -1)- . 27 3 错位相减法求和 [例 2] (2012·浙江高考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N ,数列 {bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N . (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)由 Sn=2n +n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1, 所以 an=4n-1,n∈N . 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2 (2)由(1)知 an·bn=(4n-1)·2
2 * 2 * 2 *

1 3

n

n-1

,n∈N .
*

*

n-1

,n∈N ,
n-1,

所以 Tn=3+7×2+11×2 +?+(4n-1)·2 +(4n-1)·2 ,
n

2Tn=3×2+7×2 +?+(4n-5)·2

2

n-1

所以 2Tn-Tn=(4n-1)2 -[3+4(2+2 +?+2 故 Tn=(4n-5)2 +5,n∈N . [类题通法]
n
*

n

2

n-1

)]=(4n-5)2 +5.

n

如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前 n 项和时,可采用错位 相减法. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写 出“Sn-qSn”的表达式. [活学活用]

2.已知 an= n,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3 1 2 3 n-1 n 解:Sn= + 2+ 3+?+ n-1 + n, 3 3 3 3 3 1 1 2 n-1 n Sn= 2+ 3+?+ n + n+1, 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn= + 2+ 3+?+ n- n+1 3 3 3 3 3 3 1 1? 1- n? ? ? 3? 3 ? n 1 1 n = - n+1= - n- n+1, 1 3 2 2×3 3 1- 3 3 1 n 3 2n+3 ∴Sn= - n-1- n= - n. 4 4×3 2×3 4 4×3 裂项相消法求和 [例 3] 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1

n

a2 n-1

(n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

[解](1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, ∴a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn=

n?a1+an?
2



∴an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)∵an=2n+1, ∴an-1=4n(n+1), 1 ? 1 1?1 因此 bn= = ? - ?. n n + 1? 4n?n+1? 4? 故 Tn=b1+b2+?+bn 1 1 ? 1? 1 1 1 = ?1- + - +?+ - 2 2 3 n n + 1? 4? ? 1 ? 1? = ? 1- n+1? 4? ? = . 4?n+1?
2

n

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= [类题通法]

n . 4?n+1?

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解, 然后重新组合使之能消去一些项, 最终达 到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察是否能分解成两项的差,这两项 一定要是同一数列相邻(相间)的两项,即这两项的结论应一致. [活学活用] 3.在数列{an}中,an= 的和. 解:an= ∵bn= ∴bn= 1 n (1+2+?+n)= , n+1 2 1 2 n 2 + +?+ ,且 bn= ,求数列{bn}的前 n 项 n+1 n+1 n+ 1 an·an+1

2 , an·an+1 2 · 2 2

n n+1

1 1 =8( - ), n n+1

∴数列{bn}的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 8n Sn=8[(1- )+( - )+( - )+?+( - )]=8(1- )= . 2 2 3 3 4 n n+ 1 n+1 n+1 数列求和的常用方法归纳

1.公式法(分组求和法) 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成, 并且各独立项也

可组成等差或等比数列,则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解. 2.裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列, 在求和时常用“裂项法”, 分式的求和多 利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些 项,保留哪些项,常见的拆项公式有: ① 1 1 1 1 = ·( - ); n?n+k? k n n+k

②若{an}为等差数列,公差为 d, 则 ③ 1 1

an·an+1 d an an+1 n+1+ n

1 1 1 = ( - ); = n+1- n等.

3.错位相减法

若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数 列为{anbn},当求该数列的前 n 项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比 q,然后错位一 项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为 错位相减法. 4.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法.

[随堂即时演练] 1.已知 an=(-1) ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9 与 S10 的值分别是( A.1,1 C.1,0 B.-1,-1 D.-1,0
n

)

解析:选 D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,

S10=S9+a10=-1+1=0.

2.数列{an},{bn}满足 anbn=1,an=n +3n+2,则{bn}的前 10 项和为( A. C. 1 4 3 4 1 B. D. 5 12 7 12 1 = 1 - 1

2

)

1 解析:选 B 依题意 bn= =

an n2+3n+2 ?n+1??n+2? n+1 n+2



,所以{bn}的

?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 5 前 10 项和为 S10=? - ?+? - ?+? - ?+?+? - ?= - = ,故选 B. ?2 3? ?3 4? ?4 5? ?11 12? 2 12 12
1 ? 1 1 1 ? 1? ? 1 1? ? 1 1 3 . 求 和 : Sn = 1 + ?1+ ? + ?1+ + ? + 1 + + + + ? + ?1+ + +?+ n-1? = 2 ? 2 4 8 ? 2? ? 2 4? ? 2 4 ________. 解析:被求和式的第 k 项为:

?1?k 1-? ? 1 1 1 ?2? ? 1? ak=1+ + +?+ k-1= =2?1- k?. 2 4 2 1 ? 2? 1- 2

?? 1? ? 1 ? ? 1 ?? 所以 Sn=2??1- ?+?1- 2?+?+?1- n?? ?? 2? ? 2 ? ? 2 ??
1 ?? ? ?1 1 1 =2?n-? + 2+ 3+?+ n?? 2 2 2 2 ? ? ??

?1- 1 ?? ? 1 ? 2? 2? ? =2?n- 1 ? 1- 2 ? ?
n

? ? 1 ?? =2?n-?1- n?? ? ? 2 ??
=2n+ 1 2
n-1

-2. 1 2 -2
n

答案:2n+

n-1

2 -1 321 4.已知数列{an}的通项公式 an= n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于________. 2 64 2 -1 1 解析:an= n =1- n 2 2 1? 1? ?1- n? 2? 2 ? 1 321 1 ∴Sn=n- =n-1+ n= =5+ , 1 2 64 64 1- 2 ∴n=6. 答案:6 5.已知等比数列{an}中,a2=8,a5=512. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1) = ∴q=4. ∴an=a2·4
n-2 n

a5 512 3 =64=q , a2 8

=8×4

n-2

=2

2n-1

.
3 5 2n-1

(2)由 bn=nan=n×2
2 3

2n-1

知 Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2
5 7 2n+1

①,

从而 2 ×Sn=1×2 +2×2 +3×2 +?+n×2 ①-②得(1-2 )×Sn=2+2 +2 +…+2
2 3 5 2n-1

②, 1 2n+1 ,即 Sn= [(3n-1)2 +2]. 9

-n×2

2n+1