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最新高中数学第三章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程(一ppt课件北师大版选修2_1名师资料合集_图文

第三章 §1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程(一) 学习目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、 椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 椭圆的定义 思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔, 如何画出一个椭圆? 答案 在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大 于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖 即可画出椭圆. 思考2 在上述画椭圆过程中,笔尖移动需满足哪些条件?如果改变这 些条件,笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆? 答案 笔尖到两图钉的距离之和不变,等于绳长 . 绳长大于两图钉间 的距离 . 若在移动过程中绳长发生变化,即到两定点的距离不 是定值,则轨迹就不是椭圆 . 若绳长不大于两图钉间的距离, 轨迹也不是椭圆. 梳理 (1)我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|)的 点的集合叫作 椭圆 .这两个定点叫作椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫作 椭圆的 焦距 . (2)椭圆的定义用集合语言叙述为: P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表: 条件 2a>|F1F2| 2a=|F1F2| 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在 知识点二 椭圆的标准方程 思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 答案 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定. 思考2 若两定点A、B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10, 如何求出点P的轨迹方程? 答案 以两定点的中点为坐标原点,以 AB 所在直线为 x 轴建立直角 坐标系,则 A(3,0),B(-3,0).设 P(x,y),依题意得|PA|+|PB| =10, 所以 ?x-3?2+y2+ ?x+3?2+y2=10,即点 P 的轨迹 x2 y2 方程为25+16=1. 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式 x2 y2 形式一:a2+b2=1(a>b>0),表示中心在原点,焦点在 x轴 上的椭圆的 标准方程,其中 b2=a2-c2. y2 x2 形式二:a2+b2=1(a>b>0),表示中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆的 标准方程,其中 b2=a2-c2. (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中 的位置 标准方程 x2 y2 2+ 2=1(a>b>0) a b y2 x2 a2+b2=1(a>b>0) 焦点坐标 F1(-c,0), F (c,0) F1(0,-c), F (0,c) (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和y2 项的分母哪 y2 x2 个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为 = 1的椭圆,焦点在y轴上, + 5 4 而且可求出焦点坐标F1(0,-1),F2(0,1),焦距|F1F2|=2. 题型探究 类型一 例1 椭圆的定义解读 点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆 相内切且过P点,判断圆心M的轨迹. 解答 方程x2+y2-6x-55=0化标准形式为:(x-3)2+y2=64,圆心为(3,0), 半径r=8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点, 所以|MC|+|MP|=r=8, 根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|, 所以动点M的轨迹是椭圆. 引申探究 若将本例中圆C的方程改为x2+y2-6x-27=0呢? 解答 设M(x,y),据题意,圆C:(x-3)2+y2=36, 圆心C(3,0),半径r=6. 据题意,有|MC|+|MP|=r=6=|CP|. 故动点M的轨迹是线段CP. 反思与感悟 椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲 线是否为椭圆的限制条件. ② 将所有真命题的序号都填上) 跟踪训练1 下列命题是真命题的是____.( ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 2 的点P的轨迹 为椭圆; ②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为 线段; ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. 答案 ① 2 <2,故点P的轨迹不存在; 解析 ②因为2a=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2; ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直 平分线(y轴). 类型二 求椭圆的标准方程 命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程 例2 1 1 1 求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 P(3,3),Q(0,-2) 的椭圆的标准方程. 解答 引申探究 x2 y2 求与椭圆25+ 9 =1 有相同焦点,且过点(3, 15)的椭圆方程. 解答 x2 y2 据题意可设其方程为 + =1(λ>-9), 25+λ 9+λ 又椭圆过点(3, 15),将此点代入椭圆方程,得 λ=11(λ=-21 舍去), x2 y2 故所求的椭圆方程为36+20=1. 反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论, 也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0). x2 y2 x2 y2 (2) 与 椭 圆 a2 + b2 = 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2 + 2 =