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高二数学选修1-1第二章试卷及答案

绝密★启用前 考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 1、已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点.

(1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 【答案】(1) 3 (2) y=- x+4 (x-4),

【解析】(1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2=

即 y= x.由 可得 x2-18=0,若设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2=0,x1x2=-18. 于是|AB|= = = = ?6 =3 .

所以线段 AB 的长度为 3 . (2)方法一 设 l 的斜率为 k,则其方程为 y-2=k(x-4). 联立 消去 y 得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2), 所以 = =4,解得 k=- ,且满足 Δ >0. (x-4), ,

这时直线的方程为 y-2=-

即 y=- x+4.

方法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有

两式相减得 整理得 kAB=

+ =-

=0, ,

由于 P(4,2)是 AB 的中点,∴x1+x2=8,y1+y2=4, 于是 kAB=- =- , (x-4),

于是直线 AB 的方程为 y-2=- 即 y=- x+4. 2、已知双曲线 -

=1 的左、右焦点分别是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=

60°,求△F1PF2 的面积. 【答案】16 【解析】由 - =1,得 a=3,b=4,c=5.

由定义和余弦定理,得|PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°, 所以 102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|?|PF2|, 所以|PF1|?|PF2|=64, ∴S△F1PF2= |PF1|?|PF2|?sin∠F1PF2 = ?64? 3、设双曲线 线 l 的距离为 =16 - . =1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过 A(a,0),B(0,b)两点,且原点到直

c,求双曲线的离心率.
【答案】e=2 【解析】∵直线 l 过点 A(a,0),B(0,b), ∴l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. ∵原点到直线 l 的距离为 ∴ =

c, c2.

c,即 ab=

两边平方得 16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4, ∴3c4-16a2c2+16a4=0,即 3e4-16e2+16=0. 解得 e2=4 或 e2= .∵b>a>0,∴ >1.

∴e2=

=1+

>2.

∴e2=4,∴e=2. 4、已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 【答案】解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60°, 所以其斜率 k=tan 60°= , 又F .

所以直线 l 的方程为

y=

.

联立 消去 y 得 x2-5x+ =0. 若设 A(x1,y1),B(x2,y2).则 x1+x2=5, 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p. 所以|AB|=5+3=8. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 |AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p=x1+x2+3, 所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3, 又准线方程是 x=- , 所以 M 到准线的距离等于 3+ = . 【解析】 5、已知直线 l:y=kx+1 与椭圆 程. 【答案】y=x+1 或 y=-x+1 【解析】设直线 l 与椭圆的交点 M(x1,y1),N(x2,y2), 由 ∴x1+x2=- 由|MN|= 消 y 并化简,得(1+2k2)x2+4kx=0, ,x1x2=0. ,得(x1-x2)2+(y1-y2)2= , , +y2=1 交于 M、N 两点,且|MN|= .求直线 l 的方

∴(1+k2)(x1-x2)2=

∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]= 即(1+k2) = .

.

化简,得 k4+k2-2=0,∴k2=1,∴k=±1. ∴所求直线 l 的方程是 y=x+1 或 y=-x+1.


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