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2017步步高高考数学(江苏,理)大一轮复习讲义课件2.6对数与对数函数_图文

第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.6 对数与对数函数

内容 索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.对数的概念

一般地,如果a (a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以
a为底N的对数,记作 logaN=b ,N叫做真数.

2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①log (MN)= logaM+logaN ;
a

M log M-log N a a ②loga = ; N
答案

③logaMn= nlogaM (n∈R); n log aM(m,n∈R,且 m≠0) n ④ logam M = m

.

(2)对数的性质 ①a
log a N

N ;②logaaN=___( =___ N a>0 且 a≠1).

(3)对数的重要公式 logaN logbN= log b a ①换底公式:____________ (a,b 均大于零且不等于 1); 1 logad ②logab=log a,推广 logab· logbc· logcd=_____. b
答案

3.对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1

图象

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域:___ R 性质 (3)过定点 (1,0) ,即 x= 1 时,y=0 (4)当 x>1 时, y>0 当 0<x<1 时, y<0
增函数 (6)在(0,+∞)上是_______ 4.反函数
y=logax 互为反函数,它们的图象关 指数函数y=ax与对数函数________

(5)当 x>1 时, y<0 当 0<x<1 时, y>0
减函数 (7)在(0,+∞)上是_______

y=x 对称. 于直线_____
答案

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN.( × ) (2)logax· logay=loga(x+y).( × ) (3)函数 y=log2x 及 y=log 1 3x 都是对数函数.( × )

思考辨析

(4)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) 1+x (5)函数 y=ln 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ ) 1-x (6)对数函数 y=logax(a>0 且
?1 ? ? ? ,- 1 a≠1)的图象过定点(1,0), 且过点(a,1), ? ?, a ? ?

3

函数图象只在第一、四象限.( √ )
答案

2

考点自测
1.(2015· 湖南改编)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则有关f(x)的性质判

断正确的是________.(填序号)
①奇函数,且在(0,1)上是增函数;

②奇函数,且在(0,1)上是减函数;
③偶函数,且在(0,1)上是增函数;

④偶函数,且在(0,1)上是减函数.

1

2

3

4

5

解析答案

解析

易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),

故函数f(x)为奇函数,
? 1+x 2 ? 又 f(x)=ln =ln?-1-x-1?, 1-x ? ?

由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数.
答案 ①

1

2

3

4

5

解析答案

1 1 a>b>c 2.已知 a=3 ,b=log 1 ,c=log2 , 则 a,b,c 的大小关系为______. 3 3 2
1 1 解析 a= 3 ? 1,0 ? b=log 1 =log3 2 ? 1,c=log 2 =-log 2 3 ? 0, 3 3 2

1 2

故a>b>c.

1

2

3

4

5

解析答案

② 填图象序号) 3.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是____.(

解析 由函数f(x)=lg(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为R.
又当x>1时,函数单调递增,

所以只有②正确.
1 2 3 4 5
解析答案

4 3 3 4.(2015· 浙江)若a=log43,则2a+2-a=_____.

解析 2a+2-a=2log4 3+2-log4 3=2log2 3 +2
3 4 3 = 3+ 3 = 3 .

log2

3 3

1

2

3

4

5

解析答案

3 5.(教材改编)若 loga <1(a>0, 且 a≠1), 则实数 a 的取值范围是________________. 4 3 解析 当 0<a<1 时,loga <logaa=1, 4 3 ∴0<a<4; 3 当 a>1 时,loga4<logaa=1,∴a>1. ? 3? ? ? ∴实数 a 的取值范围是?0,4?∪(1,+∞). ? ?

? 3? ? ? 0 , ? ?∪(1,+∞) 4 ? ?

1

2

3

4

5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

对数式的运算
1 1 10 (1)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=______. a b
a b

例1

解析 ∵2a=5b=m,

∴a=log2m,b=log5m,
1 1 1 1 ∴a+b=log m+log m=logm2+logm5=logm10=2. 2 5
∴m= 10.

1 (2)lg 5+lg 20的值是__.
解析 原式=lg 100=lg 10=1.
思维升华 解析答案

?1-log63?2+log62· log618 1 (1)计算: = ___. log 4
6

跟踪训练1

解析

原式
2

6 1-2log63+?log63? +log63· log6?6×3? = log64 1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63? = log64

1-2log63+?log63?2+1-?log63?2 = log 4
6

2?1-log63? log66-log63 log62 = 2log 2 = = = 1. log 2 log 2
6 6 6
解析答案

12 (2)已知loga2=m,loga3=n,则a2m+n=___.

解析 ∵loga2=m,loga3=n,
∴am=2,an=3,

∴a2m+n=(am)2· an=22×3=12.

解析答案

题型二

对数函数的图象及应用

③ 填序号) 例2 (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是___.(

解析 函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除①、②; 又函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除④. 故③正确.
解析答案

2 1 ( 2 ,1) x (2)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是________. 2

解析 构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,
当a>1时不满足条件,当0<a<1时, ? 1? ? ? 画出两个函数在?0,2?上的图象, ? ? ?1? ?1? ? ? ? ? 可知 f?2?<g?2?, ? ? ? ? 1 即 2<loga2,
? 2 ? 2 ? ? 则 a> ,所以 a 的取值范围为? ,1?. 2 ? 2 ?
思维升华 解析答案

(1)已知lg a+lg

b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-log

bx的

跟踪训练2

② 图象可能是___.

解析 ∵lg a+lg b=0,∴ab=1,
∵g(x)=-logbx的定义域是(0,+∞),故排除①. 若a>1,则0<b<1, 此时f(x)=ax是增函数,g(x)=-logbx是增函数,②符合,排除④. 若0<a<1,则b>1,g(x)=-logbx是减函数,排除③,故填②.
解析答案

(2)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则________.

①x1x2<0
③x1x2>1

②x1x2=1
④0<x1x2<1

解析答案

题型三

对数函数的性质及应用

命题点1 比较对数值的大小
a>b>c 例3 设a=log36,b=log510,c=log714,则a,b,c的大小关系为_______. 解析 由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,

由对数函数图象得log32>log52>log72,
所以a>b>c.

解析答案

命题点2 解对数不等式
解析 由题意得a>0,

1 (2,1) 例4 若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是_______.

故必有a2+1>2a,
又loga(a2+1)<loga2a<0,

所以0<a<1,
1 同时 2a>1,所以 a> . 2 1 综上,a∈(2,1).
解析答案

命题点3 和对数函数有关的复合函数
例5 已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;

解 ∵a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,

当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2 ? 3? ? ? 1 , 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪? 2?.
? ?
解析答案

(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且 最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由. 解 t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a), ? ?a<3, ? ? 2 ?3-2a>0, ∴? 即? 3 ? ? ?loga?3-a?=1, a= . ? ? 2 故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数, 并且最大值为1.
思维升华 解析答案

跟踪训练3
c>a>b (1)设a=log32,b=log52,c=log23,则a,b,c的大小关系为________.
解析 ∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2,
∴log3 3<log32<log33,
log51<log52<log5 5,log23>log22,

1 1 ∴2<a<1,0<b<2,c>1,

∴c>a>b.

解析答案

(2)若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围 [1,2) 为_____. 解析 令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a, 要使函数在(-∞,1]上递减,
? ? ?g?1?>0, ?2-a>0, 则有? 即? ? ? ?a≥1, ?a≥1,

解得1≤a<2,即a∈[1,2).

解析答案

?log2x, x>0, (3)设函数 f(x)=? 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 ? log 1 (-x),x ? 0,

(-1,0)∪(1,+∞) 是__________________.

2

解析

?a>0, ?a<0, 由题意可得? 或? ?log 2 a ? log 1 a ? log 1 (-a) ? log 2 (-a),
2 2

解得a>1或-1<a<0.

解析答案

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高频小考点

高频小考点

2.比较指数式、对数式的大小

典例

(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系

b<a<c 是________.

思维点拨 可根据幂函数 y=x0.5的单调性或比商法确定 a,b的大小关
系,然后利用中间值比较a,c大小.

解析 根据幂函数y=x0.5的单调性,
可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1;

根据对数函数y=log0.3x的单调性,
可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.

所以b<a<c.
思维点拨 解析答案

a>c>b b=log 1 π, (2)设a=log2π, c=π-2,则a,b,c的大小关系为_______.

思维点拨

a,b均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和c比较.

2

1 1 解析 ∵a=log2π>log22=1,b=log 1 π =log2π<log21=0,0<c=π2<1, 2 ∴b<c<a.

思维点拨

解析答案

(3)已知 a=5

log 2 3.4

,b=5

log 4 3.6

1 log3 0.3 ,c=( ) ,则a,b,c大小关系为________. 5

思维点拨 化为同底的指数式.

温馨提醒

思维点拨

解析答案

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温馨提醒

(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量; 有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较, 如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造 指数函数,若引入中间量,一般选0或1.

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.对数值取正、负值的规律

当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时,logab>0;
当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时,logab<0.

2.对数函数的定义域及单调性
在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logax的定义域应

为(0,+∞).对数函数的单调性和a的值有关,因而,在研究对数函数
的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分类讨论.

方法与技巧

3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函

数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y=1交

点的横坐标进行判定.

失误与防范

1.在运算性质logaMα=αlogaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应 为logaMα=αloga|M|(α∈N*,且α为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围.

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练出高分

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1.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,

则下列函数图象正确的是____(填序号).

解析答案

1

2
? 1 2

3

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y<z<x 2.已知x=ln π,y=log52, z=e ,则x,y,z的大小关系为_______. 解析 ∵x=ln π>ln e,

∴x>1.
∵y=log52<log5 5,

1 ∴0<y<2.
∵z=e 1 ∴2<z<1. 综上可得,y<z<x.
解析答案

?

1 2

1 1 1 = > = , e 4 2

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? ?? ?1?x ?? ? ?x≥4?, 3.若函数 f(x)=??2? ? ?f?x+1? ?x<4?,

1 24 则 f(log23)=____.

解析 ∵1<log23<log24=2,
∴3+log23∈(4,5),

∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=f(log224)

?1? =? ? ?2?

log2 24

=2

-log2 24

=2

log 2

1 24

1 = . 24

解析答案

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? 2 ? (-1,0) 4.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是_______. ? ?

解析 由f(x)是奇函数可得a=-1,
1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x 1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1, 1-x

∴-1<x<0.

解析答案

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5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x), f(x-2)=f(x+2), 且 x∈(-1,0) 1 时,f(x)=2 +5,则 f(log220)=______. -1
x

解析

由f(x-2)=f(x+2),

得f(x)=f(x+4), 因为4<log220<5,
4 log 4 1 5 所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log25)= -(2 + )=-1. 5
2

解析答案

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1 6.函数 f(x)=log2 x· ____. log 2 (2x) 的最小值为- 4

解析

1 显然 x>0,∴f(x)=log2 x·log 2 (2x) =2log2x· log2(4x2)=

? 1? 1 1 1 ? ?2 2 log (log 2x· 24+2log2x)=log2x+(log2x) =?log2x+ ? - ≥- . 2? 4 2 4 ?

2 1 当且仅当 x= 2 时,有 f(x)min=-4.

解析答案

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3 1 2 7.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f(2)log2x,则 f(2)=____. 1 1 解析 由已知得 f( )=1-f( )· log22, 2 2 1 1 1 则 f( )= ,则 f(x)=1+ · log2x, 2 2 2 1 3 故 f(2)=1+2· log22=2.

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? ?-x+6,x≤2, 8.(2015· 福建)若函数 f(x)=? (a>0, 且 a≠1)的值域是 ? ?3+logax,x>2

(1,2] [4,+∞),则实数 a 的取值范围是______. 解析 由题意f(x)的图象如右图,
? ?a>1, 则? ∴1<a≤2. ? ?3+loga2≥4,

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2 y = log ( x -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数, 9.已知函数 求 a 的取 1

值范围.

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10.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; 解 ∵f(1)=2, ∴loga4=2(a>0,a≠1), ∴a=2.
? ?1+x>0, 由? 得 x∈(-1,3), ? ?3-x>0,

∴函数f(x)的定义域为(-1,3).

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3 (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值. 2



f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)

=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],

∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3 故函数 f(x)在[0,2]上的最大值是 f(1)=log24=2.

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?a+b? 1 ?,r= 11.(2015· 陕西改编)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f? 2 ? 2 ?

(f(a)+f(b)),则 p、q、r 的大小关系是______.

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12.设函数 f(x)定义在实数集上, f(2-x)=f(x), 且当 x≥1 时, f(x)=ln x, 1 1 ?1? ?1? ? ? ? f( )<f( )<f(2) 则 f? , f , f (2) 的大小关系是 _____________. 2 3 ? ? ? ? 3 2
? ?

解析

又当x≥1时,f(x)=ln x,
1 1 ∵|2-1|>|3-1|>|2-1|, 1 1 ∴f(2)<f(3)<f(2).

2-x+x 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= 2 =1 对称,

? ?

所以离对称轴x=1距离大的x的函数值大,

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2 13.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为3

解析 由题意可知求b-a的最小值即求区间[a,b]的长度的最小值, ___. 1 当 f(x)=1 时 x=3 或3, 当f(x)=0时x=1,
1 2 所以区间[ a,b] 的最短长度为 1-3=3, 2 所以 b-a 的最小值为 . 3

解析答案

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x 14.已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范 1-x ? ?
1 ?0, ? 4? 围是________. ?

a b 解析 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b ? a b ? a b 即 ln?1-a×1-b?=0, 从而 × =1, 化简得 a+b=1, 1-a 1-b ? ? ? ? 1 1 ? ?2 2 故 ab=a(1-a)=-a +a=-?a-2? + , 4 ? ?

又0<a<b<1, ? 1? 1 1 1 ? ?2 ∴0<a<2,故 0<-?a-2? +4<4. ? ?
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1 15.设 x∈[2,8] 时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值 2 1 是 1,最小值是- ,求 a 的值. 8

解析答案

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本课结束
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