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高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质学案(无答案)2_3

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1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
学习目标: 1 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2.初步了解用赋值法解决二项式系数问题; 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力 学习重点:结合函数图象,理解增减性与最大值时,根据 n 的奇偶性确定相应的分界点 ;利用赋值法证明 二项式系数的性质 学习难点:二项式系数的性质及对性质的理解和应用 知识回顾: 1.二项式定理 2.二项展开式的通项公式 3.二项式系数与项的系数的区别 预习: 1.观察杨辉三角,在同一行中,每行两端都是_____,与这两个____等距离的项的系数_____ 2.在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它的__________两个数的和。设表中任一不为 1 的数为

C

r n ?1

,那 么它肩上的两个数分别为_________及_________;容易证明:

C

r n ?1

? ____ ___+________

3.对于 (a ? b) 展开式的二项式系数
n

C ,C ,C
n n

0

1

2 n

,?C n , 我们还可以

n

从函数 其定义

的角度来分析它们,

C

r n

可看成是以 ______为自变量的函数________,

域是_______________________ 4.. 观察 P33 图 1.3—2 发现图象具有对称性与增减性以及最值所取得 值。 新知探究: 任务一:探究二项 式系数的性质
m n?m (1)对称性 .与首末两端___________的两个二项式系数相等(∵ Cn ) . ? Cn

的 r 的

1

直线______________是图象的对称轴.

n(n ? 1)(n ? 2) (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值; 2
(2)增减性与最大值.∵ Cn ?
k

当 n 是偶数时, 中间一项________取得最大值; 当 n 是奇数时, 中间两项__________, ________取得最大值. (3)各二项式系数和:
1 ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ?

? xn ,
r ? Cn ? n ? Cn

0 1 2 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ?

任务二:二项式系数性质的应用

1.证明:在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
n

2.设 ( 1- 2x)12 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a12 x12 (1)求展开式中系数的绝对值最大的项; (2)求 展开式中系数最大的项; (3)求展开式中系数最小的项

2

任务三:正确区分二项式系数与项的系数

1.求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数

2

10

3

2.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数

2

5

3.已知 ( x ?

2 n ) 的展开式 中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14:3,求展开式的常数项 x2

任务四:易错点 利用二项式系数的和的公式时,易忽视某些值的存在性

在 ( 1 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?an xn 中,令 x=1 时,可以求出所有项系数的和;令 x=-1 时,可以求出奇数 项的和与偶数项的和之差;令 x=0 时,可以求出 a 0 的值。
3

1. 如果 ( 1- x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a7 x7 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 的值等于 A. -2 B. -1 C. 0 D. 2

8 2.设 ( 1 ? x) ? a 0 ? a1 x ? ? ? a 8 x8 ,则 a 0 , a1 ,?, a 8 中偶数的个数为_______

任务五:课内检测: 1.填空: (1) (a ? b)n 的各二项式系数的最大值是___________ (2)

C ?C
11

1

3 11

? ? ? C11 ? _________
2 n 2

11

c ?c ?c (3) c ?c ?c
n n 0 1 n ?1 n ?1
2 n

0

1

? ? ? cn
n

n n ?1

n ?1

? ? ? cn ?1

? ________________

2.证明:

c ?c ?c
n

0

4 n

? ? ? cn ? 2 n ?1 (n 是偶数)

3.写出 n 从 1 到 10 的二项式系数表

任 务六:作业

1.(1)求(1-2x) 的展开式中前 4 项 (2)求 (2a ? 3b ) 展开式中第 8 项
3 2 10

15

(3)求 (
3

x 3 12 ? ) 的展开式的中间一项 3 x
1 10 ) 的二项展开式中的常数项 2 x3

(2 x ? 2.求

4


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