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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:3-1变化率与导数、导数的运算]


时间:45 分钟

满分:100 分 ________

班级:________ 得分:________

姓名:________

学号:

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 f(x)=ax2+3x-2 在点(2,f(2))处的切线斜率为 7,则实数 a 的 值为( ) B.1 D.-2

A.-1 C.± 1

解析:因为 f′(x)=2ax+3,所以由题意得 2a×2+3=7,解得 a=1.故选 B. 答案:B π π π 2.若函数 f(x)=cosx+2xf′(6),则 f(-3)与 f(3) 的大小关系是( π π A.f(-3)=f(3) π π C.f(-3)<f(3) ) π π B.f(-3)>f(3) D.不确定

π π 解析:依题意得 f′(x)=-sinx+2f′(6),f′(6)= π π π 1 -sin6+2f′(6),f′(6)=2,f′(x)=-sinx+1≥0,f(x)=cosx+x 是 R 上的 π π π π 增函数,注意到-3<3,于是有 f(-3)<f(3).选 C. 答案:C 3.直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 a-b 等于( A.-4 C.3 B.-1 D.-2 )

解析: 由点(1,3)在直线 y=kx+1 上可得 k=2, 又由 y′=3x2+a 可得 k=3×1 +a=2,解得 a=-1,将点(1,3)代入 y=x3-x+b 可得 b=3,∴a-b=-4,故 应选 A.

答案:A 4.(2014· 镇江模拟)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 ( A.1 C.-1 B.2 D.-2 1 =1,m+a=1,n=ln(m+a)= m+a )

解析:设切点为(m,n),则切线斜率为

ln1=0,再由(m,n)在直线 y=x+1 上得 m=-1,从而 a=2,故选 B. 答案:B 5. (2014· 长春月考)若曲线 y=x2-1 与 y=1-x3 在 x=x0 处的切线互相垂直, 则 x0 等于( 36 A. 6 2 C.3 2 D.3或 0 3 ) 36 B.- 6 3

解析:曲线 y=x2-1 在 x=x0 处切线斜率 k1=2x0,曲线 y=1-x3 在 x=x0 处切线斜率 故选 A. 答案:A 6.(2013· 安徽)若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1, 则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是( A.3 C.5 B.4 D.6 ) k2=-3x2 0.依题设 k1· k2=(2x0)· (-3x2 0)=-1,解得 1 x3 0= ,∴x0= 6 3 36 6 ,

解析:因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2,当 x1<x2 时,可 知关于导函数的方程 f′(x)=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根 x1,x2,则方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有两个不等的实根 x1,x2,即 f(x)=x1 或 f(x)=x2,原方程 根的个数就是这两个方程 f(x)=x1 和 f(x)=x2 的不等实根个数之和,再结合图象 可看出函数 y=f(x)的图象与直线 y=x1 和直线 y=x2 共有 3 个不同的交点;同理 当 x1>x2 时,也是 3 个不同交点.综上,所求方程共有 3 个不同的实根.

答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后 的横线上) 7. (2013· 广东)若曲线 y=kx+lnx 在点(1, k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=_____. 1 解析:y′|x=1=0,即当 x=1 时,k+1=k+1=0,解得 k=-1. 答案:-1 8.(2014· 辽宁模拟)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标 分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐 标为________. 1 解析:求出切线方程,再解方程组得点 A 的坐标.易知抛物线 y=2x2 上的 点 P(4,8),Q(-2,2),且 y′=x,则过点 P 的切线方程为 y=4x-8,过点 Q 的切 线方程为 y=-2x-2,联立两个方程解得交点 A(1,-4),所以点 A 的纵坐标是 -4. 答案:-4 9.(2014· 桦甸一模)若曲线 f(x)=ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:f′(x)=3ax2+ x , 因为存在垂直于 y 轴的切线, 则 f′(x)=0 在 x>0 时有解, 1 1 即 3ax2+ x=0 有解,即 3a=-x3, 1 ∵-x3<0, ∴当 3a<0,即 a<0 时,方程有解, 所以 a 的取值范围为(-∞,0). 答案:(-∞,0)
2n - 1 2n 2 2n + 1 10.(理 )(2014· 延吉二模)若函数 f(x)=C 0 -C1 -…+Cr nx n x + Cn x n (- n 1)r· x2n-1+r+……+Cn (-1)n· x3n-1,其中 n∈N*,则 f′(1)=________. 1 2 2 r n 解析:∵f(x)=x2n-1[C0 xr+…+Cn (-1)n· xn]=x2n n-Cnx+Cnx -…+Cn(-1)r·

-1

(1-x)n,∴f′(x)=(2n-1)x2n-2· (1-x)n+x2n-1· n(1-x)n-1(-1),故,f′(1)=0. 答案:0 (文)(2014· 莱州模拟)在曲线 y=1-x2(x≥0,y≥0)上找一点(x0,y0),过此点

作切线与 x 轴、y 轴构成一个三角形,当 x0 为________时,此三角形面积最小, 最小面积为________. 解析:∵y=1-x2,y′=-2x, ∴切线 AB 的方程 y-y0=-2x0(x-x0), 即 y=-2x0x+x2 0+1. x2 0+1 ∴与 x 轴、y 轴的交点为 A( 2x ,0),B(0,x2 0+1).
0

?x0+1? 1 x0+1 ∴S△AOB=2× 2x ×(x2 0+1)= 4x0 0 1 3 x0 1 =4x0 + 2 +4x .
0

2

2

2

3 1 1 ∴S′△AOB=4x2 0+ - 2. 2 4x
0 2 2 1 由 S′△AOB=0,得 3x4 0+2x0-1=0,∴x0= . 3

3 2 4 3 又 x0∈[0,1],∴x0= 3 ,y0=3,此时三角形面积的最小值为 9 . 3 答案: 3 4 3 9

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤) 2 11.已知函数 f(x)=x- x ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y= g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线. 解:根据题意有: 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1), 即切线方程为 3x-y-4=0.

曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1),得 y+6=3(x-1), 即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线. 12. (2014· 江西红色六校联考)已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行 直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解:(1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4, 解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为-4. ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=-4(x+1), 即 x+4y+17=0. 9 13.(2014· 临汾百题精选)设有抛物线 C:y=-x2+2x-4,通过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限. (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解:(1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1 9 y1=-x2 1+ x1-4 2 9 2 ①代入②得 x1 +(k-2)x1+4=0. ∵P 为切点, 9 17 1 ∴Δ=(k-2)2-16=0,得 k= 2 或 k=2. ① ②

17 当 k= 2 时,x1=-2,y1=-17. 1 当 k=2时,x1=2,y1=1. ∵P 在第一象限, 1 ∴所求的斜率 k=2. (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5 13 将③代入抛物线方程得 x2- 2 x+9=0. 设 Q 点的坐标为(x2,y2),则 2x2=9, 9 ∴x2=2,y2=-4. 9 ∴Q 点的坐标为(2,-4). ③


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