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最新高中数学第三章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程(二ppt课件北师大版选修2_1名师资料汇编_图文

第三章 §1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程(二) 学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程,能够熟练求解与椭圆有关的 轨迹问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 椭圆标准方程的认识与推导 思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么? 答案 标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或 y轴上. 标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 x 与y 的平 a b 方和,并且分母为不相等的正值. 思考2 依据椭圆方程,如何确定其焦点位置? 答案 把方程化为标准形式,与x2,y2相对应的分母哪个大,焦点 就在相应的轴上. 思考3 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程 较简单?并写出求解过程. 答案 梳理 (1)椭圆的标准方程的形式 焦点位置 形状、大 小 小 相 同 焦点坐标 x2 标准方程 y2 a2+b2=1(a>b>0) y2 x2 a2+b2=1(a>b>0) 焦点在x 形状、大 F1(-c,0), 轴上 F2(c,0) ≠B (2)方程Ax2+By2=1表示椭圆的充要条件是 A>0,B>0且A. b2+c2 (3)椭圆方程中参数a,b,c之间的关系为 a2=. a>b>0, 焦点在y b 2 = a 2 - F (0,-c), 题型探究 类型一 椭圆标准方程的确定 例1 求焦点在坐标轴上,且经过 A( 3,-2)和 B(-2 3,1)两点的椭圆 的标准方程. 解答 反思与感悟 求解椭圆的标准方程,可以利用定义,也可以利用待定系数法,选择求 解方法时,一定要结合题目条件,其次需注意椭圆的焦点位置. 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. 解答 3 5 (1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(-2,2); ∵椭圆的焦点在y轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 由椭圆的定义知: 2a= 32 5 2 ?-2? +?2+2? + 32 5 2 ?-2? +?2-2? =2 10,即 a= 10. 又c=2,∴b2=a2-c2=6. y2 x2 ∴所求的椭圆的标准方程为10+ 6 =1. (2)焦点在y轴上,且经过两点(0,2)和(1,0). 解答 ∵椭圆的焦点在y轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), ? ? 42+ 02=1, ?a b ∴? 1 ?0 2+ 2=1, ? b ?a 2 ? a ? =4, ∴? 2 ? ?b =1. y2 2 ∴所求的椭圆的标准方程为 4 +x =1. 类型二 例2 相关点法在求解椭圆方程中的应用 如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为 垂足.当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹. 解答 引申探究 若本例中“过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ”,改为“过点 P 作 y 轴的垂线段 PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么? 解答 设M(x,y),P(x0,y0), 2 则 x2 + y 0 0=4, (*) ? x0 ?x= , 2 ? ?y=y 0 ? y2 2 代入(*)式得 4 +x =1. 故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆. 反思与感悟 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动,则求P点的 轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为 (1)设点:设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为Q(x1, y1). ? ?x1=g?x,y?, (2)求关系式: 用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标, 即得关系式? ? ?y1=h?x,y?. (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程, 并把所得方程化简即可. 跟踪训练2 如图所示,B点坐标为(2,0),P是以O为圆心的单位圆上的 动点,∠POB的平分线交直线PB于点Q,求点Q的轨迹方程. 解答 当堂训练 x2 2 1.若方程m+y =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为 A.(1,+∞) √ C.[1,+∞) 1 B.(2,+∞) D.(-∞,1) 答案 解析 因为焦点在x轴上,故m>1,故选A. 1 2 3 4 5 2.设B(-4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为 √ x2 y2 A.25+ 9 =1(y≠0) x y C.16+16=1(y≠0) 2 2 y2 x2 B.25+ 9 =1(y≠0) y x D.16+ 9 =1(y≠0) 2 2 答案 解析 1 2 3 4 5 x2 y2 3.已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆 E 的方程为 x2 y2 + = 1 18 9 __________. 答案 解析 1 2 3 4 5 x 4.在椭圆 3 +y2=1 中,有一沿直线运动的粒子从一个焦点 F2 出发经椭圆 反射后经过另一个焦点 F1,再次被椭圆反射后又回到 F2,则该粒子在整 2 4 3 个运动过程中经过的路程为_____. 答案 解析 把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为 4a,即 4 3. 1 2 3 4 5 5.△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b=6,求顶点B的轨迹方程. 解答 以直线 AC 为 x 轴, AC 的中点为原点,建立直角坐标系,设 A ( - 3 , 0) , C(3,0),B(x,y), 则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12, ∴B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆, 且a′=6,c′=3,