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高三19-2直线与圆位置知识点、经典例题及练习题带答案


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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 学 员 编 号 : 学 员 姓 名 : 课 题 年 级 : 签字日期: 课 时 数 :

辅 导 科 目 :

学 科 教 师 :

授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点

【考纲说明】
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【趣味链接】
线线和圆圆共有过三种关系,在没认识之前是相离的关系,然后他们慢慢的靠近,终于有一天他们相遇了,经过 这一面之缘之后再也无法分离,永远在一起了。

【知识梳理】
一、直线与圆的位置关系 1、 直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 (1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去 x 或 y 整 理成一元二次方程后,计算判别式

? ? b2 ? 4ac

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点
? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系:

1

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d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点
2、圆的切线方程 若圆的方程为 x ? y ? r ,点 P ( x0 , y0 ) 在圆上,则过 P 点且与圆 x ? y ? r 相切的切线方程为 xo x ? yo y ? r .
2 2 2 2 2 2
2

经过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上一点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 (
2 2 2

x ? xo y ? yo ? a) 2 ? ( ? b)2 ? r 2 . 2 2

3、直线与圆相交 直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r ? d ?
2 2

l2 2 2 ,即 l ? 2 r ? d ,求弦长或已知弦长 4

求其他量的值时,一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、内含。 2、判断圆与圆的位置关系常用方法 (1)几何法:设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径为 r1 , r2 (r1 ? r2 ) ,则

O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相离 ? 有 4 条公切线 O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 外切 ? 有 3 条公切线 | r1 ? r2 |? O1O2 ? r1 ? r2 ? 圆 O1 与圆 O2 相交 ? 有 2 条公切线 O1O2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 O1 与圆 O2 内切 ? 有 1 条公切线 O1O2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 O1 与圆 O2 内含 ? 有 0 条公切线.
(2)代数法: 方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0
2 2 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

有两组不同的实数解 ? 两圆相交; 有两组相同的实数解 ? 两圆相切; 无实数解 ? 两圆外离或内含。

2

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【经典例题】
【例 1】 (2012 广东文)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长等 于( A. 3 3 ) B. 2 3 C. 3
2

D.1
2

【例 2】 (2012 重庆理)对任意的实数 k, 直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是 ( A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心
2 2



【例 3】 (2012 福建)直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于( A. 2 5 B. 2 3 C. 3
2 2

)

D.1 )

【例 4】 (2012 安徽)若直线 x ? y ? 1? 0 与圆 ( x ? a) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A. [?3, ?1] ] B. [?1,3]
2 2

C. [?3,1]

D. (??, ?3] ? [1, ??) )

【例 5】 (2012 山东)圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
2 2

【例 6】 (2012 江西)过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x ? y ? 1 的 两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是__________. 【例 7】 (2009 四川)若⊙ O1 : x ? y ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的
2 2
2 2

切线互相垂直,则线段 AB 的长度是

.

【例 8】 (2011 福建)已知直线 l : y ? x ? m, m ? R . (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C: x ? 4 y 是否相切?说明理由。
2

【例 9】已知圆 C1 : x ? y ? 2mx ? 4 y ? m ? 5 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? 2 x ? 2my ? m ? 3 ? 0 ,m 为何值时,
2 2 2 2 2 2

(1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. 【例 10】 (2011 广东)设圆 C 与两圆 ( x ? 5) ? y ? 4 , ( x ? 5) ? y ? 4 中的一个内切,另一个外切.
2 2 2 2

(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程;

3

中国教育培训领军品牌 (2)已知点 M(

3 5 4 5 , ),F( 5 ,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 5 5

【课堂练习】
1、 (2012 重庆)设 A, B 为直线 y ? x 与圆 x ? y ? 1 的两个交点,则 | AB |? (
2 2



A.1

B. 2
2 2

C. 3

D.2 )

2、 (2012 陕西)已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 是过点 P(3,0) 的直线,则( A. l 与 C 相交 C. l 与 C 相离 B. l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能
2 2

3、 (2012 湖北)过点 P(1,1) 的直线 l ,将圆形区域 {( x, y ) | x ? y ≤ 4} 分成两部分,使这两部分的面积之差最大,则 该直线 l 的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 ) B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0

4、 (2012 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以 该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2 2

5、 (2012 天津文)设 m, n ? R , 若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于 B,且 l 与圆 x ? y ? 4 相 交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 △AOB 面积的最小值为
2


2

6、 (2012 湖南理) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 上的点均在圆 C2 :( x ? 5) ? y ? 9 外, 且对 C1 上任意一点 M , M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A, B 和 C , D . 证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C, D 的纵坐标之积为定值.

4

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【课后作业】
1.(2010 广东)若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程是( A. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2



B. ( x ? 5) ? y ? 5 C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

2

2

D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

2.(2009 重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2



B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2 2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

(x 3.(2009 上海)过圆 C: ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的圆心,作直线分
别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) , 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有( A. 0 条 B. 1 条 C. 2条 D. 3 条 ) )

4.由直线 y ? x ? 1 上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线,则切线长的最小值为( A. 17 B. 3 2 C. 19 D. 2 5

5.(2009 全国Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是 ① 15?
其中正确答案的序号是

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?

. (写出所有正确答案的序号)
2 2

6.(2011湖北文)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率为 . 7.(2010 湖南)若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b)(3-b,3-a) , ,则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 关于直线 l 对称的圆的方程为
2 2

,



8.光线从点 P(-3,5)射到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上,经过反射,其反射光线过点 Q(3,5) ,则光线从 P 到 Q 所走 过的路程为 9. 圆 ? . , 过 这 个 圆 外 一 点 P ? 2, 3 ? 的 该 圆 的 切 线 方 程

? x ? 1 ? cos? (? 为 参 数 ) 的 标 准 方 程 是 ? y ? 1 ? sin?




5

中国教育培训领军品牌 10. (2011 全国)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上.
2

(I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A, B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值.

【课后反馈】
本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________ 本次课后作业:___________________________________________________________________________________ 需要家长协助:____________________________________________________________________________________ 家长意见:________________________________________________________________________________________

6

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【参考答案】
【经典例题】 1-5、BCBCB 6、 ( 2 , 2 )
2 2

7、4

8、 ( x ? 2) ? y ? 8 ;当 m =1 时,直线 l ? 与抛物线 C 相切,当 m ≠1 时,直线 l ? 与抛物线 C 不相切. 9、 当m ? ?5或m ? 2 圆 C1 与圆 C2 外切;当 ?2 ? m ? ?1时,圆 C1 与圆 C2 内含.

10、

x2 6 5 2 5 ,- ) ? y 2 ? 1 ;( 5 5 4

【课堂练习】 1-3、DAA 4、 4

3

5、3

6、 y ? 20 x ; (2)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时, P 的坐标为 ( ?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆
2

C2 相 切 得 直 线 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 0 , 每 条 切 线 都 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 , 切 线 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? 4), 即 kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 .于是
5k ? y0 ? 4 k k ?1
2
2 ? 3. 整理得 72k 2 ? 18 y0 k ? y0 ? 9 ? 0. ①

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则 k1 , k 2 是方程①的两个实根,故 k1 ? k2 ? ? 由?

18 y0 y ? ? 0 .② 72 4

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. ③ 2 y ? 20 x, ?

设四点 A, B, C, D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则 y1 , y2 是方程③的两个实根,所以 y1 ? y2 ?

20( y0 ? 4k1 ) .④ k1

同理可得 y3 ? y4 ?

20( y0 ? 4k2 ) .⑤ k2

于是由②,④,⑤三式得

2 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? y0 ? 4(k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k 2 ? 400( y0 2 ? y0 2 ? 16k1k2 ) ? ?? ? ? 6400 y1 y2 y3 y4 ? k1k2 k1k2 k1k2

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C, D 的纵坐标之积为定值 6400.

【课后作业】 1-4、DABA 5、①或⑤ 6、1 或

17 7

7、-1 ;x2+(y-1)2=1

7

中国教育培训领军品牌 8、8 9、(x-1)2+(y-1)2=1;x=2 或 3x-4y+6=0
2 2

10、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. ; a ? ?1.

8


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