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三角恒等变形(练习一)


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三角恒等变形(练习一)
一、选择题(每题 4 分,计 40 分)
1.已知 0 ? ? ?

?

( A) ? 1

3 4 ? ? ? ? , 又, sin ? ? , sin(? ? ? ) ? ? ,则 sin ? ? ( 2 5 5 7 7 (B) ? 1或 ? (C ) ? 25 25

).

( D)

7 25

2.如果 sin ? ? ? , cos ? ?

1 3

2 2 , 则 2? 为第( 3

)象限角.

( A) 一
3.设

(B) 二
).

(C ) 三

( D) 四

1 ? tan x ? 2, 则 sin 2 x 的值是( 1 ? tan x 3 3 ( A) (B) ? 5 4

(C )
).

3 4

( D ) ?1

4.已知 ? ? (? , 2? ) ,则

1 ? cos(? ? ? ) 等于( 2

? ? ( B ) cos 2 2 1 ? sin 2? ? cos 2? 5.化简 的结果是( 1 ? sin 2? ? cos 2?
( A) sin ( A) 2 sin ? ( B ) cos?

(C ) ? sin
)

?
2

( D) ? cos

?
2

(C ) ta n?
)

( D) 2 tan ?

6.在 3 sin x ? cos x ? 2a ? 3 中, a 的取值域范围是(

( A)

1 5 ?a? 2 2

(B) a ?

1 2

(C ) a ?

5 2
)

( D) ?

5 1 ?a?? 2 2

7.若 x 是一个三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x 的值域是(

( A) [? 2, 2]

( B ) (?1,

3 ?1 ] 2
2 0

(C ) [?1,

3 ?1 ] 2
)

( D) (?1,

3 ?1 ) 2

8.设 ? ? sin13 ? cos13 , b ? 2 2 cos 14 ? 2, c ?
0 0

6 , 则( 2

( A) a ? c ? b
9 函数 y ?

(B) c ? b ? a
)

(C ) b ? c ? a

( D) c ? a ? b

cos x 的单调增区间是( 1 ? sin x 3? ? , 2 k? ? ] ( A) [2k? ? 2 2 3? ? , 2 k? ? ] (C ) [2k? ? 2 2

( B ) [2k? ? ( D ) [ k? ?

?

?

, 2 k? ? ] 2 2

?

, k? ? ] 2 2
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?

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1

我们不做宣传,我们只做口碑! 10.在 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ,则 C 等于( )

( A)

? 3
?
4

(B)

2? 3

(C )

? 6

( D)

? 4

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11.已知 sin(

??) ?

5 ? , ? ? (0, ), 则 13 4

cos 2? cos( ? ? ) 4

?

? ___

___.

2 12.已知 tan? , tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? , ? ? (?

? ?

, ), 则 ? ? ? 等于__ 2 2

____.

cos 2 x ? sin 2 x 的最小周期是__ ___ cos 2 x ? sin 2 x 5 3 , sin B ? , 则 cos C =___ 14.在 ?ABC 中, cos A ? 13 5
13.函数 y ?

___.

三、解答题
15(10 分)化简 [2 sin 500 ? sin 100 (1 ? 3 tan100 )] 1 ? cos200

16(10 分)已知 sin( 2? ? ? ) ? 3 sin ? , ? ? k? ?

?
2

, ? ? ? ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

? ? ? ) ? 2 tan? . 求证: tan(

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我们不做宣传,我们只做口碑! 17(12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的最小正周期. (2)求使函数 f ( x) 取得最大值时 x 的集合.

3 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 sin 2 ( x ?

?
12

), ( x ? R).

? 的扇形, ABCD 是扇形的内接矩形, B, C 两点 3 在圆弧上, OE 是 ?POQ 的平分线,连接 OC ,记 ?COE ? ? ,问:角 ? 为何值时矩形 ABCD
18(12 分)如图所示,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 面积最大,并求最大面积. Q D O A P B C E

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[参考答案]
1~5: CDADC (11) 5~10: ABCAA

24 13

(12) ?

2? 3

(13)

? 2

(14)

16 65

15.解:原式=

[2 sin 500 ? sin 100 (1 ? 3

sin 100 )] 2 cos2 100 cos100 0 0 0 0 cos10 ? 3 sin 10 ? [2 sin 50 ? sin 10 ? ] ? 2 cos100 0 cos10 2 sin 400 ? 2[2 sin 500 ? sin 100 ? ] ? cos100 0 cos10 0 0 ? 2[2 sin 50 cos10 ? 2 sin 100 sin 400 ] ? 2 2[cos400 cos100 ? sin 400 sin 100 ] ? 2 2 cos(400 ?100 ) ? 2 2 ? cos300 ? 6

16.证明:

sin(2? ? ? ) ? 3 sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? 3 sin((? ? ? ) ? ? )

? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 3 sin(? ? ? ) cos ? ? 3 cos(? ? ? ) sin ?
? ?2 sin(? ? ? ) cos? ? ?4 cos(? ? ? ) sin ? ? tan( ? ? ? ) ? 2 tan?
17.解: (1) f ( x) ?

3 sin( 2 x ?

?
6

) ? [1 ? cos( 2( x ?

?
12

)]

? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? cos( 2 x ?

?
6

) ?1

? 2[

3 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )] ? 1 2 6 2 6

? 2 sin( 2 x ?

?
3

) ?1

2? ?? 2 ? ? (2)当 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 3 2 5? ? k? , k ? Z 时, y max ? 3 即x ? 12 T ? min ?
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我们不做宣传,我们只做口碑! 解:设 OE 交 AD 于 M ,交 BC 于 N ,显然矩形 D O A P B C E

ABCD 关于 OE 对称,而 M , N 均为 AD , BC
的中点,在 Rt ?ONC 中, CN ? sin ? , ON ? cos? .

OM ? DM / tan

?
6

? 3DM ? 3CN ? 3 sin ? ,

? MN ? ON ? OM ? cos? ? 3 sin ?
即 AB ? cos? ? 3 sin ?

? BC ? 2CN ? 2 sin ?
故: S矩 ? AB ? BC ? (cos? ? 3 sin ?) ? 2 sin ?

? 2 sin ? cos? ? 2 3 sin 2 ? ? sin 2? ? ( 3 1 ? cos2?) ? sin 2? ? 3 cos2? ? 3
? 2 sin (2? ? ?0 ? ? ?
故当 2? ?

?
3

) ? 3

?
6

,? 0 ? 2? ?

? ?
3 3 ,

? 2? ?

?
3

?

?
3

?

?
2

, 即? ?

? 时, S 矩形 取得最大,此时 S矩形 ? 2 ? 3 12

2? 3

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