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【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)数列专项基础训练


常考题型强化练——数列
A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.设等差数列{an}前 n 项和为 Sn, 若 a1=-11, a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 答案 A 解析 设该数列的公差为 d, 则 a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得 d=2, n?n-1? ∴Sn=-11n+ ×2 2 =n2-12n=(n-6)2-36, ∴当 n=6 时,取最小值. 5 2.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5 4 等于 A.35 答案 C 解析 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知, a2· a3=a1· a4=2a1,即 a4=2. 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为 知, 4 5 a4+2a7=2× , 4 5 1 1 2× -a4?= . ∴a7= ? 4 ? 4 2? a7 1 1 ∴q3= = ,即 q= , a4 8 2 1 ∴a4=a1q3=a1× =2, 8 1? 16? ?1-25? ∴a1=16,∴S5= =31. 1 1- 2 3.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 2an-a1=S1· Sn(a1≠0,n∈N*),则 a7 等于( A.16 B.32 C.64 D.128
1

)

B.7

C.8

D.9

( B.33 C.31 D.29

)

)

答案 C 解析 令 n=1,则 a1=1,当 n=2 时,2a2-1=S2=1+a2, 解得 a2=2,当 n≥2 时,由 2an-1=Sn, 得 2an-1-1=Sn-1,两式相减, 解得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1, 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 因此 an=2n 1.故 a7=26=64.


4.已知等差数列{an}的公差 d=-2,a1+a4+a7+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99 的 值是 A.-78 答案 B 解析 ∵a3+a6+a9+…+a99 =(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d) =a1+a4+a7+…+a97+2d×33 =50+66×(-2) =-82. 5.设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若-am<a1<-am+1(m∈N*,且 m≥2),则必定有( A.Sm>0,且 Sm+1<0 C.Sm>0,且 Sm+1>0 答案 A
? ?a1+am>0, 解析 -am<a1<-am+1?? ?a1+am+1<0. ?

( B.-82 C.-148 D.-182

)

)

B.Sm<0,且 Sm+1>0 D.Sm<0,且 Sm+1<0

a1+am a1+am+1 易得 Sm= · m>0,Sm+1= · (m+1)<0. 2 2 二、填空题 1 1 ?1? 6.若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列?x ?为 ? n? an+1 an 调和数列且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________. 答案 20
?1? 解析 由题意知,若{an}为调和数列,则?a ?为等差数列, ? n? ?1? ∴由?x ?为调和数列,可得数列{xn}为等差数列, ? n?

由等差数列的性质知, 200 x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11= =20. 10
2

7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2n-an, 则数列{an}的通项公式 an=______________. 1?n-1 答案 2-? ?2? 解析 由于 Sn=2n-an,所以 Sn+1=2(n+1)-an+1,后式减去前式,得 Sn+1-Sn=2-an+1 1 1 1 +an,即 an+1= an+1,变形为 an+1-2= (an-2),则数列{an-2}是以 a1-2 为首项, 为 2 2 2 公比的等比数列.又 a1=2-a1,即 a1=1. 1?n-1 ?1?n-1 则 an-2=(-1)? ?2? ,所以 an=2-?2? . a9+a10 1 8.已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1, a3,2a2 成等差数列, 则 的值为________. 2 a7+a8 答案 3+2 2 解析 设等比数列{an}的公比为 q, 1 ∵a1, a3,2a2 成等差数列,∴a3=a1+2a2. 2 ∴a1q2=a1+2a1q.∴q2-2q-1=0.∴q=1± 2. ∵各项都是正数,∴q>0.∴q=1+ 2. a9+a10 ∴ =q2=(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 三、解答题 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*,a3=5,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, a +2d=5, ? ?a1=1, ? 1 ? 由题意,得? 解得? 10×9 ? ?d=2, ? ?10a1+ 2 d=100, 所以 an=2n-1. 1 a (2)因为 bn= 2 n +2n= ×4n+2n, 2 所以 Tn=b1+b2+…+bn 1 = (4+42+…+4n)+2(1+2+…+n) 2 4n 1-4 2 2 2 = +n +n= ×4n+n2+n- . 6 3 3


10.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk=2 550,求 a 和 k 的值;

3

Sn (2)设 bn= ,求 b3+b7+b11+…+b4n-1 的值. n 解 (1)由已知得 a1=a-1,a2=4,a3=2a, 又 a1+a3=2a2, ∴(a-1)+2a=8,即 a=3. ∴a1=2,公差 d=a2-a1=2. k?k-1? 由 Sk=ka1+ d, 2 k?k-1? 得 2k+ ×2=2 550, 2 即 k2+k-2 550=0,解得 k=50 或 k=-51(舍去). ∴a=3,k=50. n?n-1? (2)由 Sn=na1+ d, 2 n?n-1? 得 Sn=2n+ ×2=n2+n. 2 Sn ∴bn= =n+1. n ∴{bn}是等差数列. ?4+4n?n 则 b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)= . 2 ∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟)

1.已知数列{an}是首项为 a1=4 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列,则其公比 q 等于 ( A.1 答案 C 解析 依题意,有 2a5=4a1-2a3, 即 2a1q4=4a1-2a1q2, 整理得 q4+q2-2=0,解得 q2=1(q2=-2 舍去), 所以 q=1 或 q=-1. 2.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1,x1, x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A
4

)

B.-1

C.1 或-1

D. 2

)

解析 由等差、等比数列的性质, 可求得 x1=2,x2=3,y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4).∴ S?OP1P2 =1. 1+2a ? ? 3.已知数列{a }满足:a =1,a =?1 +2a ? ?2
n 1 n

n 2 n ?1 2



n为偶数, , n为奇数,

n=2,3,4,…,设 bn= a2n?1 +1,n=1,2,3,…,则数列{bn}的通项公式是________. 答案 bn=2n 解析 由题意,得对于任意的正整数 n,bn=a2 n ?1 +1, ∴bn+1=a2n+1, 又+1=(2a 2n +1)+1=2( a2n?1 +1)=2bn,
2

∴bn+1=2bn, 又 b1=a1+1=2, ∴{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴bn=2n. 4.某音乐酒吧的霓虹灯是用 ,, 三个不同音符组成的一个含 n+1(n∈N*)个音符的音符串, 要求由音符 开始,相邻两个音符不能相同.例如 n=1 时,排出的音符串是 时,排出的音符串是 , , , , ;n=2

;…….记这种含 n+1 个音符的所有音符串

中,排在最后一个的音符仍是 的音符串的个数为 an.故 a1=0,a2=2.则 (1)a4=________; (2)an=________. 2n+2?-1?n 答案 (1)6 (2) 3 解析 由题意知,a1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2,a4=6=23-a3,a5=10=24-a4, 所以 an=2n 1-an-1,


所以 an-1=2n 2-an-2,两式相减得 an-an-2=2n 2.
- -

当 n 为奇数时,利用累加法得 an-a1=2 +2 +…+2 2n-2 所以 an= . 3

1

3

n-2

2n-2 = , 3

2n-22 - 当 n 为偶数时,利用累加法得 an-a2=22+24+…+2n 2= , 3 2n+2 2n+2?-1?n 所以 an= .综上所述,an= . 3 3
5

1 1 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 满足 Sn= - an. 2 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),Tn= + +…+ ,求 T2 012; b1 b2 bn (3)若 cn=an· f(an),求{cn}的前 n 项和 Un. 1 解 (1)当 n=1 时,a1= , 3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 1 1 又 Sn= - an, 2 2 1 所以 an= an-1, 3 1 1 即数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 1?n 故 an=? ?3? . 1?n (2)由已知可得 f(an)=log3? ?3? =-n, n?n+1? 则 bn=-1-2-3-…-n=- , 2 1 1 1 故 =-2?n-n+1?, bn ? ? 1? ?1 1? ?1- 1 ?? 又 Tn=-2?? ?1-2?+?2-3?+…+ n n+1

?

?

??

1 =-2?1-n+1?,

?

?

4 024 所以 T2 012=- . 2 013

?1?n, (3)由题意得 cn=(-n)· ?3?
故 Un=c1+c2+…+cn

?1?1 ?1?2 ?1?n?, =-? ?1×?3? +2×?3? +…+n· ?3? ?
1 ?1?2 ?1?3 ?1?n+1?, 则 Un=-? ?1×?3? +2×?3? +…+n· ?3? ? 3 两式相减可得 2 ?1?1 ?1?2 ?1?n ?1?n+1?=-1?1-?1?n?+n· ?1?n+1 U =-? ??3? +?3? +…+?3? -n· ?3? ? ?3? 3 n 2? ?3? ? 1 1 ?1?n ?1?n+1, =- + · +n· ?3? 2 2 ?3?

6

3 3 ?1?n 3 ?1?n+1 则 Un=- + · + n· . 4 4 ?3? 2 ?3?

7


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