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2011版高中数学二轮专题复习学案-1.1集合与常用逻辑用语


专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第一讲 集合与常用逻辑用语
:(1 2010·福建高考文科· 例解 1:(1)(2010·福建高考文科·T1)若集合 A = x 1 ≤ x ≤ 3 , B = x x > 2 ,则 A ∩ B 等于 ( ) A. x 2 < x ≤ 3

{

}

{

}

{

}

B. x x ≥ 1

{

}

C. x 2 ≤ x < 3

{

}

D. x x > 2

{

}

【规范解答】选 A,由数轴可知: A ∩ B = { x | 2 < x ≤ 3} 。 (2)(2010·广东高考文科· , ,则集合 A U B= (2)(2010·广东高考文科·T1)若集合 A={0,1,2,3} B={1,2,4} A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0}

【规范解答】选 A , A U B = {0 , 1, 2 , 3} U {1 , 2 , 4} = {0 , 1 , 2 ,3 , 4} ,故选 A 。

例解 3:给出命题:已知 a 、 b 为实数,若 a + b = 1 ,则 ab ≤ 个命题中,真命题的个数是( )

1 .在它的逆命题、否命题、逆否命题三 4

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0
1 4

【解析】选 C 因为 a + b = 1 ? 1 = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab ? ab ≤ . 所以原命题为真命题。从而逆否 命题亦为真命题;若 ab ≤

1 ,显然得不出 a + b = 1 ,故逆命题为假命题,从而否命题亦为假命题。故 4

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数为 1 个。要点考向四:充分条件、必要 条件、充要条件的确认与探求问题 是“实系数一元二次方程 x 2 + ax + 1 = 0 有虚根”的( 例解 3: “a ≤ 2” (A)必要不充分条件 (C)充要条件 【解析】选 A (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 △= a 2 -4<0 时,-2< a <2,因为 a ≤ 2” “ 是“-2< a <2”的必要不充分条件,故 )

选 A。[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

【高考真题探究】 高考真题探究】
1.(2010·广东高考理科 ·T1)若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A∩B= 2010· A. { x -1< x <1} C. { x -2< x <2} B. { x -2< x <1} D. { x 0< x <1}
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【命题立意】本题主要考察集合的概念及运算,考察数形结合的数学思想。 【思路点拨】利用数轴进行求解。 【规范解答】选 D 。 A I B = x ? 2 < x < 1 I x 0 < x < 2 = x 0 < x < 1 ,故选 D 2.(2010·北京高考文科·T1)集合 P = {x ∈ Z 0 ≤ x < 3}, M = {x ∈ Z x ≤ 9} ,则 P I M = ( 2010·北京高考文科·
2

{

} {

} {

}



(A) {1,2}

(B) {0,1,2}

(C){1,2,3}

(D){0,1,2,3}

【命题立意】本题考查集合的交集运算。 【思路点拨】先用列举法表示出集合 P、M,再求 P I M 。 【规范解答】选 B。因为 P = {0,1, 2}, M = {?3, ?2, ?1, 0,1, 2,3} ,所以 P I M = {0,1, 2} 。 3.(2010·安徽高考文科·T1)若 A= { x | x + 1 > 0} ,B= { x | x ? 3 < 0} ,则 A I B = 2010·安徽高考文科· (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)

【命题立意】本题主要考查集合的运算,考查考生求解一元一次不等式的能力。 【思路点拨】先求集合 A、B,然后求交集。 【规范解答】选 C,经计算, A = ( ?1, +∞), B = ( ?∞,3) ,∴ A I B = ( ?1, 3) ,故 C 正确。 4.(2010·天津高考文科·T5)下列命题中,真命题是 2010·天津高考文科· (A) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)是偶函数
2 2 (B) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)是奇函数 2 (C) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)都是偶函数 2 (D) ?m ∈ R,使函数f(x)=x + mx(x ∈ R)都是奇函数





【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性。 【思路点拨】根据偶函数的图像关于 y 轴对称这一性质进行判断。
2 【规范解答】选 A,当 m = 0 时函数 f ( x ) = x 的图像关于 y 轴对称,故选 A。

5.(2010·天津高考理科·T3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( 2010·天津高考理科· (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念。 【思路点拨】原命题“若 p 则 q ” ,否命题为“若 ?p 则 ?q ” 。

)

【规范解答】选 B,明确“是”的否定是“不是” ,并对原命题的条件和结论分别进行否定,可得否命题为

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“若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数” 。

f ( x) = ax + bx + c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0, 6.(2010·辽宁高考文科·T4)已知 a>0,函数 2010·辽宁高考文科·
2

则下列选项的命题中为假命题的是(



(A) ?x ∈ R, f ( x) ≤ f ( x0 ) (C) ?x ∈ R, f ( x) ≤ f ( x0 )

(B) ?x ∈ R, f ( x) ≥ f ( x0 ) (D) ?x ∈ R, f ( x) ≥ f ( x0 )

【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题,全称命题与特称命题。

x0 = ?
【思路点拨】

b 2a ,由于 a>0,所以 f ( x0 ) 是 f ( x) 的最小值。
x0 = ? b b f ( x0 ) = f (? ) 2a , 2a 是二次函数 f ( x) ∵a>0, ∴ f ( x) = f ( x0 )
,可判定(A) (B)选

【规范解答】 C, x0 满足方程 2ax+b=0, 选 由 可得

的最小值,可判定 D 选项是真命题,C 选项是假命题;存在 x= x0 时, 项都是真命题,故选 C。

【跟踪模拟训练】 跟踪模拟训练】
总分 100 分 选择题( 个小题, 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,总分 36 分) 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩ ? B =( U (A){1,5,7} (C){1,3,9} (B){3,5,7} (D){1,2,3} )

2 2 2.已知全集 U=R,集合 M = {x | x < 1} , N = {x | x ? x < 0} ,则集合 M,N 的关系用韦恩(Venn)

图可以表示为





x x 3.已知命题 p: ?x ∈ ( ?∞, 0), 2 < 3 ;命题 q:

?x ∈ (0, ), tan x > sin x 2 ,则下列命题为真命题的是
D. p∧(﹁q)

π

( ) A. p∧q
2

B. p∨(﹁q)

C. (﹁p)∧q )

4. “ x ? 3 x + 2 > 0 ”是“ x < 1 或 x > 4 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

?ax + yb = 1 ? 2 2 a 2 + b 2 …1 ”是“关于 x 、 y 的方程组 ? x + y = 1 有实 5. (2010 届·安徽安庆高三二模)若 a 、 b ∈ R ,则“
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数解”的(

) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

6.设 f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意 x∈[ a ,b],都有 | f ( x ) ? g ( x ) |≤ 1 成 立,则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在[a,b]上是“密切函数” ,区间[ a ,b]称为“密切区间”.若 f ( x) = x ? 3 x + 4 与
2

g ( x ) = 2 x ? 3 在[ a ,b]上是“密切函数” ,则其“密切区间”可以是
( ) A. [1,4] B. [2,4] C. [3,4] D. [2,3]

小题, 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,总分 18 分) 填空题( 7.已知全集 U = { ,2,3,4} ,集合 P = {1,2} , Q = {2,3} ,则 P I (? Q) = 1 U .

8. (2010·苏、锡、 常、 镇四市高三调研) 已知集合 A = { x x 2 ? x ≤ 0, x ∈ R} ,设函数 f ( x) = 2? x + a( x ∈ A ) 的值域为 B , 若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是 .

2 9. (2010·安徽“江南十校”高三联考)命题“ ?x ∈ R , 2 x ? 3ax + 9 < 0 ”为假命题,则实数 a 的取

值范围是 三、解答题(10、11 题 15 分,12 题 16 分) 解答题( 10.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)·(x-3a)<0}. (1)若 A ∪B=B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值. 11.已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0, 若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
f ( x) = x+ 1 x ( x > 0)

12. (2010 届· 安徽省示范高中模拟联考) (本小题满分 12 分) 设函数

1 1 [ x] ? [ ] + [ x] + [ ] +1 x x



1 [2]=2, [ ] = 0, [1.8] = 1 3 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 . 3 f( ) (Ⅰ)求 2 的值;
(Ⅱ)若在区间 [2,3) 上存在 x,使得 f ( x ) ≤ k 成立,求实数 k 的取值范围;

参考答案
1. 【解析】选 A.∵={1,2,4,5, 7,8,10,11,13,14,15,…}∴A∩ ? B ={1,5,7}. U
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2. 【解析】由已知 M = ( ?1,1) , N = (0,1) ,则 N ? M ,故选 B.

2 ( )x > 1 3. 【解析】因为当 x<0 时, 3 ,即

,所以命题 p 为假,从而﹁p 为真.

因为当

时,

,即

,所以命题 q 为真.所以(﹁p)

∧q 为真,故选 C. 4.B 5.C
2 2 2 2 6. 【解析】因为 | f ( x) ? g ( x) |=| x ? 5 x + 7 |= x ? 5 x + 7 .由 x ? 5 x + 7 ≤ 1 ,得 x ? 5 x + 6 ≤ 0 ,解得

2 ≤ x ≤ 3 ,故选 D.
7.答案: {1} 答案: 答案 8. 解析】Q A = { x x 2 ? x ≤ 0, x ∈ R} = [0,1], 【解析】
1 1 ∴ ? x ∈ [?1, 0] ? 2? x ∈ [ ,1] ? B = [ + a ,1 + a ]. 2 2

1 Q B ? A,∴[ + a ,1 + a ] ? [0,1], 2 1 ? 1 ? + a ≥ 0, ∴?2 ? ? ≤ a ≤ 0. 2 ?1 + a ≤ 1. ?

答案: 答案:[ ?

1 ,0] 2

9 . 解析 】 因为命题 “ ?x ∈ R , 2 x 2 ? 3ax + 9 < 0 ” 为假命题 , 所以 ?x ∈ R , 2 x 2 ? 3ax + 9 ≥ 0 为真命题 。 为假命题, 为真命题。 【 解析】 因为命题“
∴ ? = 9 a 2 ? 4 × 2 × 9 ≤ 0 ? ?2 2 ≤ a ≤ 2 2.

答案: 答案: ?2 2 ≤ a ≤ 2 2.
10. 【解析】A={x|2<x<4},

(1)∵A∪B=B,∴A

B,a>0 时,B={x|a<x<3a},

(2)要满足 A∩B={x|3<x<4},显然 a>0,a=3 时成立.∵此时 B={x|3<x<9},A∩B={x|3<x<4},故所求的 a 值 为 3.
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11. 【解析】由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,

“只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0” , 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点,∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≥1 或 a=0. ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a 的取值范围为{a|-1<a<0 或 0<a<1}.
3 2 + 3 13 2 3 f( )= = . 3 2 3 2 3 2 2 [ ] ? [ ] + [ ] + [ ] + 1 12 [ ] = 1,[ ] = 0 2 3 2 3 2 3 12. 【解析】 (Ⅰ)因为 ,所以

(Ⅱ)因为 2 ≤ x < 3 ,所以
1 1 f ( x) = ( x + ) 3 x . 则

1 [ x] = 2,[ ] = 0 x ,

1 1 f ′( x) = (1 ? 2 ) 3 x ,当 2 ≤ x < 3 时,显然有 f ′( x) > 0 , 求导得 5 10 [ , ) 所以 f ( x) 在区间 [2,3) 上递增, 即可得 f ( x) 在区间 [2,3) 上的值域为 6 9 , 5 k≥ [2,3) 上存在 x,使得 f ( x) ≤ k 成立,所以 6. 在区间

【备课资源】 备课资源】
1.下列特称(存在性)命题中真命题的个数是( ) ① ? x∈R,x≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; ③ ? x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选 D.①当 x=-1 时成立,故①正确;[来源:Z_xx_k.Com] ②1 是整数,它既不是合数,也不是素数,故②正确; ③当 x= 4 3 时,它是无理数,同时 x2= 3 也是无理数.故③也正确. 2.已知 a,b∈R,则“b=0”是“|a+bi|≥0”的 ( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C )充要条件(D)既不充分也不必要条件 【解析】选 A.∵|a+bi|≥0 ? a2+b2≥0,∴b=0 可推得:a2+b2≥0 但反之不一定, 故“b=0”是“|a+bi|≥0”的充分不必要条件. 3.(2009·合肥模拟)已知全集 U=R,集合 A={x| -2≤x≤3},B={x|x<-1 或 x>4},那么集合 A∩( ? B )等于( U )

(A){x|-2≤x<4}(B){x|x≤3 或 x≥4} (C){x|-2≤x<-1}(D){x|-1≤x≤3} 【解析】选 D.∵ ? B ={x|-1≤x≤4}, U

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∴A∩( ? B )={x|-2≤x≤3}∩{x|-1≤x≤4}={x|-1≤x≤3}. U 4.已知命题 p:“ ? x∈[1,2],x2-a≥0” ,命题 q: ? x∈R,x2+2ax+2-a=0”. “ 若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( (A)a≤-2 或 a=1 (B)a≤-2 或 1≤a≤2 (C)a≥1 (D)-2≤a≤1 )

【解析】选 A.因为命题“p∧q”是真命题,所以 p、q 均为真命题,则有 x2-a≥0 即 a≤x2 在[1,2]上 恒成立,∴a≤1,且Δ=(2a)2-4(2-a)≥0,即:a≤-2 或 a≥1,故 a≤-2 或 a=1. 5.已知 a、b∈(0,+∞),若命题 p:a2+b2<1.命题 q:ab+1≤a+b,则 p 是 ?q 的( (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 【解析】选 A. ?q 即:ab+1>a+b, ∵a,b∈(0,+∞),∴a2b2+2ab+1>a2+b2+2ab.即 a2+b2<1+a2b2. ∵a2+b2<1 ? a2+b2<1+a2b2;而 a2+b2<1+a2b2 不能推出 a2+b2<1,∴p 是 ?q 的充分不必要条件. 6.给出下列判断: ①ambn=(ab)mn;②函数 y=1-e-x 是增函数; ③a<0 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实数根的充分不必要条件; ④y=lnx 与 y=ln(-x)的图象关于 y 轴对称. 其中正确判断的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选 C.因为①(ab)mn=amnbmn≠am·bn,故①不正确. ②因为 e-x 为减函数,∴y=1-e-x 为 R 上的增函数,故②正确. ③方程 ax 2+2x+1=0 至少有一个负实数根的充要条件为:



? ? = 4 ? 4a ≥ 0 ? = 4 ? 4a ≥ 0 ? ? ? 2 a = 0或 ? 1 或 ?? < 0 , 解得a ≤ 1 ?a < 0 ? a ? ?1 ?a > 0 ?
∴a<0 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实数根的充分不必要条件,正确.④显然正确. 综上有②③④正确. 7.若非空 集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则( (A)“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 (B)“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
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)

(C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件 (D)“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 解析:选 B.Q A U B = C ,∴ A ? C.又 Q B不是A的子集, 存在元素x ∈ B, 但x ? A, ∴ 即存在 x ∈ C但x ? A, ∴ A

C ,故 x ∈ A ? x ∈ C , 但x ∈ C时,x不一定属于A.

8.已知集合 A={(x,y)|x-y+b=0},B={(x,y)|(x-a)2+y2=8},其中 x∈R,y∈R,若 A∩B 有且只有一个元素, 则实数对(a,b)所取的一组值可以是_______. 【解析】由直线与圆的位置关系可知满足|a+b|=4 的任何一组实数即可. 答案:(1,3)(答案不唯一) 9.已知以下四个命题: ①如果 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实根,且 x1<x2,那么不等式 ax2+bx+c<0 的解集为 {x|x1<x<x2};



x ?1 ≤0 是(x-1)(x-2)≤0 的充要条件; x?2

③若 m>2,则 x2-2x+m>0 的解集是实数集 R; ④若函数 y=x2-ax+b 在[2,+∞)上是增函数,则 a≤4. 其中为真命题的是______.(填上你认为正确的命题序号) 【解析】①中 a<0 时解集为{x|x>x2 或 x<x1},故①为假命题;②中

x ?1 ≤0 解集中 x≠2,但(x-1)(x-2) x?2

≤0 解集中 x 可以为 2,故②为假命题;③④为真命题. 答案:③④ 10.已知集合 A={x||x-a|<ax,a>0},若 f(x)=sinπx-cosπx 在 A 上是单调递增函数,求 a 的取值范围. 解析:由|x-a|<ax 得-ax<x-a<ax,∴ ?

?(1 + a ) x > a , ?(1 ? a ) x < a

当 0<a<1 时,A={x|

a a <x< }. 1+ a 1? a

又 Q f ( x) = sin π x ? cos π x =

π 1 3? ? 2 sin(π x ? ) 的单调递增区间为 ? 2k ? , 2k + ? , k ∈ Z . 显然当 a≥1 4 4 4? ?

时,f(x)在 A 上不可能是单调增函数。 当 0<a<1 时,要使 f(x)在 (

a a , ) 上是增函数, 1+ a 1? a

又Q

a 1 1 a a ? 1 3? = 1? ∈ (0, ). 故只有 ( , ) ? ? ? , ? (当k=0时) 1+ a 1+ a 2 1+ a 1? a ? 4 4?

?0 < a < 1 3 ? ? 3? ∴? a 3 , 解得0 < a ≤ , 故 a 的取值范围是 ? 0, ? 。 7 ? 7? ?1 ? a ≤ 4 ?
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