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2015年中考数学分类汇编---相似


相似
一.选择题 1. (2015?淄博第 8 题,4 分)如图,在四边形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=

AB,点 E、F 分别为 AB、AD 的中点,则△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为(



A.

B.

C.

D.

考点: 相似三角形的判定与性质;三角形的面积;三角形中位线定理.. 专题: 压轴题. EF∥BD, 分析: 根据三角形的中位线求出 EF= BD, 推出△AEF∽△ABD, 得出 = ,

求出

=

= ,即可求出△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比.

解答: 解:连接 BD,

∵F、E 分别为 AD、AB 中点, ∴EF= BD,EF∥BD,

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∴△AEF∽△ABD, ∴ = = ,

∴△AEF 的面积:四边形 EFDB 的面积=1:3, ∵CD= AB,CB⊥DC,AB∥CD,



=

= ,

∴△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 1: (3+2)=1:5, 故选 C. 点评: 本题考查了三角形的面积, 三角形的中位线等知识点的应用, 主要考查学生运用性 质进行推理和计算的能力,题目比较典型,难度适中. 2. (2015· 湖北省武汉市,第 6 题 3 分)如图,在直角坐标系中,有两点 A(6,3)、B(6,0).以 原点 O 为位似中心,相似比为 ,在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD,则点 C 的 坐标为( )
1 3

A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)

1.A 【解析】∵线段 CD 和线段 AB 关于原点位似,∴△ODC∽△OBA,∴

OD CD 1 ? ? ,即 OB AB 3

OD CD 1 ? ? ,∴CD=1,OD=2,∴C(2,1). 6 3 3 x y 1 ? ? ,∴x=2, 6 3 3

一题多解—最优解:设 C(x,y),∵线段 CD 和线段 AB 关于原点位似,∴ y=1,∴C(2,1).

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备考指导: 每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形. 位似图形 对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比) ;在平面直角坐标系中,如果位似图形是 以原点为位似中心,那么位似图形对应点的坐标比等于相似比.

3.(2015?湖南株洲,第 7 题 3 分)如图,已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B、D、 F,且 AB=1,CD=3,那么 EF 的长是 ( )

A.

1 2 3 4 B. C. D . 3 3 4 5
C

A B

E F
第7题图

D

【试题分析】 本题考点为:相似的三角形性质的运用:利用 AB∥EF∥CD 得到△ ABE∽△DCE,得到

EC DC 1 EF BE BE 1 ? ? ,△ BEF∽△BCD 得到 ? ? ? ,故可知答案 BE AB 3 CD BC BE ? EC 4

答案为:C 4.(2015?江苏南京,第 3 题 3 分)如图所示,△ ABC 中,DE∥BC,若 中正确的是( ) ,则下列结论

A.

B.

C.

D.

【答案】C. 【解析】
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试题分析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵AD:DB=1:2,∴AD:AB=1:3,∴两相似 3, ∵周长的比等于相似比, ∴C 正确. 三角形的相似比为 1: 面积的比等于相似比的平方, 故 选 C. 考点:相似三角形的判定与性质. 5. (2015?甘肃武威,第 9 题 3 分)如图,D、E 分别是△ ABC 的边 AB、 BC 上的点,DE∥AC,若 S△ BDE:S△ CDE=1:3,则 S△ DOE:S△ AOC 的值 为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 分析: 到

相似三角形的判定与性质. 证明 BE:EC=1:3,进而证明 BE:BC=1:4;证明△ DOE∽△AOC,得 = ,借助相似三角形的性质即可解决问题.

解答: 解:∵S△ BDE:S△ CDE=1:3, ∴BE:EC=1:3; ∴BE:BC=1:4; ∵DE∥AC, ∴△DOE∽△AOC, ∴ = , = ,

∴S△ DOE:S△ AOC= 故选 D. 点评:

本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题; 解题的关键是灵

活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答.

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6.(2015 湖南岳阳第 8 题 3 分)如图,在△ ABC 中,AB=CB,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 ①AD=DC; 点 D. 过点 C 作 CF∥AB, 在 CF 上取一点 E, 使 DE=CD, 连接 AE. 对于下列结论: ②△CBA∽△CDE;③ 是( ) = ;④AE 为⊙O 的切线,一定正确的结论全部包含其中的选项

A.

①②

B. ①②③ C. ①④

D. ①②④

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.. 分析: 根据圆周角定理得∠ADB=90° ,则 BD⊥AC,于是根据等腰三角形的性质可判断 AD=DC,则可对①进行判断;利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明 ∠1=∠2=∠3=∠4,则根据相似三角形的判定方法得到△ CBA∽△CDE,于是可对②进行判 断;由于不能确定∠1 等于 45° ,则不能确定 与 相等,则可对③进行判断;利用

DA=DC=DE 可判断∠AEC=90° ,即 CE⊥AE,根据平行线的性质得到 AB⊥AE,然后根据切 线的判定定理得 AE 为⊙O 的切线,于是可对④进行判断. 解答: 解:∵AB 为直径, ∴∠ADB=90° , ∴BD⊥AC, 而 AB=CB, ∴AD=DC,所以①正确; ∵AB=CB, ∴∠1=∠2, 而 CD=ED, ∴∠3=∠4, ∵CF∥AB,
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∴∠1=∠3, ∴∠1=∠2=∠3=∠4, ∴△CBA∽△CDE,所以②正确; ∵△ABC 不能确定为直角三角形, ∴∠1 不能确定等于 45° , ∴ 与 不能确定相等,所以③错误;

∵DA=DC=DE, ∴点 E 在以 AC 为直径的圆上, ∴∠AEC=90° , ∴CE⊥AE, 而 CF∥AB, ∴AB⊥AE, ∴AE 为⊙O 的切线,所以④正确. 故选 D.

点评: 本题考查了切线的判定: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 也 考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定. 图形的相似与位似

7.(2015 湖北荆州第 6 题 3 分)如图,点 P 在△ ABC 的边 AC 上,要判断△ ABP∽△ACB, 添加一个条件,不正确的是( )

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A.

∠ABP=∠C

B.

∠APB=∠ABC

C.

=

D.

=

考点: 相似三角形的判定.

分析: 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.

解答: 解:A、当∠ABP=∠C 时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;

B、当∠APB=∠ABC 时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;

C、当

=

时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;

D、无法得到△ ABP∽△ACB,故此选项正确.

故选:D. 点评: 此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.

8. ∠ACB=90? AC=BC=1, (2015?四川资阳,第 10 题 3 分) 如图 6, 在△ ABC 中, , E、F 为线段 AB 上两动点,且∠ECF=45° ,过点 E、F 分别作 BC、AC 的垂线 相交于点 M,垂足分别为 H、G.现有以下结论:①AB= 2 ;②当点 E 与点 B
1 1 重合时,MH= ;③AF+BE=EF;④MG?MH= ,其中正确结论为 2 2

A.①②③ C.①②④

B.①③④ D.①②③④

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考点:相似形综合题..

分析:①由题意知,△ ABC 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形即可作出判断;

②如图 1,当点 E 与点 B 重合时,点 H 与点 B 重合,可得 MG∥BC,四边形 MGCB 是矩形, 进一步得到 FG 是△ ACB 的中位线,从而作出判断;

③如图 2 所示, SAS 可证△ ECF≌△ECD, 根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断;

④根据 AA 可证△ ACE∽△BFC,根据相似三角形的性质可得 AF?BF=AC?BC=1,由题意知 四边形 CHMG 是矩形,再根据平行线的性质和等量代换得到 MG?MH= AE× BF= AE?BF= AC?BC= ,依此即可作出判断.

解答:解:①由题意知,△ ABC 是等腰直角三角形,

∴AB=

=

,故①正确;

②如图 1,当点 E 与点 B 重合时,点 H 与点 B 重合,

∴MB⊥BC,∠MBC=90° ,

∵MG⊥AC,
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∴∠MGC=90° =∠C=∠MBC,

∴MG∥BC,四边形 MGCB 是矩形,

∴MH=MB=CG,

∵∠FCE=45° =∠ABC,∠A=∠ACF=45° ,

∴CE=AF=BF,

∴FG 是△ ACB 的中位线,

∴GC= AC=MH,故②正确;

③如图 2 所示,

∵AC=BC,∠ACB=90° ,

∴∠A=∠5=45° .

将△ ACF 顺时针旋转 90° 至△ BCD,

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则 CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45° ;BD=AF;

∵∠2=45° , ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45° ,

∴∠DCE=∠2.

在△ ECF 和△ ECD 中,



∴△ECF≌△ECD(SAS) ,

∴EF=DE. ∵∠5=45° , ∴∠BDE=90° ,

∴DE2=BD2+BE2,即 E2=AF2+BE2,故③错误;

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45° =∠1+∠2=∠ACE,

∵∠A=∠5=45° ,

∴△ACE∽△BFC,



=



∴AF?BF=AC?BC=1,

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由题意知四边形 CHMG 是矩形,

∴MG∥BC,MH=CG,

MG∥BC,MH∥AC,



=



=





=



=



∴MG=

AE;MH=

BF,

∴MG?MH=

AE×

BF= AE?BF= AC?BC= ,

故④正确. 故选:C. 点评:考查了相似形综合题,涉及的知识点有:等腰直角三角形的判定和性质,平行线的判 定和性质, 矩形的判定和性质, 三角形中位线的性质, 全等三角形的判定和性质, 勾股定理, 相似三角形的判定和性质,综合性较强,有一定的难度.

9. (2015?浙江嘉兴,第 5 题 4 分)如图,直线 l1// l2// l3,直线 AC 分别交 l1, l2, l3 于点 A, B, C; E, F .AC 与 DF 相较于点 H, HB=1, 直线 DF 分别交 l1, l2, l3 于点 D, 且 AH=2, BC=5,则 的值为(▲)

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(A) (D)

(B)2

(C)

考点:平行线分线段成比例..

分析:根据 AH=2,HB=1 求出 AB 的长,

根据平行线分线段成比例定理得到

=

,计算得到答案.

解答:解:∵AH=2,HB=1,

∴AB=3, ∵l1∥l2∥l3, ∴ = = ,

故选:D. 点评:本题考查平行线分线段成比例定理,掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解 题的关键.

10. (2015?四川省宜宾市,第 6 题,3 分)6. 如图,△ OAB 与△ OCD 是以点 O 为位似中心 2, ∠OCD=90° CO=CD.若 B(1, 0), 的位似图形, 相似比为 l: , 则点 C[中国^的坐标为( B )

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y C A x

O

B

D

A.(1,2)

B.(1,1)

C.( 2,

2)

D.(2,1)

11. (2015?四川成都,第 5 题 3 分)如图,在 ?ABC 中, DE // BC , AD ? 6 , DB ? 3 ,

AE ? 4 ,
则 EC 的长为

(A) 1 (C) 3

(B) 2 (D) 4

【答案】 :B

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【解析】 : 根据平行线段的比例关系,

AD AE ? , DB EC



6 4 ? , EC ? 2 ,选 B。 3 EC

12. (2015?四川乐山,第 5 题 3 分)如图, ∥ ∥ ,两条直线与这三条平行线分别交于 点 A、B、C 和 D、E、F.已知 ,则 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D. 【解析】 试题分析:∵ ∥ ∥ , ,∴ = = = ,故选 D.

考点:平行线分线段成比例.

13. (2015?四川眉山,第 6 题 3 分)如图,AD∥BE∥CF,直线 l1、l2 这与三条平行线分别 交于点 A、B、C 和点 D、E、F.已知 AB=1,BC=3,DE=2,则 EF 的长为( )

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A.

4

B. 5

C. 6

D. 8

考点: 平行线分线段成比例.. 分析: 由 AD∥BE∥CF 可得 解答: 解:∵AD∥BE∥CF, ∴ = , = ,代入可求得 EF.

∵AB=1,BC=3,DE=2, ∴ = ,

解得 EF=6, 故选:C. 点评: 本题主要考查平行线分线段成比例的性质, 掌握平行线分线段可得对应线段成比例 是解题的关键. 14.(2015· 黑龙江绥化,第 9 题 分)如图 ,在矩形 ABCD 中 ,AB=10 , BC=5 . 若点 M、 N 分别是线段 ACAB 上的两个动点 , 则 BM+MN 的最小值为( )

A. 10

B. 8

C. 5 3

D. 6

考点:轴对称-最短路线问题. .
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分析:根据轴对称求最短路线的方法得出 M 点位置,进而利用勾股定理及面积法求出 CC′ 的值,然后再证明△ BCD∽△C′NC 进而求出 C′N 的值,从而求出 MC+NM 的值.

解答:解:如图所示:由题意可得出:作 C 点关于 BD 对称点 C′,交 BD 于点 E,连接 BC′,

过点 C′作 C′N⊥BC 于点 N,交 BD 于点 M,连接 MC,此时 CM+NM=C′N 最小,

∵AB=10,BC=5,

在 Rt△ BCD 中,由勾股定理得:BD=

=5



∵S△ BCD= ?BC?CD=

BD?CE,

∴CE=

=

=2



∵CC′=2CE, ∴CC′=4 ,

∵NC′⊥BC,DC⊥BC,CE⊥BD,

∴∠BNC′=∠BCD=∠BEC=∠BEC′=90°,
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∴∠CC′N+∠NCC′=∠CBD+∠NCC′=90°,

∴∠CC′N=∠CBD,

∴△BCD∽△C′NC,









∴NC′=8, 即 BM+MN 的最小值为 8.

故选 B. 点评: 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用, 利 用轴对称得出 M 点与 N 点的位置是解题的关键.

15.(2015?山东东营,第 6 题 3 分)若

,则

的值为(



A.1

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 试题分析:∵ ,∴设 y=3k,x=4k,∴ ;

故选 D.

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考点:比例的应用.

16.(2015?山东东营,第 10 题 3 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90° ,AB=BC.点 D 是线 段 AB 上的一点,连结 CD,过点 B 作 BG⊥CD,分别交 CD、CA 于点 E、F,与过点 A 且 垂直于 AB 的直线相交于点 G,连结 DF.给出以下四个结论:① 的中点,则 AF= 则 ;②若点 D 是 AB ,

AB;③当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时,DF=DB;④若 .其中正确的结论序号是( )

A.①②

B.③④

C.①②③

D.①②③④

【答案】C

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考点:1.相似三角形的判定和性质;2.圆周角定理;3.三角形全等的判定与性质.

17. (2015· 山东潍坊第 9 题 3 分)如图,在△ ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:

第一步,分别以点 A、D 为圆心,以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧,交于两点 M、N;

第二步,连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F;

第三步,连接 DE、DF.

若 BD=6,AF=4,CD=3,则 BE 的长是(



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A.

2

B. 4

C. 6

D. 8

考点: 平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图.. AF=DF, 分析: 根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线, 推出 AE=DE, 求出 DE∥AC, DF∥AE,得出四边形 AEDF 是菱形,根据菱形的性质得出 AE=DE=DF=AF,根据平行线分 线段成比例定理得出 = ,代入求出即可.

解答: 解:∵根据作法可知:MN 是线段 AD 的垂直平分线, ∴AE=DE,AF=DF, ∴∠EAD=∠EDA, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EDA=∠CAD, ∴DE∥AC, 同理 DF∥AE, ∴四边形 AEDF 是菱形, ∴AE=DE=DF=AF, ∵AF=4, ∴AE=DE=DF=AF=4, ∵DE∥AC, ∴ = ,

∵BD=6,AE=4,CD=3, ∴ = ,

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∴BE=8, 故选 D. 点评: 本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质, 等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键,注意:一组 平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

……依次顺延 18. (2015?甘肃兰州,第 5 题,4 分)如图,线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1,2) ,D(2, 0) ,以原点为位似中心,将线段 CD 放大得到线段 AB,若点 B 的坐标为(5,0) ,则点 A 的坐标为 A.(2,5) B.(2.5,5) C. (3,5) D.(3,6)

【 答 案 】B

【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识

【思路点拔】根据题意:AO:CO=BO:DO=5:2,而位似中心恰好是坐标原点 O,所以点 A 的 横、纵坐标都是点 C 横、纵坐标的 2.5 倍,因此选 B。

【题目星级】★★★

19. (2015?安徽省,第 9 题,4 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=4.点 E 在边 AB 上, H 在对角线 AC 上. [ 点 F 在边 CD 上, 点 G、 若四边形 EGFH 是菱形, 则 AE 的长是( ] )

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A.2 5

B.3 5

C.5

D.6

考点:菱形的性质;矩形的性质..

分析:连接 EF 交 AC 于 O,由四边形 EGFH 是菱形,得到 EF⊥AC,OE=OF,由于四边形 ABCD 是矩形,得到∠B=∠D=90° ,AB∥CD,通过△ CFO≌△AOE,得到 AO=CO,求出 AO= AC=2 ,根据△ AOE∽△ABC,即可得到结果.

解答:解;连接 EF 交 AC 于 O,

∵四边形 EGFH 是菱形,

∴EF⊥AC,OE=OF,

∵四边形 ABCD 是矩形,

∴∠B=∠D=90° ,AB∥CD,

∴∠ACD=∠CAB,

在△ CFO 与△ AOE 中,



∴△CFO≌△AOE,

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∴AO=CO, ∵AC= =4 ,

∴AO= AC=2



∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90° ,

∴△AOE∽△ABC,

∴ ∴

, ,

∴AE=5. 故选 C.

点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练 运用定理是解题的关键.

20. (2015 山东济宁,10,3 分)将一副三角尺(在 在 中,∠EDF= ,∠E=

中,∠ACB=

,∠B=



)如图摆放,点 D 为 AB 的中点,DE 交 AC 于点 P, , 交 AC 于点 M,

DF 经过点 C.将 交 BC 于点 N,则

绕点 D 顺时针方向旋转角 的值为( )

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A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 试题分析:由题意知 D 为 Rt△ ABC 的斜边上的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半,可得 CD=AD=BD= AB,再由∠B=60° 可知△ BCD 是等边三角形,因此可得

∠DCP=30° = ,且可求∠DPC=60° ,因此 tan30°

.根据旋转变换的性质,可知

∠PDM=∠CDN,因此可知△ PDM∽△CDN,再由相似三角形的性质可得

,因



是一个定值

.

故选 C 考点:直角三角形斜边上的中线,相似三角形,旋转变换

二.填空题 1.(2015· 贵州六盘水,第 14 题 4 分)已知

b?c c b a ? ? ? 0 ,则 的值为 a 4 5 6



考点:比例的性质..

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分析:根据比例的性质,可用 a 表示 b、c,根据分式的性质,可得答案.

解答:解:由比例的性质,得

c= a,b= A.

=

= = .

故答案为: .

点评:本题考查了比例的性质,利用比例的性质得出 a 表示 b、c 是解题关键,又利用了分 式的性质.

2. (2015· 河南,第 10 题 3 分)如图,△ ABC 中,点 D、E 分别在边 AB,BC 上,DE//AC,

A D

B

E 第 10 题

C

若 DB=4,DA=2,BE=3,则 EC=

.

BD BE 3 ? 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC,∴ , DA EC 2 DA ? BE 2 ? 3 3 ? ? . BD 4 2

∴EC=

3. (2015?广东梅州,第 14 题 5 分)已知:△ ABC 中,点 E 是 AB 边的中点,点 F 在 AC 边上,
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若以 A,E,F 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则需要增加的一个条件是 AF= AC 或 ∠AFE=∠ABC . (写出一个即可)

考点: 专题: 分析:

相似三角形的判定. 开放型. 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答; 由于

没有确定三角形相似的对应角,故应分类讨论. 解答: 解:分两种情况: ①∵△AEF∽△ABC, ∴AE:AB=AF:AC, 即 1:2=AF:AC, ∴AF= AC; ②∵△AFE∽△ACB, ∴∠AFE=∠ABC. ∴要使以 A、E、F 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则 AF= AC 或∠AFE=∠ABC. 故答案为:AF= AC 或∠AFE=∠ABC.

点评: 角和边.

本题很简单,考查了相似三角形的性质,在解答此类题目时要找出对应的

4. (2015?广东佛山,第 13 题 3 分)如图,在 Rt△ ABC 中,AB=BC,∠B=90° ,AC=10

.四

E、 F 在三角形的边上) 边形 BDEF 是△ ABC 的内接正方形 (点 D、 . 则此正方形的面积是 25 .

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考点: 分析:

相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 由已知可得到△ AFE∽△ABC,根据相似三角形的边对应成比例即可求得

EF 的长,进而根据正方形的面积公式即可求得.
2 2 2 解答: 解:∵在 Rt△ ABC 中,AB +BC =AC ,

∵AB=BC,AC=10 ∴2AB2=200, ∴AB=BC=10,



设 EF=x,则 AF=10﹣x ∵EF∥BC, ∴△AFE∽△ABC ∴ = ,即 = ,

∴x=5, ∴EF=5, ∴此正方形的面积为 5× 5=25. 故答案为 25. 点评: 主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用. 解题的关键是准确的找到

相似三角形并根据其相似比列方程求解.

5. (2015· 河南,第 22 题 10 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠B=90° ,BC=2AB=8,点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点,连接 DE. 将△ EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为 α.

(1)问题发现

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① 当 ? ? 0? 时,

AE ? __________ ___ ; BD

② 当 ? ? 180 ? 时,

AE ? __________ . BD

(2)拓展探究

试判断:当 0°≤α<360° 时,

AE 的大小有无变化?请仅就图 2 的情况给出证明. DB

(3)问题解决

当△ EDC 旋转至 A、D、E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.

A E B

A D

E

A

D (图 1)

C

B (图 2)

C

B (备用图)

C

(1) 【分析】①根据题意可得 DE 是三角形 ABC 的中位线和 BD 的长,根据中位线的性质 和勾股定理求得 AE 的长即可求解;②根据旋转 180° 的特性,结合①,分别得到 AC、CE、 BC 和 CD 的长即可求解.

解:①

5 ;……………………………………………………(1 分) 2

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5 .……………………………………………………(2 分) 2

【解法提示】①当 α=0° ,如解图①,∵BC=2AB=8,∴AB=4,∵点 D,E 分别是边 BC,AC 的中点,∴DE=

1 AB ? 1 ,AE=EC,,∵∠B=90° , 2

∴ AC ? 82 ? 42 ? 4 5 ,∴AE=CE= 2 5 ,∴

AE 2 5 5 ②当 α=180 度, ; 如解图②, ? ? BD 4 2

由旋转性质可得 CE= 5 ,CD=2,∵AC= 2 5 ,BC=8, ∴

AE AC ? CE 4 5 ? 2 5 5 . ? ? ? BD BC ? CD 8? 4 2

(2) 【分析】在由解图①中,由平行线分线段成比例得到 绕点 C 的旋转过程,结合旋转的性质得到

CE CD ? ,再观察图②中△ EDC CA CB

CE CD ? 任然成立,从而求得△ ACE∽ CA CB

△ BCD,利用其性质,结合题干求得 AC 的长即可得到结论.

第 29 页 共 115 页

第 22 题解图③

(3) 【分析】 解: 4 5或

12 5 . ………………………………………………………………………(10 分) 5

【解法提示】当△ EDC 在 BC 上方,且 A,D,E 三点共线时,四边形 ABCD 为矩形,

∴BD=AC= 4 5 ;当△ EDC 在 BC 下方,且 A,E,D 三点共线时,△ ADC 为直角三角形, 由勾股定理可求得 AD=8,∴AE=6,根据

AE 5 12 5 = . 可求得 BD = BD 2 5

第 30 页 共 115 页

A

A

D

E
F B

B

C

E D

C

图④

图⑤

第 22 题解图

6.(2015· 黑龙江绥化,第 21 题 分)在矩形 ABCD 中 ,AB=4 , BC=3 , 点 P 在 AB 上。若将 △ DAP 沿 DP 折叠 ,使点 A 落在矩形对角线上的 A? 处 ,则 AP 的长为__________.

考点:翻折变换(折叠问题) . .

专题:分类讨论.

分析:分两种情况探讨:点 A 落在矩形对角线 BD 上,点 A 落在矩形对角线 AC 上,在直角 三角形中利用勾股定理列出方程,通过解方程可得答案.

解答: 解:①点 A 落在矩形对角线 BD 上,如图 1,

∵AB=4,BC=3,

∴BD=5, 根据折叠的性质,AD=A′D=3,AP=A′P,∠A=∠PA′D=90°

第 31 页 共 115 页

∴BA′=2, 设 AP=x,则 BP=4﹣x,

∵BP2=BA′2+PA′2,

∴(4﹣x)2=x2+22,

解得:x= , ∴AP= ; ②点 A 落在矩形对角线 AC 上,如图 2,

根据折叠的性质可知 DP⊥AC,

∴△DAP∽△ABC,

∴ ∴AP=

, = = .

故答案为: 或 .

点评: 本题考查了折叠问题、 勾股定理, 矩形的性质以及三角形相似的判定与性质; 解题中, 找准相等的量是正确解答题目的关键.
第 32 页 共 115 页

7. (2015?浙江金华,第 14 题 4 分)如图,直线 l1 , l2 , ???, l6 是一组等距离的平行线,过直 线 l1 上的点 A 作两条射线,分别与直线 l 3 , l 6 相交于点 B,E,C,F. 若 BC=2,则 EF 的长 是 ▲

【答案】5. 【考点】平行线分线段成比例的性质;相似三角形的判定和性质.

【分析】∵直线 l1 , l2 , ???, l6 是一组等距离的平行线,∴

AB 2 AB 2 ? ,即 ? . BE 3 AE 5

又∵ l 3 ∥ l 6 ,∴ ?ABC∽?AEF . ∴

BC AB 2 ? ? . EF AE 5

∵BC=2,∴

2 2 ? ? EF ? 5 . EF 5

8 . (2015?浙江湖州,第 16 题 4 分)已知正方形 ABC1D1 的边长为 1,延长 C1D1 到 A1,以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2, 延长 C2D2 到 A2, 以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如 图所示),以此类推…,若 A1C1=2,且点 A,D2, D3,…,D10 都在同一直线上,则正方形 A9C9C10D10 的边长是__________________________

第 33 页 共 115 页

【答案】

.

考点:正方形的性质;相似三角形的判定及性质;规律探究题.

9. (2015?浙江嘉兴,第 12 题 5 分)右图是百度地图的一部分(比例尺 1:4 000 000).按图 可估测杭州在嘉兴的南偏西____▲____度方向上,到嘉兴的实际距离约为____▲____.

考点:比例线段;方向角..

分析:先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位,再量出杭州到嘉兴的图上距离,再根据比例尺 的定义即可求解.解答:

第 34 页 共 115 页

解:测量可知杭州在嘉兴的南偏西 45 度方向上,

杭州到嘉兴的图上距离是 4cm,

4× 4000000=1600 0000cm=160km.

故答案为:45,160km.

点评:考查了方向角和比例尺的定义,比例尺=图上距离:实际距离.

10.(2015?江苏泰州,第 14 题 3 分)如图,△ BD=4,则 CD 的长为_________.

中,D 为 BC 上一点,∠BAD=∠C,AB=6,

【答案】5.

第 35 页 共 115 页

考点:相似三角形的判定与性质.

11.(2015?山东临沂,第 18 题 3 分)如图,在△ ABC 中,BD,CE 分别是边 AC,AB 上的中 线,BD 与 CE 相交于点 O,则 _________.

(第 18 题图)

【答案】2 【解析】 试题分析:如图,连接 ED,由 BD,CE 分别是边 AC,AB 上的中线可知 BD 是△ ABC 的中 位线,因此可得 ED= =2. BC,ED∥BC,由平行线可证得△ OED∽△COD,因此可得

第 36 页 共 115 页

考点:三角形的中位线,相似三角形的性质与判定

12.(2015 湖北荆州第 16 题 3 分)如图,矩形 ABCD 中,OA 在 x 轴上,OC 在 y 轴上,且 OA=2,AB=5,把△ ABC 沿着 AC 对折得到△ AB′C,AB′交 y 轴于 D 点,则 B′

点的坐标为 (







考点: 翻折变换(折叠问题) ;坐标与图形性质.

分析: 作 B′E⊥x 轴, 设 OD=x, 在 Rt△ AOD 中, 根据勾股定理列方程, 再由△ ADO∽△AB′E, 求出 B′E 和 OE. 解答: 解:作 B′E⊥x 轴,

易证 AD=CD,

设 OD=x,AD=5﹣x,

2 2 2 在 Rt△ AOD 中,根据勾股定理列方程得:2 +x =(5﹣x) ,

第 37 页 共 115 页

解得:x=2.1,

∴AD=2.9, ∵OD∥B′E, ∴△ADO∽△AB′E,









解得:B′E=



AE= ∴OE=

, ﹣2= .

∴B′(



) .

故答案为: (



) .

点评: 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理,根据勾股定理 列方程求出 OD 是解决问题的关键.

第 38 页 共 115 页

13. (2015?广东省,第 13 题,4 分)若两个相似三角形的周长比为 2:3,则它们的面积比是 ▲ .

【答案】4:9.

【考点】相似三角形的性质.

【分析】∵两个相似三角形的周长比为 2:3,∴这两个相似三角形的相似比 2:3.

又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方,∴这两个相似三角形的它们的面积比是 4:9.

(2015 山东青岛,第 12 题,3 分)如图,平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心,顶 点 A,B 的坐标分别为(1,1) 、 (-1,1) ,

把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45° 得到正方形 A′B′C′D′则正方形 ABCD 与正方形 A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为_____________________.

【答案】2 2 -2

【解析】

第 39 页 共 115 页

试题分析:如图所示:

根据题意可得 A′D′,=AB=2,

A′0=OD′= 2 , OM=1, 根据△ FMD′∽△A′OD′, 则 - 2 ,则 A′E=FD′=2- 2

FD ' 21 F D′ M D ′ , 即 , 则 FD′=2 = = ′ ′ 2 AD O D ? 2

∴EF=2-(2- 2 )-(2- 2 )=2 2 -2,即正八边形的边长为 2 2 -2.

考点:相似三角形的应用

14. (2015?四川凉山州,第 17 题 4 分)在? ABCD 中,M,N 是 AD 边上的三等分点,连接 BD,MC 相交于 O 点,则 S△ MOD:S△ COB= .

【答案】





第 40 页 共 115 页

考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.

15. (2015?四川成都,第 23 题 4 分)已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2,∠A1B1C1=60° ,对角 线 A1C1,B1D1 相交于点 O.以点 O 为坐标原点,分别以 OA1,OB1 所在直线为 x 轴、y 轴, 建立如图所示的直角坐标系. 以 B1D1 为对角线作菱形 B1C2D1A2∽菱形 A1B1C1D1, 再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2∽菱形 B1C2D1A2,再以 B2B2 为对角线作菱形 B2C3D2A3∽菱形 A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在 x 轴的正半轴上得到点 A1,A2,A3,…,An,则点 An 的坐标为____________.

y

【答案】 : (3

n-1

,0)

B2 B1

【解析】 :由题意,点 A1 的坐标为(1,0) ,

C3

C2 C1 OA1 A2 D1 D2

A3

x

点 A2 的坐标为(3,0) ,即(3

2-1

,0)

点 A3 的坐标为(9,0) ,即(3

3-1

,0)

点 A4 的坐标为(27,0) ,即(3

4-1

,0)
第 41 页 共 115 页

……… ∴点 An 的坐标为(3 n-1,0)

16、 (2015?四川自贡,第 14 题 4 分)一副三角板叠放如图,则△ AOB 与△ DOC 的面积之比 为 .

考点:直角三角形的性质、等腰三角形、相似三角形的性质和判定等.

分析:本题抓住一副三角板叠放的特点可知△ AOB 与△ DOC 是相似三角形,而

相似三角形的面积之比是其相似比的平方.抓住在直角三角板△ BCD 容易

求出

BC 的值,而直角三角板△ ABC 的 AB ? BC ,所以 △ AOB 与△ DOC DC

的相似比可以通过

AB 求得. DC

S V AOB ? AB ? 略解:根据如图所示三角板叠放可知 AB P DC ∴△ AOB ∽△ DOC ∴ ?? ? S VDOC ? DC ?

2

在直角三角板△ BCD 中 ?BCD ? 90o ,?B ? 30o ∵ tan 30 o ? ∴ tan ?B ?
BC 3 ? DC 3

3 3

又在直角三角板△ ABC 的 AB ? BC ∴

S V AOB ? 3 ? 1 AB 3 ∴ ?? ? ? ? ?3. S VDOC ? 3 DC 3 ? ?

2

故应填

1:3

.

第 42 页 共 115 页

A

17 、 (2015?四川自贡,第 15 题 4 分)如图,将线段 AB 放在边长为 1 的小正方形网格,点 A

点 B 均落在格点上,请用无刻度直尺在线段 AB 上画出点 P ,

B

15题
使 AP ?
2 17 ,并保留作图痕迹. 3

考点:矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.

分析: 本题根据勾股定理可求出在网格中的 AB ? 42 ? 1 ? 17 , 由于网格线中的对边平行, 所以找点较容易,只需连接一对角线与 AB 的交点 P 就满足 AP ? 平行线所截得相似三角形的对应边成比例
2 17 (见图) ;根据的是 3

AP AP 2 2 2 17 ? 2 , 所以 ? . ,则 AP ? AB ? AB 3 PB 3 3

A

略解:见图作法.
P
B

15题

18.(2015?浙江杭州,第 16 题 4 分) AB=BC, AD=CD, 如图, 在四边形纸片 ABCD 中, ∠A=∠C=90° ,∠B=150° ,将纸片先沿直线 BD 对折,再将对折后的图形沿从一 个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平,若铺平后的图形中有一个是面 积为 2 的平行四边形,则 CD=_______________________________ 【答案】 2 ? 3 或 4 ? 2 3 . 【考点】剪纸问题;多边形内角和定理;轴对称的性质;菱形、矩形的判定和性 质;含 30 度角直角三角形的性质;相似三角形的判定和性质;分类思想和方程 思想的应用. . 【分析】∵四边形纸片 ABCD 中,∠A=∠C=90° ,∠B=150° ,∴∠C=30°

A

B

C

D
第16题

第 43 页 共 115 页

如答图,根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形:

如答图 1,剪痕 BM、BN,过点 N 作 NH⊥BM 于点 H, . 易证四边形 BMDN 是菱形,且∠MBN=∠C=30° 设 BN=DN= x ,则 NH=

1 x. 2

根据题意,得 x ? x ? 2 ? x ? 2 ,∴BN=DN=2, NH=1. 易证四边形 BHNC 是矩形,∴BC=NH=1. ∴在 Rt ?BCN 中,CN= 3 .

1 2

∴CD= 2 ? 3 . 如答图 2,剪痕 AE、CE,过点 B 作 BH⊥CE 于点 H, . 易证四边形 BAEC 是菱形,且∠BCH =30° 设 BC=CE = x ,则 BH=

1 x. 2

根据题意,得 x ? x ? 2 ? x ? 2 ,∴BC=CE =2, BH=1.

1 2

在 Rt ?BCH 中,CH= 3 ,∴EH= 2 ? 3 .

易证 ?BCD∽?EHB ,∴

CD 2 CD BC ? . ? ,即 1 2? 3 HB EH

∴ CD ?

2 2? 3

? 2 ? 3 ?? 2 ? 3 ?

?

?

? 4?2 3 .

综上所述,CD= 2 ? 3 或 4 ? 2 3 .

19. (2015?广东梅州,第 12 题,3 分)已知:△ ABC 中,点 E 是 AB 边的中点,点 F 在 AC 边上,若以 A,E, F 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则需要增加的一个条件 是 . (写出一个即可)

第 44 页 共 115 页

考点:相似三角形的判定..

专题:开放型.

分析: 根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答; 由于没有确定三 角形相似的对应角,故应分类讨论.

解答:解:分两种情况:

①∵△AEF∽△ABC,

∴AE:AB=AF:AC,

即 1:2=AF:AC,

∴AF= AC; ②∵△AFE∽△ACB,

∴∠AFE=∠ABC.

∴要使以 A、E、F 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则 AF= AC 或∠AFE=∠ABC.

故答案为:AF= AC 或∠AFE=∠ABC.

第 45 页 共 115 页

点评:本题很简单,考查了相似三角形的性质,在解答此类题目时要找出对应的角和边.

20. (2015?甘肃兰州,第 17 题,4 分)如果

a c e ? ? ? k (b ? d ? f ? 0 ) ,且 b d f

a ? c ? e ? 3(b ? d ? f ) ,那么 k =_____

【 答 案 】3

【考点解剖】本题考查比例的基本性质

【解答过程】因为

a c e a c e a?c?e ? ? ? k ,且 b ? d ? f ? 0 ,所以 k ? ? ? ? , b d f b d f b?d ? f

而 a ? c ? e ? 3(b ? d ? f ) ,即

a?c?e ? 3 ,所以 k ? 3 。 b?d ? f

【一题多解】因为

a c e ? ? ? k ,所以 a ? bk , c ? dk , e ? fk , b d f

而 a ? c ? e ? 3(b ? d ? f ) ,即 k (b ? d ? f ) ? 3(b ? d ? f ) ,

因为 b ? d ? f ? 0 ,所以 k ? 3 。

【题目星级】★★★

21. (2015 山东省德州市,17,4 分)如图 1,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a, ∠A=60° .取 AB 的中点 A1,连接 A1C,再分别取 A1C,BC 的中点 D1,C1,连接 D1C1,得到四边形
第 46 页 共 115 页

A1BC1D1,如图 2; 同样方法操作得到四边形 A2BC2D2,如图 3;…,如此进行下去,则四边形 AnBCnDn 的面积为 .

【答案】

考点:是三角形的面积公式;三角形的中位线定理,相似三角形的判定及性质;

三.解答题 1. (2015 山东省德州市,23,10 分)

(1)问题
第 47 页 共 115 页

. 如图 1,在四边形 ABCD 中,点 P 为 AB 上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°

BC=AP· BP. 求证:AD·

(2)探究 如图 2,在四边形 ABCD 中,点 P 为 AB 上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ 时,上述结论是否 依然成立?说明理由.

(3)应用 请利用(1)(2)获得的经验解决问题:

如图 3,在△ ABD 中,AB=6,AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单位长度的速度,由点 A 出发,沿 边 AB 向点 B 运动,且满足∠DPC=∠A.设点 P 的运动时间为 t(秒) ,当以 D 为圆心,以 DC 为半径的圆与 AB 相切,求 t 的值.

【答案】 (1)见解析; (2)t 的值为 1 秒或 5 秒.

第 48 页 共 115 页

第 49 页 共 115 页

考点:相似三角形的判定及性质;切线的性质及判定;圆的有关性质

2. (2015?安徽省,第 23 题,14 分)如图 1,在四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,过点 E 作 AB 的垂线,过点 F 作 CD 的垂线,两垂线交于点 G,连接 AG、BG、CG、 DG,且∠AGD=∠BGC.

(1)求证:AD=BC;

(2)求证:△ AGD∽△EGF;

AD (3)如图 2,若 AD、BC 所在直线互相垂直,求 EF 的值. G C D A E
第 23 题图 1

F

B

G C F 第 50 页 共 115 页 D A E
第 23 题图 2

B

考点:相似形综合题..

分析: (1)由线段垂直平分线的性质得出 GA=GB,GD=GC,由 SAS 证明△ AGD≌△BGC, 得出对应边相等即可;

(2)先证出∠AGB=∠DGC,由

,证出△ AGB∽△DGC,得出比例式

,再证

出∠AGD=∠EGF,即可得出△ AGD∽△EGF;

(3)延长 AD 交 GB 于点 M,交 BC 的延长线于点 H,则 AH⊥BH,由△ AGD≌△BGC,得 出∠GAD=∠GBC,再求出∠AGE=∠AHB=90° ,得出∠AGE= ∠AGB=45° ,求出 由△ AGD∽△EGF,即可得出 的值. ,

解答: (1)证明:∵GE 是 AB 的垂直平分线,

∴GA=GB, 同理:GD=GC,

在△ AGD 和△ BGC 中,



第 51 页 共 115 页

∴△AGD≌△BGC(SAS) ,

∴AD=BC; (2)证明:∵∠AGD=∠BGC,

∴∠AGB=∠DGC,

在△ AGB 和△ DGC 中,



∴△AGB∽△DGC,





又∵∠AGE=∠DGF,

∴∠AGD=∠EGF,

∴△AGD∽△EGF;

(3)解:延长 AD 交 GB 于点 M,交 BC 的延长线于点 H,如图所示:

则 AH⊥BH, ∵△AGD≌△BGC,

∴∠GAD=∠GBC,

在△ GAM 和△ HBM 中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB,

∴∠AGE=∠AHB=90° ,

第 52 页 共 115 页

∴∠AGE= ∠AGB=45° ,





又∵△AGD∽△EGF,



=

=



点评:本题是相似形综合题目,考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、三角函数等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(3)中, 需要通过作辅助线综合运用(1) (2)的结论和三角函数才能得出结果.

3. (2015· 山东威海,第 22 题 9 分)如图,在△ ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E.

(1)求证:BE=CE;

(2)若 BD=2,BE=3,求 AC 的长.

第 53 页 共 115 页

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理.. 专题: 证明题. 分析: (1)连结 AE,如图,根据圆周角定理,由 AC 为⊙O 的直径得到∠AEC=90° ,然 后利用等腰三角形的性质即可得到 BE=CE; (2)连结 DE,如图,证明△ BED∽△BAC,然后利用相似比可计算出 AB 的长,从而得到 AC 的长. 解答: (1)证明:连结 AE,如图, ∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠AEC=90° , ∴AE⊥BC, 而 AB=AC, ∴BE=CE; (2)连结 DE,如图, ∵BE=CE=3, ∴BC=6, ∵∠BED=∠BAC, 而∠DBE=∠CBA, ∴△BED∽△BAC, ∴ = ,即 = ,

∴BA=9, ∴AC=BA=9.

点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质: 在判定两个三角形相似时, 应注意利用图形 中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的性质和圆周角定理.

第 54 页 共 115 页

4. (2015?四川广安,第 25 题 9 分)如图,PB 为⊙O 的切线,B 为切点,过 B 作 OP 的垂 线 BA,垂足为 C,交⊙O 于点 A,连接 PA、AO,并延长 AO 交⊙O 于点 E,与 PB 的延长 线交于点 D. (1)求证:PA 是⊙O 的切线;

(2)若

= ,且 OC=4,求 PA 的长和 tanD 的值.

考点: 切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.. 分析: (1)连接 OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP 是线段 AB 的垂直平 分线,进而可得:PA=PB,然后证明△ PAO≌△PBO,进而可得∠PBO=∠PAO,然后根据切 线的性质可得∠PBO=90° ,进而可得:∠PAO=90° ,进而可证:PA 是⊙O 的切线; (2)连接 BE,由 = ,且 OC=4,可求 AC,OA 的值,然后根据射影定理可求 PC 的值,

AO=OE, 从而可求 OP 的值, 然后根据勾股定理可求 AP 的值; 由 AC=BC, 可得 OC 是△ ABE 的中位线,进而可得 BE∥OP,BE=2OC=8,进而可证△ DBE∽△DPO,进而可得: 从而求出 BD 的值,进而即可求出 tanD 的值. 解答: (1)证明:连接 OB,则 OA=OB, ,

∵OP⊥AB, ∴AC=BC,
第 55 页 共 115 页

∴OP 是 AB 的垂直平分线, ∴PA=PB, 在△ PAO 和△ PBO 中, ∵ ,

∴△PAO≌△PBO(SSS) ∴∠PBO=∠PAO,PB=PA, ∵PB 为⊙O 的切线,B 为切点, ∴∠PBO=90° , ∴∠PAO=90° , 即 PA⊥OA, ∴PA 是⊙O 的切线; (2)连接 BE,



= ,且 OC=4,

∴AC=6, ∴AB=12, 在 Rt△ ACO 中, 由勾股定理得:AO= ∴AE=2OA=4 在 Rt△ APO 中, ∵AC⊥OP, ∴AC2=OC?PC, 解得:PC=9, ∴OP=PC+OC=13, ,OB=OA=2 =2 , ,

第 56 页 共 115 页

在 Rt△ APO 中,由勾股定理得:AP= ∴PB=PA=3 ,

=3



∵AC=BC,OA=OE, ∴OC= BE,OC∥BE, ∴BE=2OC=8,BE∥OP, ∴△DBE∽△DPO, ∴ 即 解得:BD= 在 Rt△ OBD 中, tanD= = = . , , ,

点评: 本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质; 能够通过作辅助线将 所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键.要证某线是圆的切线,对于切线 的判定:已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径) ,再证垂直即可.

6. (2015· 黑龙江绥化, 第 28 题 分)如图 1, 在正方形 ABCD 中, 延长 BC 至 M ,使 BM=DN , 连接 MN 交 BD 延长线于点 E.

(1)求证:BD+2DE= 2 BM .

(2)如图 2 ,连接 BN 交 AD 于点 F ,连接 MF 交 BD 于点 G.若 AF:FD=1:2 ,且 CM=2,则 线段 DG=_______.

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考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质. .

分析: (1) 过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P, 首先证明△ DEN≌△PEM, 得到 DE=PE, 由△ BMP 是等腰直角三角形可知 BP= BM,即可得到结论;

(2)由 AF:FD=1:2,可知 DF:BC=2:3,由△ BCN∽△FDN,可求出 BC=2,再由 △ DFG∽△BMG 即可求出 DG 的长.

解答: (1)证明:过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P,

∵四边形 ABCD 是正方形,

∴∠BCD=90° ,∠DBC=∠BDC=45° ,

∴PM∥CN, ∴∠N=∠EMP,∠BDC=∠MPB=45° ,

∴BM=PM, ∵BM=DN, ∴DN=MP, 在△ DEN 和△ PEM 中
第 58 页 共 115 页



∴△DEN≌△PEM,

∴DE=EP, ∵△BMP 是等腰直角三角形

∴BP=

BM,

∴BD+2DE=

BM.

(2)解:∵AF:FD=1:2,

∴DF:BC=2:3,

∵△BCN∽△FDN,

∴ 设正方形边长为 a,又知 CM=2,

∴BM=DN=a+2,CN=2a+2





解得:a=2, ∴DF= ,BM=4,BD=2 ,

又∵△DFG∽△BMG,
第 59 页 共 115 页









∴DG=

. .

故答案为:

点评:本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用, 运用三角形相似求出正方形的边长是解 决第 2 小题的关键.

7. (2015· 山东潍坊第 21 题 10 分)如图,在△ ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为 F,连接 DE.

(1)求证:直线 DF 与⊙O 相切;

(2)若 AE=7,BC=6,求 AC 的长.
第 60 页 共 115 页

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.. 分析: (1)连接 OD,利用 AB=AC,OD=OC,证得 OD∥AD,易证 DF⊥OD,故 DF 为 ⊙O 的切线; (2)证得△ BED∽△BCA,求得 BE,利用 AC=AB=AE+BE 求得答案即可. 解答: (1)证明:如图,

连接 OD. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵OD=OC, ∴∠ODC=∠C, ∴∠ODC=∠B, ∴OD∥AB, ∵DF⊥AB, ∴OD⊥DF, ∵点 D 在⊙O 上, ∴直线 DF 与⊙O 相切; (2)解:∵四边形 ACDE 是⊙O 的内接四边形,

第 61 页 共 115 页

∴∠AED+∠ACD=180° , ∵∠AED+∠BED=180° , ∴∠BED=∠ACD, ∵∠B=∠B, ∴△BED∽△BCA, ∴ = ,

∵OD∥AB,AO=CO, ∴BD=CD= BC=3, 又∵AE=7, ∴ = ,

∴BE=2, ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9. 点评: 此题考查切线的判定,三角形相似的判定与性质,要证某线是圆的切线,已知此线 过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径) ,再证垂直即可.

8. AC=BC=6, CD=CE, (2015· 山东威海, 第 23 题 10 分) (1) 如图 1, 已知∠ACB=∠DCE=90° , AE=3,∠CAE=45° ,求 AD 的长.

(2)如图 2,已知∠ACB=∠DCE=90° ,∠ABC=∠CED=∠CAE=30° ,AC=3,AE=8,求 AD 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理..

第 62 页 共 115 页

分析: (1)连接 BE,证明△ ACD≌△BCE,得到 AD=BE,在 Rt△ BAE 中,AB=6 AE=3,求出 BE,得到答案; (2)连接 BE,证明△ ACD∽△BCE,得到 解答: 解: (1)如图 1,连接 BE, ∵∠ACB=∠DCE=90° , ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又∵AC=BC,DC=EC, 在△ ACD 和△ BCE 中, , ∴△ACD≌△BCE, ∴AD=BE, ∵AC﹣BC=6, ∴AB=6 , = =



,求出 BE 的长,得到 AD 的长.

∵∠BAC=∠CAE=45° , ∴∠BAE=90° , 在 Rt△ BAE 中,AB=6 ∴BE=9, ∴AD=9; (2)如图 2,连接 BE, 在 Rt△ ACB 中,∠ABC=∠CED=30° , tan30° = = , ,AE=3,

∵∠ACB=∠DCE=90° , ∴∠BCE=∠ACD, ∴△ACD∽△BCE, ∴ = = ,

∵∠BAC=60° ,∠CAE=30° , ∴∠BAE=90° ,又 AB=6,AE=8, ∴BE=10,
第 63 页 共 115 页

∴AD=



点评: 本题考查的是相似三角形的判定和性质、 全等三角形的判定和性质, 掌握性质定理 和判定定理是解题的关键,正确作出辅助线是重点. 9.(2015?江苏徐州,第 25 题 8 分)如图,平面直角坐标系中,将含 30° 的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限.其斜边两端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上,且 AB=12cm

(1)若 OB=6cm.

①求点 C 的坐标;

②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等,求滑动的距离;

(2)点 C 与点 O 的距离的最大值=

12

cm.

考点: 相似形综合题.. 分析: (1)①过点 C 作 y 轴的垂线,垂足为 D,利用含 30° 角的直角三角形的性质解答 即可; ②设点 A 向右滑动的距离为 x,得点 B 向上滑动的距离也为 x,利用三角函数和勾股定理进
第 64 页 共 115 页

行解答; (2)过 C 作 CE⊥x 轴,CD⊥y 轴,垂足分别为 E,D,证明△ ACE 与△ BCD 相似,再利用 相似三角形的性质解答. 解答: 解: (1)①过点 C 作 y 轴的垂线,垂足为 D,如图 1:

在 Rt△ AOB 中,AB=12,OB=6,则 BC=6, ∴∠BAO=30° ,∠ABO=60° , 又∵∠CBA=60° , ∴∠CBD=60° ,∠BCD=30° , ∴BD=3,CD=3 , ,9) ;

所以点 C 的坐标为(﹣3

②设点 A 向右滑动的距离为 x,根据题意得点 B 向上滑动的距离也为 x,如图 2:

AO=12× cos∠BAO=12× cos30° =6 ∴A'O=6



﹣x,B'O=6+x,A'B'=AB=12

在△ A'O B'中,由勾股定理得, (6
2 2 2 ﹣x) +(6+x) =12 ,

解得:x=6(

﹣1) , ﹣1) ;

∴滑动的距离为 6(

(2)设点 C 的坐标为(x,y) ,过 C 作 CE⊥x 轴,CD⊥y 轴,垂足分别为 E,D,如图 3:

第 65 页 共 115 页

则 OE=﹣x,OD=y, ∵∠ACE+∠BCE=90° ,∠DCB+∠BCE=90° , ∴∠ACE=∠DCB, 又∵∠AEC=∠BDC=90° , ∴△ACE∽△BCD, ∴ ∴y=﹣ ,即 x, x)2=4x2, ,

OC2=x2+y2=x2+(﹣

∴当|x|取最大值时,即 C 到 y 轴距离最大时,OC2 有最大值,即 OC 取最大值,如图,即当 C'B'旋转到与 y 轴垂直时 .此时 OC=12, 故答案为:12. 点评: 此题考查相似三角形的综合题, 关键是根据相似三角形的性质和勾股定理以及三角 函数进行分析解答.

10.(2015?江苏徐州,第 26 题 8 分)如图,在矩形 OABC 中,OA=3,OC=5,分别以 OA、 OC 所在直线为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,D 是边 CB 上的一个动点(不与 C、B 重 合) ,反比例函数 y= (k>0)的图象经过点 D 且与边 BA 交于点 E,连接 DE.

(1)连接 OE,若△ EOA 的面积为 2,则 k= 4 ;

(2)连接 CA、DE 与 CA 是否平行?请说明理由;

第 66 页 共 115 页

(3)是否存在点 D,使得点 B 关于 DE 的对称点在 OC 上?若存在,求出点 D 的坐标;若 不存在,请说明理由.

考点: 反比例函数综合题.. 分析: (1)连接 OE,根据反比例函数 k 的几何意义,即可求出 k 的值; (2)连接 AC,设 D(x,5) ,E(3, 求出 DE∥AC. (3)假设存在点 D 满足条件.设 D(x,5) ,E(3, AE= ) ,则 CD=x,BD=3﹣x,BE=5﹣ , ) ,则 BD=3﹣x,BE=5﹣ ,得到 ,从而

.作 EF⊥OC,垂足为 F,易得,△ B′CD∽△EFB′,然后根据对称性求出 B′E、B′D
2 2 2 ) +x =(3﹣x) ,即

的表达式,列出

,即

=

,从而求出(5﹣

可求出 x 值,从而得到 D 点坐标. 解答: 解: (1)连接 OE,如,图 1, ∵Rt△ AOE 的面积为 2, ∴k=2× 2=4. (2)连接 AC,如图 1,设 D(x,5) ,E(3, ) ,则 BD=3﹣x,BE=5﹣ ,

= ,

第 67 页 共 115 页

∴ ∴DE∥AC. (3)假设存在点 D 满足条件.设 D(x,5) ,E(3, BD=3﹣x,BE=5﹣ ,AE= . ) ,则 CD=x,

作 EF⊥OC,垂足为 F,如图 2, 易证△ B′CD∽△EFB′, ∴ ,即 = ,

∴B′F=

, + , ,CD=x,B′D=BD=3﹣x, = ,

∴OB′=B′F+OF=B′F+AE= ∴CB′=OC﹣OB′=5﹣

在 Rt△ B′CD 中,CB′=5﹣

2 2 2 由勾股定理得,CB′ +CD =B′D ,

(5﹣

2 2 2 ) +x =(3﹣x) ,

解这个方程得,x1=1.5(舍去) ,x2=0.96, ∴满足条件的点 D 存在,D 的坐标为 D(0.96,5) . 故答案为 4.

点评: 本题考查了反比例函数综合题,涉及反比例函数 k 的几何意义、 平行线分线段成比 例定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识,值得关注.

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11.(2015?山东东营,第 21 题 8 分)(本题满分 8 分)已知在△ ABC 中,∠B=90o,以 AB 上的 一点 O 为圆心,以 OA 为半径的圆交 AC 于点 D,交 AB 于点 E.

AD=AB· AE; (1)求证:AC·

(2)如果 BD 是⊙O 的切线,D 是切点,E 是 OB 的中点,当 BC=2 时,求 AC 的长.

【答案】 (1)证明见解析; (2)AC=4.

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考点:1.圆周角定理;2.相似三角形的判定与性质;3.切线的性质;4.30° 的直角三角形的性 质. 12. (2015?绵阳第 25 题,14 分)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,G 是 AD 延长线时 的一点,且 DG=AD,动点 M 从 A 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 A→C→G 的路线向 G 点匀速运动(M 不与 A,G 重合) ,设运动时间为 t 秒,连接 BM 并延长 AG 于 N.

(1)是否存在点 M,使△ ABM 为等腰三角形?若存在,分析点 M 的位置;若不存在,请 说明理由; (2)当点 N 在 AD 边上时,若 BN⊥HN,NH 交∠CDG 的平分线于 H,求证:BN=HN;

(3)过点 M 分别作 AB,AD 的垂线,垂足分别为 E,F,矩形 AEMF 与△ ACG 重叠部分的 面积为 S,求 S 的最大值.

考点: 四边形综合题.. AM=BM; AB=BM; 分析: (1) 四种情况: 当点 M 为 AC 的中点时, 当点 M 与点 C 重合时, 当点 M 在 AC 上,且 AM=2 时,AM=AB;当点 M 为 CG 的中点时,AM=BM;△ ABM 为等 腰三角形; AB=AD, ∠CDG=90° (2) 在 AB 上截取 AK=AN, 连接 KN; 由正方形的性质得出∠ADC=90° , , 得出 BK=DN, 先证出∠BKN=∠NDH, 再证出∠ABN=∠DNH, 由 ASA 证明△ BNK≌△NHD, 得出 BN=NH 即可; (3)①当 M 在 AC 上时,即 0<t≤2
2 求出 S= AF?FM= t ;当 t=2

时,△ AMF 为等腰直角三角形,得出 AF=FM=

t,

时,即可求出 S 的最大值;

第 70 页 共 115 页

②当 M 在 CG 上时, 即2

<t<4

时, 先证明△ ACD≌△GCD, 得出∠ACD=∠GCD=45° , t,得出

=4﹣ 求出∠ACM=90° ,证出△ MFG 为等腰直角三角形,得出 FG=MG?cos45° S=S△ ACG﹣S△ CMJ﹣S△ FMG,S 为 t 的二次函数,即可求出结果.

解答: (1)解:存在;当点 M 为 AC 的中点时,AM=BM,则△ ABM 为等腰三角形; 当点 M 与点 C 重合时,AB=BM,则△ ABM 为等腰三角形; 当点 M 在 AC 上,且 AM=2 时,AM=AB,则△ ABM 为等腰三角形; 当点 M 为 CG 的中点时,AM=BM,则△ ABM 为等腰三角形;

(2)证明:在 AB 上截取 AK=AN,连接 KN;如图 1 所示: ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ADC=90° ,AB=AD, ∴∠CDG=90° , ∵BK=AB﹣AK,ND=AD﹣AN, ∴BK=DN, ∵DH 平分∠CDG, ∴∠CDH=45° , ∴∠NDH=90° +45° =135° , ∴∠BKN=180° ﹣∠AKN=135° , ∴∠BKN=∠NDH, 在 Rt△ ABN 中,∠ABN+∠ANB=90° , 又∵BN⊥NH, 即∠BNH=90° , ∴∠ANB+∠DNH=180° ﹣∠BNH=90° , ∴∠ABN=∠DNH, 在△ BNK 和△ NHD 中, , ∴△BNK≌△NHD(ASA) , ∴BN=NH;

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(3)解:①当 M 在 AC 上时,即 0<t≤2 ∵AM=t, ∴AF=FM= t, t× t= t2;
2 ) =2;

时,△ AMF 为等腰直角三角形,

∴S= AF?FM= × 当 t=2

时,S 的最大值= × (2 <t<4

②当 M 在 CG 上时,即 2 CM=t﹣AC=t﹣2 ,MG=4

时,如图 2 所示:

﹣t,

在△ ACD 和△ GCD 中, , ∴△ACD≌△GCD(SAS) , ∴∠ACD=∠GCD=45° , ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90° , ∴∠G=90° ﹣∠GCD=45° , ∴△MFG 为等腰直角三角形, ∴FG=MG?cos45° =(4 ﹣t)? =4﹣ t,

∴S=S△ ACG﹣S△ CMJ﹣S△ FMG= × 4× 2﹣ × CM× CM﹣ × FG× FG =4﹣ (t﹣2 =﹣ (t﹣ ∴当 t= ) ﹣ (4﹣
2 )+ , 2 2 ) =﹣

+4

t﹣8

时,S 的最大值为 .

第 72 页 共 115 页

点评: 本题是相似形综合题目,考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的 判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识;本题 难度较大,综合性强,特别是(3)中,需要进行分类讨论,通过证明三角形全等和等腰直 角三角形才能得出结果.

13. (2015?浙江省绍兴市,第 24 题,14 分)

O 为原点, OA=4, OC=2, 在平面直角坐标系中, 四边形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上, 点 P,点 Q 分别是边 BC,边 AB 上的点,连结 AC,PQ,点 B1 是点 B 关于 PQ 的对称点。

(1)若四边形 OABC 为矩形,如图 1,

①求点 B 的坐标;

②若 BQ:BP=1:2,且点 B1 落在 OA 上,求点 B1 的坐标;

(2)若四边形 OABC 为平行四边形,如图 2,且 OC⊥AC,过点 B1 作 B1F∥ x 轴,与对角 线 AC、边 OC 分别交于点 E、点 F。若 B1E: B1F=1:3,点 B1 的横坐标为 m ,求点 B1 的纵坐 标,并直接写出 m 的取值范围。

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考点:四边形综合题..

分析: (1)①根据 OA=4,OC=2,可得点 B 的坐标;②利用相似三角形的判定和性质得出 点的坐标; (2)根据平行四边形的性质,且分点在线段 EF 的延长线和线段上两种情况进行分析解答.

解答:解: (1)∵OA=4,OC=2,

∴点 B 的坐标为(4,2) ;

②如图 1,过点 P 作 PD⊥OA,垂足为点 D,

∵BQ:BP=1:2,点 B 关于 PQ 的对称点为 B1,

∴B1Q:B1P=1:2,

∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90° ,

第 74 页 共 115 页

∴∠PB1D=∠B1QA,

∴△PB1D∽△B1QA,





∴B1A=1, ∴OB1=3,即点 B1(3,0) ;

(2)∵四边形 OABC 为平行四边形,OA=4,OC=2,且 OC⊥AC,

∴∠OAC=30° ,

∴点 C(1,

) ,

∵B1E:B1F=1:3,

∴点 B1 不与点 E,F 重合,也不在线段 EF 的延长线上,



当点 B1 在线段 FE 的延长线上时,如图 2,延长 B1F 与 y 轴交于点 G,点 B1 的横坐 标为 m,B1F∥x 轴,

B1E:B1F=1:3,
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∴B1G=m, 设 OG=a, 则 GF= ,OF= ,

∴CF=



∴EF=

,B1E=



∴B1G=B1E+EF+FG=



∴a=

,即 B1 的纵坐标为



m 的取值范围是



②当点 B1 在线段 EF(除点 E,F)上时,如图 3,延长 B1F 与 y 轴交于点 G,点 B1 的横坐 标为 m,F∥x 轴,

B1E:B1F=1:3,

∴B1G=m, 设 OG=a,
第 76 页 共 115 页

则 GF=

,OF=



∴CF=



∴FE=

,B1F=



∴B1G=B1F﹣FG=



∴a=

,即点 B1 的纵坐标为



故 m 的取值范围是



点评:此题考查四边形的综合题,关键是利用平行四边形的性质,分点在线段 EF 的延长线 和线段上两种情况进行分析.

14.(2015?山东聊城,第 25 题 12 分)如图,在直角坐标系中,Rt△ OAB 的直角顶点 A 在 x 轴上,OA=4,AB=3.动点 M 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度,沿 AO 向终点 O 移动;同时点 N 从点 O 出发,以每秒 1.25 个单位长度的速度,沿 OB 向终点 B 移动.当两 个动点运动了 x 秒(0<x<4)时,解答下列问题:

(1)求点 N 的坐标(用含 x 的代数式表示) ;

(2)设△ OMN 的面积是 S,求 S 与 x 之间的函数表达式;当 x 为何值时,S 有最大值?最 大值是多少? (3)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△ OMN 是直角三角形?若存在,求出 x 的值;若不存在,请说明理由.

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考点: 相似形综合题.. 分析: (1)由勾股定理求出 OB,作 NP⊥OA 于 P,则 NP∥AB,得出△ OPN∽△OAB, 得出比例式 ,求出 OP、PN,即可得出点 N 的坐标;

(2)由三角形的面积公式得出 S 是 x 的二次函数,即可得出 S 的最大值; (3)分两种情况:①若∠OMN=90° ,则 MN∥AB,由平行线得出△ OMN∽△OAB,得出比 例式,即可求出 x 的值; ②若∠ONM=90° , 则∠ONM=∠OAB, 证出△ OMN∽△OBA, 得出比例式, 求出 x 的值即可. 解答: 解: (1)根据题意得:MA=x,ON=1.25x, 在 Rt△ OAB 中,由勾股定理得:OB= 作 NP⊥OA 于 P,如图 1 所示: 则 NP∥AB, ∴△OPN∽△OAB, ∴ 即 , , , ) ; , = =5,

解得:OP=x,PN=

∴点 N 的坐标是(x,

(2)在△ OMN 中,OM=4﹣x,OM 边上的高 PN= ∴S= OM?PN= (4﹣x)? =﹣ x2+ x,

∴S 与 x 之间的函数表达式为 S=﹣ x2+ x(0<x<4) ,

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2 配方得:S=﹣ (x﹣2) + ,

∵﹣ <0, ∴S 有最大值, 当 x=2 时,S 有最大值,最大值是 ; (3)存在某一时刻,使△ OMN 是直角三角形,理由如下: 分两种情况:①若∠OMN=90° ,如图 2 所示: 则 MN∥AB, 此时 OM=4﹣x,ON=1.25x, ∵MN∥AB, ∴△OMN∽△OAB, ∴ 即 解得:x=2; ②若∠ONM=90° ,如图 3 所示: 则∠ONM=∠OAB, 此时 OM=4﹣x,ON=1.25x, ∵∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA, ∴△OMN∽△OBA, ∴ 即 解得:x= ; 秒. , , , ,

综上所述:x 的值是 2 秒或

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点评: 本题是相似形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形 特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识;本题 难度较大,综合性强,特别是(3)中,需要进行分类讨论,通过证明三角形相似才能得出 结果.

15. (2015?四川成都,第 27 题 10 分)

已知 AC , EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线,点 E 在 ?ABC 内,

?CAE ? ?CBE ? 90? 。

(1)如图①,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时,连接 BF 。

1)求证: ?CAE ∽ ?CBF ;2)若 BE ? 1, AE ? 2 ,求 CE 的长。

第 80 页 共 115 页

(2)如图②,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形,且

AB EF ? ? k 时,若 BC FC

BE ? 1, AE ? 2, CE ? 3 ,

求 k 的值; (3)如图③,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形,且 ?DAB ? ?GEF ? 45? 时,

设 BE ? m, AE ? n, CE ? p ,试探究 m, n, p 三者之间满足的等量关系。 (直接写出结果, 不必写出解答过程)

【答案】 : (1)1)见解析,2) 6 ; (2)

10 ; (3) p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 4

【解析】 : (1)1)

? ?ACE ? ?ECB ? 45? ? AC CE ? ?ACE ? ?BCF ,又? ? ? 2, ?? BC CF ?BCF ? ?ECB ? 45 ? ?

? ?CAE ∽ ?CBF 。

2)?

AE ? 2 ,? BF ? 2 ,由 ?CAE ∽ ?CBF 可得 ?CAE ? ?CBF , BF

又 ?CAE ? ?CBE ? 90? ,? ?CBF ? ?CBE ? 90? ,即 ?EBF ? 90?

由 CE 2 ? 2EF 2 ? 2( BE 2 ? BF 2 ) ? 6 ,解得 CE ?

6。

(2)连接 BF ,同理可得 ?EBF ? 90? ,由

AB EF ? ?k, BC FC

可得 BC : AB : AC ? 1: k : k 2 ?1,

第 81 页 共 115 页

CF : EF : EC ? 1: k : k 2 ?1

?

AC AE ? ? k 2 ? 1 ,所以 BF ? BC BF

AE k 2 ?1

, BF 2 ?

AE 2 。 k 2 ?1

k 2 ?1 k 2 ?1 2 ? CE ? 2 ? EF ? 2 ( BE 2 ? BF 2 ) k k
2

? 32 ?

k 2 ?1 2 22 10 。 (1 ? ) ,解得 k ? 2 2 k k ?1 4

(3)连接 BF ,同理可得 ?EBF ? 90? ,过 C 作 CH ? AB 延长线于 H ,

可解得 AB2 : BC 2 : AC 2 ? 1:1: (2 ? 2) , EF 2 : FC 2 : EC 2 ? 1:1: (2 ? 2) ,

? p 2 ? (2 ? 2) EF 2 ? (2 ? 2)( BE 2 ? BF 2 ) ? (2 ? 2)(m2 ?
? p2 ? n2 ? (2 ? 2)m2 。 C D

n2 ) ? (2 ? 2)m2 ? n2 2? 2

D G F

C D G F n E E p m B
图③

G

C

F H

E A
图①

B

A
图②

B

A

第 82 页 共 115 页

16. (2015?四川乐山,第 23 题 10 分) ∠B=∠D=90° AB=3, BC=2, 如图 1, 四边形 ABCD 中, , tanA= .

(1)求 CD 边的长;

(2)如图 2,将直线 CD 边沿箭头方向平移,交 DA 于点 P,交 CB 于点 Q (点 Q 运动到 点 B 停止) , 设 DP=x, 四边形 PQCD 的面积为 的取值范围. , 求 与 的函数关系式, 并求出自变量

【答案】 (1)

; (2)



) .

【解析】 试题分析: (1)分别延长 AD、BC 相交于点 E,在 Rt△ ABE 中,解直角三角形可得 BE,EC, AE 的长,又∠E+∠A=90° ,∠E+∠ECD=90° ,得到∠A=∠ECD,由 tanA= cos∠ECD = ,从而得到 CD 的长; ,得到 cosA=

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(2) 由 (1) 可知 tan∠ECD=

∴ED= ,

, 如图 2, 由 PQ∥DC, 可知△ EDC∽△EPQ,



,∴

,即 PQ=

,∵





,即

=

,∴当

Q 点到达 B 点时,点 P 在 M 点处,由 EC=BC,DC∥PQ,∴DM=ED= 值范围为: .

,∴自变量 x 的取

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考点:1.四边形综合题;2.二次函数综合题.

17. (2015?浙江湖州,第 23 题 10 分)问题背景:已知在△ ABC 中,AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A,B 不重合),点 E 与点 D 同时出发,由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合),连结 DE 交 AC 于点 F,点 H 是线段 AF 上一点

(1)初步尝试:如图 1,若△ ABC 是等边三角形,DH⊥AC,且点 D,E 的运动速度相等,求 证:HF=AH+CF

小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:

思路一:过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,先证 GH=AH,再证 GF=CF,从而证得结论成 立. 思路二:过点 E 作 EM⊥AC,交 AC 的延长线于点 M,先证 CM=AH,再证 HF=MF,从而 证得结论成立.

请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评 分) (2)类比探究:如图 2,若在△ ABC 中,∠ABC=90° ,∠ADH=∠BAC=30° ,且点 D,E 的运

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动速度之比是

:1,求

的值.

(3)延伸拓展:如图 3,若在△ ABC 中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36° ,记 E 的运动速度相等,试用含 m 的代数式表示

=m,且点 D、

(直接写出结果,不必写解答过程).

【答案】 (1)详见解析; (2)

=2 ;(3)

.

【解析】 试题分析: (1) (选择思路一) :过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 1,易证△ ADG 是 等边三角形,根据等边三角形的性质可得 GD=AD=CE,GH=AH,再由平行线的性质可得 ∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因 GD=AD=CE,根据“ASA”可证△ GDF≌△CEF, 由全等三 角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. (选择思路二) :过 点 E 作 EM⊥AC,交 AC 的延长线于点 M,如图 1,先证△ ADH≌△CEM,由全等三角形的 , ∠DFH=∠EFM,所以 对应边相等可得 AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90° △ DFH≌△EFM,即可得 HF=MF=CM+CF=AH+CF.(2))过点 D 作 DG∥BC, 交 AC 于点 G, 如图 2, 可证 AD= GD, 由题意可知,AD= CE,所以 GD=CE,再证△ GDF≌△CEF,由 =2.

全等三角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,即可得 (3)过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 3,可得 AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以 ,又因 DG∥BC,可得 ,所以

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由比例的性质可得 ,所以 .

,即

试题解析:(1)证明:方法一(选择思路一) ,

过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 1,

∵△ABC 是等边三角形,

∴∠ADG=∠B=60° , ∠A=60° ,

∴△ADG 是等边三角形,

∴GD=AD=CE,

∵DH⊥AC,GH=AH,

∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,

∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,

∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF.

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(2)过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 2,

, 则∠ADG=∠B=90°

∵∠BAC=∠ADH=30° ,

∴∠HGD=∠HDG=60° ,

∴AH=GH=GD,AD=

GD,

由题意可知,AD=

CE,

∴GD=CE, ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF,

∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,

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∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,

∴ (3)

=2. .

考点:等边三角形的判定及性质;全等三角形的判定及性质;平行线的性质;比例的性质.

19. (2015?四川眉山,第 25 题 9 分)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AB 边的中点,沿 EC 对折矩形 ABCD,使 B 点落在点 P 处,折痕为 EC,连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点,

(1)求证:四边形 AECF 为平行四边形;

(2)若△ AEP 是等边三角形,连结 BP,求证:△ APB≌△EPC;

(3)若矩形 ABCD 的边 AB=6,BC=4,求△ CPF 的面积.

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考点: 四边形综合题.. 专题: 综合题. EC 与 PB 垂直, 分析: (1) 由折叠的性质得到 BE=PE, 根据 E 为 AB 中点, 得到 AE=PE, 利用等角对等边得到两对角相等,由∠AEP 为三角形 EBP 的外角,利用外角性质得到 ∠AEP=2∠EPB,设∠EPB=x,则∠AEP=2x,表示出∠APE,由∠APE+∠EPB 得到∠APB 为 90° ,进而得到 AF 与 EC 平行,再由 AE 与 FC 平行,利用两对边平行的四边形为平行四 边形即可得证; (2)根据三角形 AEP 为等边三角形,得到三条边相等,三内角相等,再由折叠的性质及邻 补角定义得到一对角相等,根据同角的余角相等得到一对角相等,再由 AP=EB,利用 AAS 即可得证; (3)过 P 作 PM⊥CD,在直角三角形 EBC 中,利用勾股定理求出 EC 的长,利用面积法求 出 BQ 的长,根据 BP=2BQ 求出 BP 的长,在直角三角形 ABP 中,利用勾股定理求出 AP 的 长,根据 AF﹣AP 求出 PF 的长,由 PM 与 AD 平行,得到三角形 PMF 与三角形 ADF 相似, 由相似得比例求出 PM 的长,再由 FC=AE=3,求出三角形 CPF 面积即可. 解答: (1)证明:由折叠得到 BE=PE,EC⊥PB, ∵E 为 AB 的中点, ∴AE=EB,即 AE=PE, ∴∠EBP=∠EPB,∠EAP=∠EPA, ∵∠AEP 为△ EBP 的外角, ∴∠AEP=2∠EPB, 设∠EPB=x,则∠AEP=2x,∠APE= =90° ﹣x,

∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90° ﹣x=90° ,即 BP⊥AF, ∴AF∥EC, ∵AE∥FC, ∴四边形 AECF 为平行四边形; (2)∵△AEP 为等边三角形, ∴∠BAP=∠AEP=60° ,AP=AE=EP=EB, ∵∠PEC=∠BEC,

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∴∠PEC=∠BEC=60° , ∵∠BAP+∠ABP=90° ,∠ABP+∠BEQ=90° , ∴∠BAP=∠BEQ, 在△ ABP 和△ EBC 中, , ∴△ABP≌△EBC(AAS) , ∵△EBC≌△EPC, ∴△ABP≌△EPC; (3)过 P 作 PM⊥DC,交 DC 于点 M, 在 Rt△ EBC 中,EB=3,BC=4, 根据勾股定理得:EC= ∵S△ EBC= EB?BC= EC?BQ, ∴BQ= = , , , = , =5,

由折叠得:BP=2BQ=

在 Rt△ ABP 中,AB=6,BP= 根据勾股定理得:AP=

∵四边形 AECF 为平行四边形, ∴AF=EC=5,FC=AE=3, ∴PF=5﹣ = ,

∵PM∥AD, ∴ = ,即 = ,

解得:PM=

, = .

3× 则 S△ PFC= FC?PM= ×

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点评: 此题属于四边形综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,折叠的性质, 等边三角形的性质,勾股定理,三角形的面积求法,相似三角形的判定与性质,熟练掌握全 等三角形的判定与性质是解本题的关键.

20. (2015· 湖南省益阳市,第 20 题 12 分)已知点 P 是线段 AB 上与点 A 不重合的一点,且 AP<PB.AP 绕点 A 逆时针旋转角 α(0° <α≤90°)得到 AP1,BP 绕点 B 顺时针也旋转角 α 得到 BP2,连接 PP1、

PP2.

(1)如图 1,当 α=90° 时,求∠P1PP2 的度数;

(2)如图 2,当点 P2 在 AP1 的延长线上时,求证:△ P2P1P∽△P2PA;

(3)如图 3,过 BP 的中点 E 作 l1⊥BP,过 BP2 的中点 F 作 l2⊥BP2,l1 与 l2 交于点 Q,连 接 PQ,求证:P1P⊥PQ.

考点: 几何变换综合题. 分析: (1)利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45° ,进而得出答 案; ( 2 ) 根 据 题 意 得 出 △ PAP1 和 △ PBP2 均 为 顶 角 为 α 的 等 腰 三 角 形 , 进 而 得 出
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∠P1PP2=∠PAP2=α,求出△ P2P1P∽△P2PA; (3)首先连结 QB,得出 Rt△ QBE≌Rt△ QBF,利用∠P1PQ=180° ﹣∠APP1﹣∠QPB 求出 即可. 解答: (1)解:由旋转的性质得:AP=AP1,BP=BP2. ∵α=90° , ∴△PAP1 和△ PBP2 均为等腰直角三角形, ∴∠APP1=∠BPP2=45° , ∴∠P1PP2=180° ﹣∠APP1﹣∠BPP2=90° ;

(2)证明:由旋转的性质可知△ PAP1 和△ PBP2 均为顶角为 α 的等腰三角形, ∴∠APP1=∠BPP2=90° ﹣ , )=α,

∴∠P1PP2=180° ﹣(∠APP1+∠BPP2)=180° ﹣2(90° 在△ PP2P1 和△ P2PA 中,∠P1PP2=∠PAP2=α, 又∵∠PP2P1=∠AP2P, ∴△P2P1P∽△P2PA.

(3)证明:如图,连接 QB. ∵l1,l2 分别为 PB,P2B 的中垂线, ∴EB= BP,FB= BP2. 又 BP=BP2, ∴EB=FB. 在 Rt△ QBE 和 Rt△ QBF 中, , ∴Rt△ QBE≌Rt△ QBF, ∴∠QBE=∠QBF= ∠PBP2= 由中垂线性质得:QP=QB, ∴∠QPB=∠QBE= , ,

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由(2)知∠APP1=90° ﹣

, ) =90° ,

∴∠P1PQ=180° ﹣∠APP1﹣∠QPB=180° ﹣(90° ﹣ 即 P1P⊥PQ.

点评: 此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质 等知识,得出 Rt△ QBE≌Rt△ QBF 是解题关键.

21. (2015· 湖北省武汉市,第 23 题 10 分)如图,△ ABC 中,点 E、P 在边 AB 上,且 AE =BP,过点 E、P 作 BC 的平行线,分别交 AC 于点 F、Q.记△ AEF 的面积为 S1,四边形 EFQP 的面积为 S2,四边形 PQCB 的面积为 S3

(1) 求证:EF+PQ=BC

(2) 若 S1+S3=S2,求

PE 的值 AE

(3) 若 S3-S1=S2,直接写出

PE 的值 AE

【思路分析】 (1)作 QN∥AB,交 BC 于 N,通过证明△ AEF≌△QNC 可以证明 EF+PQ= BC;
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(2)△ AEF∽△APQ,根据面积比等于相似比的平方,用 PE、AE、S1 表示 S2,再由 △ AEF∽△ABC, AE、 S1 表示 S2, 用 PE、 两种表示方法列等式可求解; (3) 根据△ AEF∽△ABC, 用 PE、AE、S1 表示 S3,根据 S3-S1=S2 列等式可求解.

证明: (1)作 QN∥AB,交 BC 于 N,则∠NQP=∠A,∠QNC=∠B.

∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠B,

∴∠AEF=∠QNC.

∵PQ∥BC, ∴四边形 PQNB 是平行四边形,

∴BN=PQ,QN=PB=AE,

∴△AEF≌△QNC,

∴EE=NC, ∴BC=BN+NC=EF+PQ;

(2)∵EF∥PQ∥BC,

∴△ AEF∽△APQ∽△ABC



S1 AE2 AE2 ? ? 2 S1 ? S2 AP2 (AE ? PE)

整理得 S2=

2AE ? PE ? PE2 S1 ①; AE2
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同理

S1 AE2 AE2 AE2 ? ? = , 2 2 S1 ? S2 ? S3 AB2 (AE ? PE ? PB) (2AE ? P E)

∵S1+S3=S2,



S1 S AE2 ? 1 ? , 2 S1 ? S2 ? S3 2S2 (2AE ? P E)

整理得 S2=

2 (2AE ? PE) S1 ②, 2AE2

①=②即

2 2AE ? PE ? PE2 (2AE ? PE) = S1 S1 AE2 2AE2

2 2 整理得 PE =4AE ,

PE=2AE,



PE =2; AE

(3) ∵△AEF∽△ABC,



S1 AE2 AE2 AE2 ? ? = , 2 2 S1 ? S2 ? S3 AB2 (AE ? PE ? PB) (2AE ? P E)
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∵S3- S1=S2,



S1 S AE2 ? 1 ? , 2 S1 ? S2 ? S3 2S3 (2AE ? P E)

整理得 S3=

2 (2AE ? PE) S1 , 2AE2



2 2AE ? PE ? PE2 (2AE ? PE) S = - S S1 1 1 2AE2 AE2

2 2 整理得 PE =2AE ,

∴PE= 2 AE,

PE = AE

2.

备考指导:(1)证明两条线段的和等于一条线段一般是把长线段分为两段,证明这两段分别 与已知的两段相等; (2)当题目中涉及多个量时,根据他们的数量关系用其中一个量表示出 其他量,再列式求解,相似、三角函数等都是数量之间互相转化的工具.

22. (2015?四川南充,第 22 题 8 分)如图,矩形纸片 ABCD,将△ AMP 和△ BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠(AP>AM) ,点 A 和点 B 都与点 E 重合;再将△ CQD 沿 DQ 折叠,点 C 落在线 段 EQ 上点 F 处.

(1)判断△ AMP,△ BPQ,△ CQD 和△ FDM 中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)

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(2)如果 AM=1,sin∠DMF=

,求 AB 的长.

【答案】△ AMP∽△BPQ∽△CQD;AB=6.

试题解析:(1)、有三对相似三角形,即△ AMP∽△BPQ∽△CQD

(2)、设 AP=x,有折叠关系可得:BP=AP=EP=x

AB=DC=2x

AM=1

由△ AMP∽△BPQ 得:



由△ AMP∽△CQD 得:

即 CQ=2

AD=BC=BQ+CQ=

+2

MD=AD-AM=

+2-1=

+1

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sin∠DMF= 又∵在 Rt△ FDM 中, 合题意,舍去)

DF=DC=2x ∴

x=3 或 x= 解得:

(不

∴AB=2x=6. 考点:相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.

23. (2015?四川南充,第 24 题 10 分)如图,点 P 是正方形 ABCD 内一点,点 P 到点 A,B 和 D 的距离分别为 1, 与 BC 相交于点 Q. , .△ ADP 沿点 A 旋转至△ ABP’,连结 PP’,并延长 AP

(1)求证:△ APP’是等腰直角三角形;

(2)求∠BPQ 的大小;

(3)求 CQ 的长.

【答案】略;45° ;

【解析】 试题分析:根据旋转得到 AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP,从而得出∠PAP′=90°,得到等腰直角三 角形;根据 Rt△ APP′得出 PP′的大小,然后结合 BP′和 BP 的长度得到
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从而得出△ BPP′是直角三角形,然后计算∠BPQ 的大小;过点 B 作 BM⊥AQ 于 M,根据 ∠BPQ=45° 得到△ PMB 为等腰直角三角形, 根据已知得出 BM 和 AM 的长度, 根据 Rt△ ABM 的勾股定理求出 AB,根据△ ABM∽△AQB 得出 AQ 的长度,最后根据 Rt△ ABO 的勾股定理 得出 BQ 的长度,根据 QC=BC-BQ 得出答案.

试题解析:(1)、证明:由旋转可得:AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP

∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90°

∴△APP′是等腰直角三角形

(3)、过点 B 作 BM⊥AQ 于 M

∵∠BPQ=45°

∴△PMB 为等腰直角三角形

由已知,BP=2

∴BM=PM=2

∴AM=AP+PM=3 在 Rt△ ABM 中,AB=

∵△ABM∽△AQB



∴AQ=

在 Rt△ ABO 中,BQ=

∴QC=BC-BQ=



=

考点:旋转图形的性质、勾股定理、三角形相似.

24. (2015?江苏南京,第 20 题 8 分).如图,△ ABC 中,CD 是边 AB 上的高,且 .

(1)求证:△ ACD∽△CBD;
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(2)求∠ACB 的大小.

【答案】 (1)证明见试题解析; (2)90° .

【解析】 试题分析: (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可证明 △ ACD∽△CBD;

(2)由(1)可知△ ACD∽△CBD,然后根据相似三角形的对应角相等可得:∠A=∠BCD, 再由∠A+∠ACD=90° ,可得:∠BCD+∠ACD=90° ,即∠ACB=90° .

试题解析: (1)∵CD 是边 AB 上的高,∴∠ADC=∠CDB=90° ,∵ ∴△ACD∽△CBD;



(2)∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD,在△ ACD 中,∠ADC=90° ,∴∠A+∠ACD=90° , ∴∠BCD+∠ACD=90° ,即∠ACB=90° .

考点:相似三角形的判定与性质.

25.(2015?江苏无锡,第 28 题 10 分)如图,C 为∠AOB 的边 OA 上一点,OC=6,N 为边 OB P 是线段 CN 上一点, PM∥OB 上异于点 O 的一动点, 过点 P 分别作 PQ∥OA 交 OB 于点 Q, 交 OA 于点 M.

(1)若∠AOB=60° ,OM=4,OQ=1,求证:CN⊥OB.

(2)当点 N 在边 OB 上运动时,四边形 OMPQ 始终保持为菱形.

①问:



的值是否发生变化?如果变化,求其取值范围;如果不变,请说明理由.

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②设菱形 OMPQ 的面积为 S1,△ NOC 的面积为 S2,求

的取值范围.

考点: 相似形综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)过 P 作 PE⊥OA 于 E,利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到 OMPQ ∠PME=∠AOB=60° 为平行四边形, 利用平行四边形的对边相等, 对角相等得到 PM=OQ=1, , 进而求 PE 与 ME 的长, 得到 CE 的长, 求 tan∠PCE 的值, 利用特殊角的三角函数值求∠PCE 的度数,得到 PM 于 NC 垂直,而 PM 与 ON 平行,即可得到 CN 与 OB 垂直; (2) ﹣ 的值不发生变化,理由如下:设 OM=x,ON=y,根据 OMPQ 为菱形,得到

PM=PQ=OQ=x,QN=y﹣x,根据平行得到三角形 NQP 与三角形 NOC 相似,由相似得比例 即可确定所求式子的值; ②过 P 作 PE⊥OA 于 E,过 N 作 NF⊥OA 于 F,表示菱形 OMPQ 的面积为 S1,△ NOC 的 面积为 S2,得到 ,由 PM 与 OB 平行,得到三角形 CPM 与三角形 CNO 相似,由相似得

比例求所求式子

的范围即可.

解答: 解: (1)过 P 作 PE⊥OA 于 E, ∵PQ∥OA,PM∥OB, ∴四边形 OMPQ 为平行四边形, ∴PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60° , ∴PE=PM?sin60° = ,ME= ,

∴CE=OC﹣OM﹣ME= ,
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∴tan∠PCE= ∴∠PCE=30° ,

=



∴∠CPM=90° , 又∵PM∥OB, ∴∠CNO=∠CPM=90° , 则 CN⊥OB; (2)① ﹣ 的值不发生变化,理由如下:

设 OM=x,ON=y, ∵四边形 OMPQ 为菱形, ∴OQ=QP=OM=x,NQ=y﹣x, ∵PQ∥OA, ∴∠NQP=∠O, 又∵∠QNP=∠ONC, ∴△NQP∽△NOC, ∴ = ,即 = , ﹣ = .

∴6y﹣6x=xy.两边都除以 6xy,得 ﹣ = ,即 ②过 P 作 PE⊥OA 于 E,过 N 作 NF⊥OA 于 F, 则 S1=OM?PE,S2= OC?NF,



=



∵PM∥OB, ∴∠MCP=∠O, 又∵∠PCM=∠NCO, ∴△CPM∽△CNO, ∴ = = ,



=

=﹣

(x﹣3)2+ ,

∵0<x<6,
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则根据二次函数的图象可知,0<

≤ .

点评: 此题属于相似形综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,二次函数的性 质,平行四边形的判定与性质,以及菱形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本 题的关键.

26. (2015?四川自贡,第 19 题 8 分) 如图, 在△ ABC ,D、 E 分别为 AB、AC 边的中点.求证:

考点:相似三角形的性质与判定、平行线的判定、三角形的中位线定理等.

分析:本题证法不只一种,利用三角形的中位线定理很简单.若从相似形切入,根据题中条 件易证△ ADE ∽△ ABC ,根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等可以进一步证得 A .
D E

证明: ∵ D 是 AB 的中点, E 是 AC 的中点

B

C



AD 1 AE 1 ? , ? AB 2 AC 2



AD AE ? AB AC

又∵ ?A ? ?A

∴△ ADE ∽△ ABC



AD DE 1 ? ? , ?ADE ? ?B AB BC 2

∴ BC ? 2DE,BC P DE



27. (2015?浙江滨州,第 23 题 10 分)如图,已知 B、C、E 三点在同一条直线上,△ ABC 与 △ DCE 都是等边三角形.其中线段 BD 交 AC 于点 G,线段 AE 交 CD 于点 F.
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求证: (1)△ ACE≌△BCD;

(2)

.

【答案】

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考点:三角形全等,三角形相似的判定与性质

28. (2015?广东佛山,第 25 题 11 分)如图,在? ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E、F 是 AD 上的点,且 AE=EF=FD.连接 BE、BF,使它们分别与 AO 相交于点 G、H.

(1)求 EG:BG 的值;

(2)求证:AG=OG;

(3)设 AG=a,GH=b,HO=c,求 a:b:c 的值.

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考点: 专题:

相似形综合题;平行四边形的性质. 综合题.

分析: ( 1 ) 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 AO= AC , AD=BC , AD∥BC , 从 而 可 得 △ AEG∽△CBG, 由 AE=EF=FD 可得 BC=3AE, 然后根据相似三角形的性质, 即可求出 EG: BG 的值; (2)根据相似三角形的性质可得 GC=3AG,则有 AC=4AG,从而可得 AO= AC=2AG,即可 得到 GO=AO﹣AG=AG; AH= AC, (3) 根据相似三角形的性质可得 AG= AC, 结合 AO= AC, 即可得到 a= AC, b= AC,c= AC,就可得到 a:b:c 的值.

解答: 解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AO= AC,AD=BC,AD∥BC, ∴△AEG∽△CBG, ∴ = = .

∵AE=EF=FD, ∴BC=AD=3AE, ∴GC=3AG,GB=3EG, ∴EG:BG=1:3;

(2)∵GC=3AG(已证) , ∴AC=4AG, ∴AO= AC=2AG, ∴GO=AO﹣AG=AG;
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(3)∵AE=EF=FD, ∴BC=AD=3AE,AF=2AE. ∵AD∥BC, ∴△AFH∽△CBH, ∴ ∴ = = = ,

= ,即 AH= AC.

∵AC=4AG, ∴a=AG= AC, b=AH﹣AG= AC﹣ AC= c=AO﹣AH= AC﹣ AC= ∴a:b:c= : : AC, AC,

=5:3:2.

点评:

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、合比性质

等知识,由两直线平行联想到三角形相似,从而得到边成比例,是常用的一种方法,应熟 练掌握.

29.(2015?福建泉州第 25 题 13 分) (1)如图 1 是某个多面体的表面展开图.

①请你写出这个多面体的名称,并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点;

②如果沿 BC、GH 将展开图剪成三块,恰好拼成一个矩形,那么△ BMC 应满足什么条件? (不必说理) (2)如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块,恰好拼成一个三角形,如图 2,那么该三 棱柱的侧面积与表面积的比值是多少?为什么?(注:以上剪拼中所有接缝均忽略不计)

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解: (1)①根据这个多面体的表面展开图,可得

这个多面体是直三棱柱,

点 A、M、D 三个字母表示多面体的同一点.

②△BMC 应满足的条件是:

a、∠BMC=90° ,且 BM=DH,或 CM=DH;

b、∠MBC=90° ,且 BM=DH,或 BC=DH;

c、∠BCM=90° ,且 BC=DH,或 CM=DH;

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(2)如图 2,连接 AB、BC、CA,



∵△DEF 是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成,

∴矩形 ACKL、BIJC、AGHB 为棱柱的三个侧面,

且四边形 DGAL、EIBH、FKCJ 须拼成与底面△ ABC 全等的另一个底面的三角形,

∴AC=LK,且 AC=DL+FK,





同理,可得 ,

∴△ABC∽△DEF,





即 S△ DEF=4S△ ABC,





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即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 .

30.(2015 湖北鄂州第 22 题 9 分)

如图,在△ ABC 中,AB=AC,AE 是∠BAC 的平分线,∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M, 点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OB 的长为半径的圆经过点 M,交 BC 于点 G,交 AB 于点 F. (1) (3 分)求证:AE 为⊙O 的切线.

(2) (3 分)当 BC=8,AC=12 时,求⊙O 的半径.

(3) (3 分)在(2)的条件下,求线段 BG 的长.

【答案】(1)证明见解析; (2)3; (3)2.

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考点:1.相似三角形的判定与性质;2.切线的判定.

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31.(2015 湖南岳阳第 22 题 8 分)

如图,正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM,垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交 DC 于点 N.

(1)求证:△ ABM∽△EFA;

(2)若 AB=12,BM=5,求 DE 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;正方形的性质.. 分析: (1)由正方形的性质得出 AB=AD,∠B=90° ,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再 由∠B=∠AFE,即可得出结论; (2)由勾股定理求出 AM,得出 AF,由△ ABM∽△EFA 得出比例式,求出 AE,即可得出 DE 的长. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=90° ,AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF, 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90° , ∴∠B=∠AFE, ∴△ABM∽△EFA; (2)解:∵∠B=90° ,AB=12,BM=5, ∴AM= =13,AD=12,
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∵F 是 AM 的中点, ∴AF= AM=6.5, ∵△ABM∽△EFA, ∴ 即 , ,

∴AE=16.9, ∴DE=AE﹣AD=4.9. 点评: 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形 的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.

32 ,(2015 威海,第 23 题 4 分)

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