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高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质学案2_3

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1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质

[学习目标] 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. [知识链接] 1.二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗? 答 不是.二项式系数表中第一行是两个数,而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项 式系数表中的第 n 行与杨辉三角中的第 n+1 行对应数值相等. 2.根据杨辉三角的第 1 个规律,同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等,你可以得到二 项式系数的什么性质? 答 对称性,因为 Cn=Cn ,也可以从 f(r)=Cn的图象得到. 3.二项式系数何时取得最大值? 答 当 n 是偶数时,中间的一项的二项式系数取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项的二 项式系数 C
m n-m r

n-1
2
n

,C

n+1
2
n

相等,且同时取得最大值.

[预习导引] 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等; (2)在相邻的两行中,除 1 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 Cn+1=Cn +Cn. 2.二项式系数的性质 在(a+b) 展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 对称性 即 Cn=Cn
m n-m n r r-1 r

1

增减性:当 k< 增减性 与最 大值

n+1
2

时,二项式系数是逐渐增大的;当 k>

n+1
2

时,二

项式系数是逐渐减小的.最大值:当 n 为偶数时,中间一项的二项式

n n-1 n+1 系数 C n,最大;当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数 C C n, 2 2 2
n

相等,且同时取得最大值 Cn+Cn+Cn+…+Cn=2
0 2 4 1 0 1 2

各二项 式系数 的和



n

n

② ②Cn+Cn+Cn+…=Cn+Cn+Cn+…=2

3

5

n-1

要点一 与杨辉三角有关的问题

例 1 如图在“杨辉三角”中,斜线 AB 的上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数 列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S19 的值. 解 由图知,数列中的首项是 C2,第 2 项是 C2,第 3 项是 C3,第 4 项是 C3,…,第 17 项是 C10,第 18 项是 C10,第 19 项是 C11. ∴S19=(C2+C2)+(C3+C3)+(C4+C4)+…+(C10+C10)+C11=C3+C4+C5+…+C11+C11=C3+C3 +C4+C5+…+C11-1+C11=C12-1+C11=274. 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是: 通过观察找出每一行数据间的相互联 系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式表达出来,使问题得 解.注意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察. 跟踪演练 1 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 第3行1 3 第4行1 4 1 3 1 6 4 1
2
2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1

第5行1 5

10

10

5 1

… … … 答案 34 解析 设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3,则 Cn ∶Cn =2∶3. ∴3Cn =2Cn ,即 得: 3
13 14 13 14

3·n! 2·n! = , 13!·(n-13)! 14!·(n-14)!

n-13 14



2

,∴n=34.

要点二 二项展开式的系数和问题 例 2 已知(1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a7x ,求下列各式的值. (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+…+a7=-1.① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-…-a7=3 .② (1)令 x=0,得 a0=1,代入①中得:
7 7 2 7

a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)由①-②得 2a1+2a3+2a5+2a7=-1-3 , -1-3 ∴a1+a3+a5+a7= =-1 094. 2 (3)由①+②得 2a0+2a2+2a4+2a6=-1+3 , -1+3 ∴a0+a2+a4+a6= =1 093. 2 (4)法一 ∵(1-2x) 的展开式中,a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7) =1 093-(-1 094)=2 187. 法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x) 展开式中各项的系数和, 令 x=1,∴|a0|+|a1|+…+|a7|=3 =2 187. 规律方法 赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法, 注意取值要有利于问题的解 决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项.一般地,对于多项
7 7 7 7 7 7 7

3

1 2 n 式 f(x)=a0+a1x+a2x +…+anx ,各项系数和为 f(1),奇次项系数和为 [f(1)-f(-1)], 2 1 偶次项系数和为 [f(1)+f(-1)],a0=f(0). 2 跟踪演练 2 设(2- 3x) =a0+a1x+a2x +…+
100 2

a100x100,求下列各式的值:
(1)a0; (2)a1+a2+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100) -(a1+a3+…+a99) . 解 (1)由(2- 3x) 展开式中的常数项为 C100·2 ,即 a0=2 . 或令 x=0,则展开式可化为 a0=2 . (2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3) ,① ∴a1+a2+…+a100=(2- 3) -2 . (3)令 x=-1, 可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3) ,② 与①联立相减可得
100 100 100 100 100 100 0 100 100 2 2

a1+a3+…+a99=

(2- 3) -(2+ 3) . 2

100

100

(4) 原式= [(a0 + a2 +…+ a100) + (a1 + a3 +…+ a99)]·[(a0 + a2 +…+ a100) - (a1 + a3 +…+

a99)]
=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100) =(2- 3) ×(2+ 3) =1. 要点三 求二项展开式中的最大项问题 3 2 2 n 例 3 已知 f(x)=( x +3x ) 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解 (1)令 x=1, 则二项式各项系数的和为 f(1)=(1+3) =4 , 又展开式中各项的二项式系 数之和为 2 .由题意知,4 -2 =992. ∴(2 ) -2 -992=0,∴(2 +31)(2 -32)=0, ∴2 =-31(舍),或 2 =32,
n n n 2 n n n n n n n n
100 100

4

∴n=5. 由于 n=5 为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
3 2 2 6 T3=C2 5(x ) (3x ) =90x ,

2 3 2 3

2 2 3 T4=C3 . 5(x ) (3x ) =270x

22 3

2 r r (2)展开式的通项公式为 Tr+1=C53 ·x (5+2r). 3
? ?C5·3 ≥C5 ·3 , 假设 Tr+1 项系数最大,则有? r r r+1 r+1 ?C53 ≥C5 ·3 , ?
r r r-1 r-1

5! 5! ×3≥ ? ?(5-r)!r! (6-r)!(r-1)!, ∴? 5! 5! ≥ ? ?(5-r)!r! (4-r)!(r+1)!×3. 3 1 ? ?r≥6-r, ∴? 1 3 ?5-r≥r+1. ? 7 9 ∴ ≤r≤ ,∵r∈N,∴r=4. 2 2 26 4 4 26 ∴展开式中系数最大的项为 T5=C5·3 x =405x . 3 3 规律方法 (1)求二项式系数最大的项,要依据二项式系数的性质对(a+b) 中的 n 进行讨 论,n 为奇数时中间两项的二项式系数最大;n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项,如求 (a+bx) (a、b∈R)展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分 别为 A1,A2,…An+1,且第 r+1 项系数最大,应用? 跟踪演练 3 在(3x-2y) 的展开式中,求 (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 解 (1)二项式系数最大的项是第 11 项,
10 10 10 10 T11=C10 203 (-2) x y 20

n

n

?Ar≥Ar-1 ? ? ?Ar≥Ar+1

解出 r 来,即得系数最大的项.

=C206 x y . (2)设系数绝对值最大的项是 r+1 项,于是
5

10 10 10 10

?C20·3 ·2 ≥C20 ·3 ·2 , ? ? r 20-r r r-1 21-r r-1 ? ·2 ≥C20 ·3 ·2 , ?C20·3 ?3(r+1)≥2(20-r), ? 化简得? ?2(21-r)≥3r, ?

r

20-r

r

r+1

19-r

r+1

2 2 解得 7 ≤r≤8 (r∈N), 5 5 所以 r=8, 即 T9=C203 ·2 ·x y 是系数绝对值最大的项. (3)由于系数为正的项为 y 的偶次方项,故可设第 2r-1 项系数最大,于是
?C20 ·3 ·2 ≥C20 ·3 ·2 , ? ? 2r-2 22-2r 2r-2 2r 20-2r 2r ?C20 ·3 ·2 ≥C20·3 ·2 , ? ? ?10r +143r-1 077≤0, 化简得? 2 ?10r +163r-924≥0. ?
2 2r-2 22-2r 2r-2 2r-4 24-2r 2r-4 8 12 8 12 8

解之得 r=5,即 2×5-1=9 项系数最大.
12 8 12 8 T9=C8 20·3 ·2 ·x y .

1.(1+x)

2n+1

的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是(

)

A.n,n+1 B.n-1,n C.n+1,n+2 D.n+2,n+3 答案 C 解析 (1+x)
2n+1

展开式有 2n+2 项. 系数最大的项是中间两项, 是第 n+1 项与第 n+2 项,
n n+1

它们的二项式系数为 C2n+1与 C2n+1. 1 10 2.(x- ) 的展开式中,系数最大的项是(

x

)

A.第 6 项 B.第 3 项 C.第 3 项和第 6 项 D.第 5 项和第 7 项 答案 D 解析 展开式第 6 项系数为-C10,第 5 项和第 7 项系数分别为 C10,C10且 C10=C10. 3.在(x+y) 的展开式中,第 4 项与第 8 项的系数相等,则展开式中系数最大的项是(
n
5 4 6 4 6

)

6

A.第 6 项 B.第 5 项 C.第 5,6 项 D.第 6,7 项 答案 A 解析 由题意,得第 4 项与第 8 项的系数相等,则其二项式系数也相等,∴Cn=Cn,由组合 数的性质,得 n=10. ∴展开式中二项式系数最大的项为第 6 项,它也是系数最大的项. 4.设(x +1)(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +…+a11(x+2) ,则 a0+a1+a2+…+a11 的值为( )
2 9 2 11 3 7

A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 A 解析 令 x=-1,则原式化为[(-1) +1][2×(-1)+1] =-2 =a0+a1(2-1)+a2(2-1) +…+a11(2-1) , ∴a0+a1+a2+…+a11=-2.
2 11 2 9

1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根 据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为 0,1 或-1,但在解决具体问题 时要灵活掌握. 3.注意以下两点:(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组 时,注意其中 r∈{0,1,2,…,n}的范围.

一、基础达标 1.已知(a+b) 的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( A.11 答案 D 解析 ∵(a+b) 的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,∴二项展开式共有 9 项, 即 n+1=9,∴n=8.
7
n n

)

B.10

C.9

D.8

2.已知( x+

3 3

) 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,则 n 等于

n

x
( )

A.4 答案 C

B.5

C.6

D.7

4 解析 令 x=1,各项系数和为 4 ,二项式系数和为 2 ,故有 n=64,∴n=6. 2
n n

n

3.(x-1) 展开式中 x 的奇次项系数之和是 A.-2 048 C.-1 024 答案 D 解析 (x-1) =a0x +a1x +a2x +…+a11, 令 x=-1,则-a0+a1-a2+…+a11=-2 , 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a11=0, ∴a0+a2+a4+…+a10=2 =1 024. 4.(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 的展开式中各项系数和为 A.2 C.2
n+1
2 10 11 11 11 10 9

11

(

)

B.-1 023 D.1 024

n

(

)

B.2 -1 D.2
n+1

n

n+1

-1

-2

答案 D 解析 令 x=1,则 2+2 +…+2 =2
10 2

n

n+1

-2.

5.在(a-b) 的二项展开式中,系数最小的项是________. 答案 -252a b
5 5

解析 在(a-b) 的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数 的绝对值为对应的二项式系数, 因为展开式中第 6 项的二项式系数最大, 所以系数最小的项 为 T6=C10a (-b) =-252a b . 6.若 x (x+3) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +…+a12(x+2) ,则 log2(a1+a3+…+a11)= ________. 答案 7 解析 令 x=-1,∴2 =a0+a1+a2+…+a11+a12. 令 x=-3,
8 4 8 2 12 5 5 5 5 5

10

8

∴0=a0-a1+a2-…-a11+a12,∴2 =2(a1+a3+…+a11), ∴a1+a3+…+a11=2 ,∴log2(a1+a3+…+a11)=log22 =7. 7.已知(1+3x) 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中二项式系数 最大的项. 解 由题意知,Cn+Cn +Cn =121, 即 Cn+Cn+Cn=121, ∴1+n+
0 1 2 7 7

8

n

n

n-1

n-2

n(n-1)
2

=121,即 n +n-240=0,

2

解得:n=15 或-16(舍). ∴在(1+3x) 展开式中二项式系数最大的项是第 8,9 两项,且 T8=C15(3x) =C153 x ,T9= C15(3x) =C153 x . 二、能力提升 1 n 8.若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为
8 8 8 8 8 15 7 7 7 7 7

x

(

)

A.10 答案 B

B.20

C.30

D.120

解析 由 2 =64,得 n=6,∴Tr+1=C6x 由 6-2r=0,得 r=3.∴T4=C6=20.
3

n

r 6-r

1 r r 6-2r ( ) =C6x (0≤r≤6,r∈N).

x

9.在(

1 5 1 n + 3) 的展开式中,所有奇数项系数之和为 1 024,则中间项系数是

x

x

( A.330 答案 B B.462 C.682 D.792

)

解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为 2 , 而所有偶数项的二项式系数和与所 有奇数项的二项式系数和相等,故由题意得 2
5 6

n

n-1

=1 024,∴n=11,∴展开式共 12 项,中

间项为第六项、第七项,其系数为 C11=C11=462. 10.(2013·浙江理)设二项式( x- 1 3 答案 -10 ) 的展开式中常数项为 A,则 A=________.
5

x

9

解析 二项式( x-

1 3

) 的展开式的通项公式为

5

x

Tr+1=Cr 5·x

5-r r 15-5r r r r ·(-1) x- =(-1) C5·x . 2 3 6

15-5r 3 令 =0,解得 r=3,故展开式的常数项为-C5=-10. 6 11.已知(1+2x) =a0+a1(x-1)+a2(x-1) +…+
100 2

a100(x-1)100,求 a1+a3+a5+…+a99 的值.
解 令 x=2,可以得到 5 =a0+a1+a2+…+a100,① 令 x=0,可以得到 1=a0-a1+a2-…+a100,② 1 100 由①②得 a1+a3+a5+…+a99= (5 -1). 2 12.对于二项式(1-x) . (1)求展开式的中间项是第几项?写出这一项; (2)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和; (3)写出展开式中系数最大的项. 解 (1)由题意可知:r=0,1,2,…,11,展开式共 11 项, 所以中间项为第 6 项:T6=C10(-x) =-252x . (2)设(1-x) =a0+a1x+a2x +…+a10x , 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a10=0, 令 x=0,得 a0=1,∴a1+a2+…+a10=-1. (3)∵中间项 T6 的系数为负, ∴系数最大的项为 T5 和 T7,T5=C10x =210x ,
6 6 T7=C6 10x =210x . 4 4 4 10 2 10 5 5 5 10 100

三、探究与创新 1 2n 2 2n n 13.已知(1+x ) 的展开式的系数和比(3x-1) 的展开式的系数和大 992,求(2x- ) 的展

x

开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 解 由题意得 2 -2 =992,解得 n=5. 1 10 (1)(2x- ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
2n

n

x

10

1 5 5 5 即 T6=C10·(2x) ·(- ) =-8 064.

x

(2)设第 k+1 项的系数的绝对值最大, 则 Tk+1=C10·(2x) =(-1) ·C10·2
k
10-k

k

10-k

1 k ·(- )

x

k

k

10-k

·x

10-2k

.
k k-1

? ≥C10 ·2 , ? ?C10·2 ?C10≥2C10 , ∴? k 得? k 10-k k+1 10-k-1 k+1 ?C10·2 ?2C10≥C10 , ≥C10 ·2 , ? ? ?11-k≥2k, ? 8 11 即? ∴ ≤k≤ ,∵k∈N,∴k=3, 3 3 ? ?2(k+1)≥10-k.

k-1

10-k+1

故系数的绝对值最大的是第 4 项
7 4 4 T4=(-1)3C3 10·2 ·x =-15 360x .

11


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