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广东省揭阳一中2013-2014学年高二下学期第二次阶段考试数学(理)试题Word版含答案

广东省揭阳一中 2013-2014 学年高二下学期第二次阶段考试数学(理)试题一、选择题(本

大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)

1.复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数 b=( )

A.2

1 B.2

C.-12

D.-2

2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(-∞,0),当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)”的函数是( )

A.f(x)=-x+1

B.f(x)=x2-1

C.f(x)=2x

D.f(x)=ln(-x)

3.已知向量 m =(1,1), n =(1,2),则向量 m 与向量 n 夹角的余弦值为( )

5 A. 10

32 B. 10

35 C. 10

3 10 D. 10

4.等差数列{an}中,a6+a9=16,a4=1,则 a11=( )

A.64

B.30

C.31

D.15

5.若 k∈R,则“k>3”是“方程k-x23-k+y23=1 表示双曲线”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.若△ABC 的内角 A 、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( )

4 A.3

B.8-4 3

C.1

2 D.3

7.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( )

A.2

B.3

C.6

D.9

8.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内, 曲线 y=x2 和

曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部分), 向正方形 AOBC 内随机投

一点(设点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点

落在叶形图内部的概率是( )

1

1

1

1

A.2

B.3

C.4

D.6

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. 一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人.若用分层抽样

的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽

取男运动员的人数为



10.若双曲线1y62 -xm2=1 的离心率 e=2,则 m=________.

11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积 为____________m3.

12.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2),则过点 A 且与圆 O

相切的直线方程是__________________.

13. 加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为710、619、618,且各道工序

互不影响,则加工出来的零件的次品率为__________. 14.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lgxn,则
a1+a2+…+a99 的值为________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x? ? 2

3

sin

? ??

x 2

?

? 4

? ??

cos

? ??

x 2

?

? 4

? ??

?

sin(

x

?

?

)

.

(1)求 f (x) 的最小正周期;

(2)若将 f (x) 的图象向右平移 ? 个单位,得到函数 g(x) 的图象,求函数 g(x) 在区间?0,? ? 上的
6
最大值和最小值。

16. (本小题满分 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩(均
为整数)分成六段 ?40,50?, ?50,60? … ?90,100 ?后得到如下部分频率分布直方图.
观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在?70,80? 内的频率,并
补全这个频率分布直方图; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,
抽到的学生成绩在 ?40,60?记 0 分, 在 ?60,80?记 1 分,在 ?80,100 ? 记 2 分,
用 ? 表示抽取结束后的总记分,求? 的分布列。

17. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , 底 面 A B CD为 正 方 形 , EC ? 面ABCD, AB= 2, CE ? 1, G 为 AC 与 BD的交点, F 为 EG 的中点.
(1)求证: CF ? 面BDE; (2)求二面角 A ? BE ? D的平面角的大小.

18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an} 满 足

a1

?

1 2

, an?1

?1

?

2an (n

?

2, n

?

N ).

(1) 证明数列{an-1}是等比数列,并求 an ;

(2) 若数列{bn}满足: 2b1 ? 22 b2 ? ?2n bn ? n ? 2n ,求数列{bn}的通项公式;

(3) 令 cn ? ?2an ? bn ? (n ? 1) (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

19.(本小题满分

14

分)如图,已知椭圆 C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

3 ,以椭圆 C 的左顶 2

点T 为圆心作圆T : (x ? 2)2 ? y2 ? r2 (r ? 0) ,设圆T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S , O 为

坐标原点,求证: OR ? OS 为定值.

y

P M

R

T

SO

x

N

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? bx2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处 3
的切线为 y ? 4x ?12 , f ?(x) 为 f (x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?(x) . (1)求 f (x) ;
(2)设 g(x) ? x f ?(x) , m ? 0 ,求函数 g(x) 在[0, m] 上的最大值;
(3)设 h(x) ? ln f ?(x) ,若对一切 x ?[0, 1],不等式 h(x ?1? t) ? h(2x ? 2) 恒成立,求实数 t 的
取值范围.

高二级第二学期阶段考试(二)数学科试卷(理科)答案

ACDDA ADB 9.12 10.48 11.π+6 15. 解:(1) f (x) ? 3 sin(x ? ? ) ? sin x ?
2

12. x+2y-5=0 3 cos x ? sin x

13.

3 70

14. -2

…………………2 分

? 2(1 sin x ? 3 cos x)

2

2

? 2sin(x ? ? ) . ………………………………………4 分 3

所以 f (x) 的最小正周期为 2? . …………………………6 分

(2)?将 f (x) 的图象向右平移 ? 个单位,得到函数 g(x) 的图象, 6

?

g (x)

?

f

(x ?

?) 6

?

2sin???(x ?

?)? 6

?? 3 ??

? 2sin(x ? ? ) . …………………………………………………8 分 6

x ?[0,? ] 时, x ? ? ?[? , 7? ] ,…………………………………………………9 分 6 66

?当 x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, sin(x ? ? ) ? 1, g(x) 取得最大值 2. …………10 分

62

3

6

当 x ? ? ? 7? ,即 x ? ? 时, sin(x ? ? ) ? ? 1 , g(x) 取得最小值 ?1.………12 分

66

62

16. (1)设分数在?70,80? 内的频率为 x ,
根据频率分布直方图,则有 (0.01? 0.015? 2 ? 0.025 ? 0.005)?10 ? x ?1,
可得 x ? 0.3, 所以频率分布直方图如右图所示. (求解频率 3 分,画图 2 分)
…………………5 分

(2)学生成绩在 ?40,60?的有 0.25?60 ?15人,在 ?60,80?的有 0.45?60 ? 27 人, 在 ?80,100 ?的有 0.3?60 ?18 人.并且? 的可能取值是 0,1, 2,3, 4 . ………7 分

则 P(? ? 0) ? C125 ? 7 ; P(? ? 1) ? C115C217 ? 27 ; P(? ? 2) ? C115C118 ? C227 ? 207 ;

C620 118

C620 118

C620

590

P(? ? 3) ? C217C118 ? 81 ; P(? ? 4) ? C128 ? 51 .

C620

295

C620 590

…………………10 分

所以? 的分布列为

?

0

1

2

3

4

7

P

118

27

207

118

590

81

51

295

590

…………………12 分

17.(1) 证明: EC ? 面ABCD

?E C ? C D, E C? C B 又四边形 ABCD为正方形, ?CD ? CB 所以以 C 为坐标原点,分别以 CD,CB,CE 所在的直线

为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 C ? xyz ……2 分

? ? ? ? ? ? 则 C ?0,0,0?, D 2,0,0 , B 0, 2,0 , E ?0,0,1?, A 2, 2,0 ………3 分

又 G 为 AC 与 BD的交点

? ?G ???

2, 2

2 2

,

0

? ???

F 为 EG 的中点

? ? F ???

2, 4

2, 4

1? 2 ???

………4 分

? ? ? ? ?
?CF ? ???

2, 4

2 4

,

1 2

? ???

,

EB

?

0,

2, ?1 , ED ?

2, 0, ?1

CF ? EB ? 1 ? 1 ? 0,CF ? ED ? 1 ? 1 ? 0 ………5 分

22

22

?CF ? EB,CF ? ED 即 CF ? EB,CF ? ED且EB ED ? E ………6 分

? CF ? 面BDE ………7 分

(2)设面 AEB 的法向量为 n ? ? x, y, z?

? ? 又 BA ?

2, 0, 0

?

??n ?

?

B

A?

0

?

?? ?

2x ? 0

??n ? E A? 0 ?? 2x ? 2 y ? z ? 0

? ? ? x ? 0, z ? 2 y 取 y ? 2, z ? 2 ?n ? 0 , 2 , 2………10 分

设二面角 A ? BE ? D的平面角?

CF ? n

? cos? ?

?

CF ? n

2 ?0? 2 ? 2 ? 1?2

4

4

2

2? 6

?

3 2 ………13 分

2

经观察可知二面角 A ? BE ? D的平面角为锐角 ?? ? ? 6
?二面角 A ? BE ? D的平面角为 ? ………14 分 6

18. 解: (1) ∵ an?1 ? 1 ? 2an , (n ? 2, n ? N*)

? 2?an ?1? ? an?1 ?1, ?n ? 2?

? an ?1 ? 1 , ?n ? 2?
an?1 ? 1 2

??an

? 1? 是等比数列,公比是

1 2

.-------------------------------------------

3



又?

a1

?

1

?

?

1 2

? an

?1

?

?

1 2

? ?? ?

1 2

? n?1 ? ?

? an

? 1 ? ?? 1 ??n -----?2?

4



(2)∵ 2b1 ? 22 b2 ? ?2n bn ? n ? 2n ①

? 2b1 ? 22 b2 ? ?2n?1bn?1 ? (n ?1) ? 2n?1 (n≥2) ②--------------------- 5 分

①-②得

2n bn ? ?n ? 1?? 2n?1, ?n ? 2?

? bn

?

n ?1,?n
2

?

2?

------------7 分

又当 n ? 1时, 2b1 ? 2 ?b1 ? 1 也满足上式

? bn

?

n ?1 ---------8 2



(3)由(1),(2)可得 an

?

1

?

?? ?

1 2

?? ?

n



bn

?

n ?1 2

? cn

?

?2an

? bn

? (n ?1)

?

?n

?

1?

?

???? ???

1 2

n
? ? ?

? ? 1? ? (n ? 1)
??

? ?n ? 1?? ?? 1 ??n ---------9 分
?2?

Tn

?

2

?

??

1

1
? ?

?2?

? 3 ? ?? 1 ??2 ?2?

?

4 ? ?? 1 ??3 ?2?

???

(n

? 1) ? ?? 1 ??n ?2?



1 2

Tn

?

2

?

? ?

?

1

2
?

?

2?

?

3

?

? ?

?

1

3
?

?

2?

???

n

?

? ?

1

? ?

n

?2?

?

(n

?

1)

?

? ?

1

n?1
? ?

?2?



③-④可得:

1 2

Tn

?

1 2

?

??

1

2
? ?

?2?

?

??

1

3
? ?

?2?

???

?

1

n
?

??

?2?

? (n

? 1) ? ?? 1 ??n?1 --------------12 ?2?



1 2

Tn

?

1 2

?

? ?1 ??

?

?? ?

1 2

?? ?

n

? ? ??

1? 1

? (n

? 1) ? ?? 1 ??n?1-----------------------?2?

13



2



1 2 Tn

?1?

? 1 ?n ?? ?2?

?

(n

? 1) ? ?? ?

1

n?1
?

?

2?

?Tn

?

2

?

?n

? 3?? ?? 1 ??n -------
?2?

14



19. 解:(1)依题意,得 a ? 2 , e ? c ? 3 , a2
?c ? 3, b ? a2 ? c2 ? 1; 故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .…………6 分 4

(2) 方法一:设 P(x0 , y0 ) ,设 M(x1,y1),N(x1,-y1)

则直线 MP 的方程为: y ?

y0

?

y0 x0

? y1 ? x1

(x ? x0 ) ,

令 y ? 0,得 xR

?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1



同理: xS

?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1

,……………………9 分

故 xR

? xS

?

x12 y0 2 y02

? x0 2 y12 ? y12

(**) ……………………10 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x02 ? 4(1? y02 ) , x12 ? 4(1 ? y12 ) ,……………………11 分

代入(**)式,得:

xR ? xS

?

4(1 ? y12 ) y02 ? 4(1 ? y02 ) y12 y0 2 ? y12

?

4( y02 ? y12 ) y0 2 ? y12

? 4.

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值. ……………………14 分

方法二:设 M (2cos?,sin? ), N(2cos?, ?sin? ) ,不妨设 sin? ? 0 , P(2cos?, sin?) ,

其中 sin? ? ?sin? .

则直线 MP 的方程为: y ? sin? ? sin? ? sin? (x ? 2cos?) , 2cos? ? 2cos?



y

? 0,得 xR

?

2(sin? cos? ? cos? sin? ) sin? ? sin?



同理: xS

?

2(sin? cos? ? cos? sin? ) sin? ? sin?



…………………………10 分

故 xR

? xS

?

4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? sin 2 ?

?

4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? sin 2 ?

? 4.

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值. ……………………14 分 20. 解:(1) f ?(x) ? x2 ? 2bx ? c , ………………………1 分
f ?(2 ? x) ? f ?(x) ,

?函数 y ? f ?(x) 的图像关于直线 x ?1对称,则 b ? ?1.……2 分

直线 y ? 4x ?12 与 x 轴的交点为 (3,0) ,

? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4,即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,
解得 c ?1, d ? ?3. ………………………………4 分 则 f (x) ? 1 x3 ? x2 ? x ? 3 . ………………………………5 分
3 (2) f ?(x) ? x2 ? 2x ?1 ? (x ?1)2 ,

g(x) ? x

(x ?1)2

?

x

x ?1

?

??x2 ? x, x

? ??

x

?

x

2

,

x

? 1, ? 1.

………7 分

y

其图像如图所示.

2

当 x2 ? x ? 1 时, x ? 1? 2 ,根据图像得:

4

2

(ⅰ)当 0 ? m ? 1 时, g(x) 最大值为 m ? m2 ; 2

(ⅱ)当 1 ? m ? 1? 2 时, g(x) 最大值为 1 ;

2

2

4

1

?1 O

1 2 x 1? 2 2

(ⅲ)当 m ? 1? 2 时, g(x) 最大值为 m2 ? m . 2
(3)方法一: h(x) ? ln(x ?1)2 ? 2ln x ?1 ,

…………………………………10 分

h(x ?1?t) ? 2ln x ?t , h(2x ? 2) ? 2ln 2x ?1 ,

当 x ?[0, 1]时, 2x ?1 ? 2x ?1,

?不等式 2ln x ?t ? 2ln 2x ?1 恒成立等价于 x ? t ? 2x ?1且 x ? t 恒成立,

由 x ? t ? 2x ?1恒成立,得 ?x ?1? t ? 3x ?1恒成立,

当 x ?[0, 1]时, 3x ?1?[1, 4], ?x ?1?[?2, ?1] ,

? ?1? t ?1,

……………………………………………12 分

又 当 x ?[0, 1]时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,

因此,实数 t 的取值范围是 ?1? t ? 0 . ……………………………14 分

方法二:(数形结合法)作出函数 y ? 2x ?1, x ?[0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图),

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1或 t ? 1,
?要使不等式 x ? t ? 2x ?1对 x ?[0, 1]恒成立, 必须 ?1? t ?1,……………12 分
又 当函数 h(x ?1? t) 有意义时, x ? t ,

y
4B 3 2 A1
? 2?1O 1 2 3 4 x

?当 x ?[0, 1]时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,

因此,实数 t 的取值范围是 ?1? t ? 0 .

…………………………14 分

方法三: h(x) ? ln(x ?1)2 , h(x) 的定义域是{x x ? 1},

?要使 h(x ?1? t) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立,

x ?[0, 1],?t ?[0,1] ,即 t ? 0 或 t ?1. ………………① …………12 分

由 h(x ?1? t) ? h(2x ? 2) 得 (x ? t)2 ? (2x ?1)2 ,

即 3x2 ? (4 ? 2t)x ?1? t2 ? 0 对 x ?[0, 1]恒成立,

令?(x) ? 3x2 ? (4 ? 2t)x ?1? t2 ,?(x) 的对称轴为 x ? ? 2 ? t , 3

则有

??? ?

2? 3

t

?

0,



??0 ?

?

?

2? 3

t

?

1,



??? ?

2? 3

t

? 1,

???(0) ? 0

??? ? (4 ? 2t)2 ? 4?3? (1? t2) ? 0 ???(1) ? 0

解得 ?1? t ?1. ………………② 综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1? t ? 0 .……………………14 分