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2018-2019学年高中数学(人教A版)选修1-1课件第二章圆锥曲线与方程章末整合提升(二)_图文

章末整合提升(二) 知识网络 答案 x2 y 2 ① 2+ 2 = 1(a>b>0) a b y2 x2 ② 2 + 2= 1(a>b>0) a b ④2a ⑤2b ③(± a,0),(0,±b)或(0,±a),(± b,0) ⑥(-c,0),(c,0) b>0) b ⑩y = ± x a ⑦2c c ⑧a x2 y2 ⑨ 2- 2=1(a, a b ? x2 a ?y=± x b ? y2 = ± 2px(p>0) =±2py(p>0) ? p ? ,0 ? ??± ? 2 ? p ? y= ± 2 专题归纳 专题一 圆锥曲线的定义及应用 例1 x2 y2 设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 9 4 为椭圆上的一点,已知 P,F1,F2 是一个直角三角形的 |PF1| 三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 . |PF2| 【解析】 由题意知, a=3, b=2, 则 c2=a2-b2=5, 则 c= 5. 由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5. (1)若∠PF2F1 为直角, 则|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2, |PF1|2-|PF2|2=20, 10 ? ?|PF1|-|PF2|= 3, 即? ? ?|PF1|+|PF2|=6 14 4 |PF1| 7 解得|PF1|= ,|PF2|= ,所以 = . 3 3 |PF2| 2 (2)若∠F1PF2 为直角, 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2, 或|PF1|=2,|PF2|=4(舍去), |PF1| 所以 =2. |PF2| |PF1| 7 当∠PF2F1 为直角时, = ; |PF2| 2 |PF1| 当∠F1PF2 为直角时, =2. |PF2| ●规律总结 “回归定义”解题的三点应用 应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥 曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹 方程; 应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的 三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决; 应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义 把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形, 利用几何意义去解决. 专题二 圆锥曲线的方程与性质的应用 x2 y 2 (1)若双曲线 2- 2=1 的焦点到其渐近线的距 a b 例2 离等于实轴长,则该双曲线的离心率为 A. 5 B.5 C. 2 D.2 x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭 a b x2 y2 圆 + = 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 25 9 ________;渐近线方程为________. 【解析】 (1)渐近线方程为 ay± bx=0. |bc| ∵F(c,0),d= 2 2=2a, b +a ∴|b|=2a,∴c2-a2=4a2,c2=5a2,即 c= 5a, c ∴e=a= 5. (2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同, c ∴c=4.∵e=a=2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2 3. ∵焦点在 x 轴上,∴焦点坐标为(± 4,0), b 渐近线方程为 y=± x, a 即 y=± 3x,化为一般式为 3x±y=0. 【答案】 (1)A (2)(± 4,0) 3x±y=0 ●规律总结 1.圆锥曲线的主要性质 圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶 点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、 离心率和准线(抛物线). 2. “三法”应对离心率 (1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论 椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上都有关系式 c a -b =c (a +b =c )以及 e=a,已知其中的任意两个 2 2 2 2 2 2 参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法. (2)方程法:建立参数 a与 c之间的齐次关系式, 从而 求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方 法. (3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题, 根据平面几何性质以及椭圆 ( 双曲线 ) 的定义、几何性 质,建立参数之间的关系.通过画出图形,观察线段 之间的关系,使问题更形象、直观. 专题三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3 x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两 a b 2 焦点 F1,F2 的距离之和为 2 2,离心率为 . 2 (1)求椭圆的方程; (2)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若 y 轴上一点 的值. ? M?0, ? 3? ?满足|MA|=|MB|,求直线 l 的斜率 k 7? 【解析】 (1)|PF1|+|PF2|=2a=2 2,所以 a= 2, c 2 2 e= = ,所以 c= × 2=1,所以 b2=a2-c2=2-1 a 2 2 x2 2 =1,所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)已知 F2(1,0),直线斜率显然存在,设直线的方 程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). y=k(x-1), ? ? 2 联立直线与椭圆的方程?x +y2=1, ? ?2 化简得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以 x1 -2k 4k2 +x2= ,y +y =k(x1+x2)-2k= , 1+ 2k 2 1 2 1+2k2 所以 AB ? 2k2 -k ? ? ? 的中点坐标为? 2, 2?. 1+2k ? ?1+2k -k ①当 k≠0 时,AB 的中垂线方程为 y- 2= 1+2k 2 ? ? 2 k 1? -k?x-1+2k2? ?, ? ? 因为|MA|=|MB|,所以点 M 在 AB 的中垂线上, 将点 M 的坐标代入直线方程得: 3 k 2