贵州省八校联盟2015届高三第三次联考数学(文)试题

秘密★考试结束前 【考试时间:5 月 15 日 15:00—17:00 】 贵州省八校联盟 2015 届高三第三次联考试卷 文科数学 命制:凯里一中高三数学备课组 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? 2n ? 1, n ? N *} , B ? { y | y ? 5m ? 1, m ? N *} ,则集合 A ? B 中最 小元素为

A .1
2.已知复数 z ?

B .9

C . 11

D . 13

m?i (m ? R ) 为纯虚数,则 m ? 1? i
B . ?1

开始 m = 0, n = 1 输入an n>3217? n = n+1
否 否

A .1

C .2

D . ?2

3.在一次贵州省八所中学联合考试后,汇总了 3217 名文科考生的数学成绩,用 a1 , a2 , ???,

输出

a3217 表示,我们将不低于 120 的考分叫“红
分” ,将这些数据按右图的程序框图进行信息 处理,则输出的数据为这 3217 名考生的

an ≥120?


m 3217

结束

n = n+1, m = m+1

A .平均分

B. “红分”人数 D. “红分”人数与非“红分”人数的比值

C. “红分”率

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

Sn n ? 1 ,则下列结论中正确的是 ? an 2 1 a2 3 ? a3 2
D.

1 2

1

1 2

A.

a2 ?2 a3

B.

a2 2 ? a3 3

C.

a2 1 ? a3 3
正视图

侧视图

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A . 2? ?

C.

4? 3

8 3

B . 2? ?

4 3
俯视图

D . 2? ? 4

6.已知直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 3 的倾斜角依次为 ? , ? ,则下列结论中正确的是

A . ? ? 90? ? ?
7.已知 sin ? ? cos ? ?

B . ? ? ? ? 180?

C . ? ? 90? ? ?

D . ? ? ? ? 90?

1 ,其中 ? 在第二象限,则 cos ? ? sin ? ? 2
B.

A .?

2 2

2 2

C .?

7 2

D.

7 2

? x?0 ? 8.已知实数 x , y 满足条件 ? y ? 0 ,则不等式 x ? 2 y ? 2 成立的概率为 ?x ? y ? 2 ?
A.

1 2

B.

1 4

C.

3 4

D.

1 8

9 . 正 方 体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1的 棱 长 为 6 , O 1 B1C1 D 1 的中心,则四棱锥 1 为正方形 A

O1 ? ABCD 的外接球的表面积为
A . 9? B . 324?

C . 81?

D.

243 ? 2

10.已知 O : x 2 ? y 2 ? 1和点 P(?1, 3) , A 、 B 是圆 O 上两个动点,则 ?APB 的最大值为

? ? D. 3 2 1 1 1 1 2 2 ?ln , c ? ? ln 11.记 a ? ? ln , b ? ,其中 e 为自然对数的底数,则 a, b, c 这三个 e e 2e 2e e e
A. B.

? 6

? 4

C.

数的大小关系是

A .a ? b ? c
2

B .a ? b ? c

C .b ? c ? a

D .b ? a ? c

12.过抛物线 C : y ? 4 x 焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点, | AB |? 8 ,过线段 AB 的中点作 y 轴的垂线,垂足为 P ,则 | PA |2 ? | PB |2 ?

??? ?

??? ?

A . 36

B . 40

C . 50

D . 52

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 13.双曲线 4 12
14.数列 {an } 中, a1 ? ?



4 1 , an ? 2 ? ,则 a7 ? 3 an ? 1



15.已知向量 a ? (2, ?1), b ? (?

3 1 , ? ) ,且 (a ? kb) ? (a ? kb) ,则实数 k ? 2 2



16.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? m 的定义域 A ? [0, 2] ,值域为 B ,当 A ? B ? ? 时,实数 m 的 取值范围是 .

三.解答题:本大题共 6 小题. 解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已 知 三 角 形 ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且

b s i nB?

( s iA n ?

s C i na ? ). ( c

)

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ) 在数列 {an } ,{bn } 中,an ? 2n?1 | sin nA | (n ? N *) ,bn ? 2n?1 | cos nA | (n ? N *) , 数列 {

1 } 的前 n 项和为 Sn .证明: Sn ? 2 . an ? bn

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA 、 OB 、 OC 两两垂直,且 OA ? OC ? 4 ,

OB ? 3 .
(Ⅰ)求 O 点到平面 ABC 的距离;

O A1 A

OA 、 OB 、 OC 内的点. (Ⅱ)设 A 1、 B 1 、 C1 依次为线段
证明: ?A 1B 1C1 是锐角三角形.

C1 C B1 B

19. (本小题满分 12 分)

在一次高三数学考试中,第 22、23、 24 题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选 做一题.按照以往考试的统计,考生 A 、 B 、 C 中, A 、 B 从 23、24 随机选作一题, C 从 22、23、24 题随机选作一题,他们在考试中都按规定选作了其中一道试题. (Ⅰ)求考生 A 、 B 、 C 恰有 1 人选做第 23 题的概率; (Ⅱ)求考生 A 、 B 、 C 最多有 1 人选做第 23 题的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值.

1 1 1 1 (Ⅱ)证明:对任意正整数 n , ? ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) . 1 2 3 n

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 左、右焦点为 F1 、 F2 , A1 、 A2 、 B1 、 B2 是它的 a 2 b2
???? ? ?????

四个顶点(其相应位置如图所示).且 B1 A1 ? B1 A2 ? ?1 , B2 F2 ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

?????

? 1 ????? 2 ????? B2 F1 ? B2 A2 . 3 3
F1 A1 N

y

B2 M

l x A2

θ

1 C 交于 M 、 N 两点, (Ⅱ)过 F 1 且斜率为 的直线 l 与椭圆

O B1

F2

O 为坐标原点, ?MON ? ? ,求 tan ? .

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆 O1 、 O2 的半径分别为 r1 、 r2 ,两圆外切于 C 点,

O1 A

C O2 B

它们的一条外公切线与这两圆分别切于 A 、 B 两点. (Ⅰ)当 ?CAB ? ?CBA 时,证明: r 1 ?r 2; (Ⅱ)当 r 1 ? 5,r 2 ? 6 时,求 CA ? CB .
2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知坐标系中的极点 O 与直角坐标系 xOy 中的坐标原点 O 重合,极轴与 x 轴的正半轴重 合,且两个坐标系选用相同的单位长度.曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 (1 ? sin 2 ? ) ? 4 . (Ⅰ)写出曲线 C1 的直角坐标方程,并指明它是什么曲线; (Ⅱ)已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 6 ? t cos ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,当直线 l 与 C1 ? ? y ? t sin ?

相切(即 l 与 C1 只有一个交点)时,求 ? .

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所 对的边长依次为 a 、 b 、 c . (Ⅰ)当 C ?

?
3

时,证明:

?
A

?

4? 27 ? ; B 2

(Ⅱ)证明: abc ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) .

秘密★考试结束前 【考试时间:5 月 15 日 15:00—17:00 】 贵州省八校联盟 2015 届高三第三次联考试卷 理科数学 命制:凯里一中高三数学备课组 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 二.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? 2n ? 1, n ? N *} , B ? { y | y ? 5m ? 1, m ? N *} ,则集合 A ? B 中最 小元素为

A .1

B .9

C . 11

D . 13

解: C . A ? {1,3,7,5,9,11, ???} , B ? {6,11, ???} ,依题意得答案选 C .

m?i (m ? R ) 纯虚数,则 m ? 2.已知复数 z ? 1? i
A .1 B . ?1

开始 m = 0, n = 1
D . ?2

C .2

(m ? i )(1 ? i ) m ? 1 1 ? mi ? ? 解: B .设 z ? , ? m ? ?1 2 2 2
3.在一次贵州省八所中学联合考试后,汇总了 3766 名理科考生的数学成绩, 用 a1 , a2 , ???, a3766 表示,我们将不低于 120 的考分叫“红分” , 将这些数据按右图的程序框图进行信息处理,则输出的数据为这 3766 名 考生的

输入an n>3766? n = n+1
否 否 是

输出

an ≥120?


3

结束

n = n+1, m = m+1

A .平均分

B. “红分”人数 D. “红分”人数与非“红分”人数的比值

C. “红分”率

解: C .依题意,输出的 m 为红分人数, 4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

m 为红分率. 3766

Sn n ? 1 ,则下列结论中正确的是 ? an 2 a5 ?3 a3
D.

A.

a5 ?2 a3

B.

a5 5 ? a3 3

C.

a5 4 ? a3 3

1

1 2

1

1 2

解: B .令 n ? 5 得

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 5a a 5 ? 3? 3 ? 3? 5 ? . a5 a5 a3 3
正视图

侧视图

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

俯视图

A . 2? ?

C.

4? 3

8 3

B . 2? ?

4 3

D . 2? ? 4

解: B .由三视图易知该几何体是一个底半径为 1 高为 2 的圆柱挖去一个底面是边长为 2 的 正方形,高为 2 的四棱锥得到的几何体,其体积为 2? ?

4 .故答案选 B . 3

6.已知直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 3 的倾斜角依次为 ? , ? ,则下列结论中正确的是

A . ? ? 90? ? ?

B . ? ? ? ? 180?

C . ? ? 90? ? ?

D . ? ? ? ? 90?

解: A . l1 ? l2 , ? 为锐角, ? 为钝角,由倾斜角的定义知答案选 A . 7.已知 sin? ? cos ? ?

1 2 2 ,其中 ? 在第二象限,则 sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? 2

A .?

21 16

B .?

3 7 8

C .?

3 7 16

D.

3 7 16

解: C . sin ? ? cos ? ?

1 3 7 ? sin ? cos ? ? ? , (sin ? ? cos ? ) 2 ? , ? 在第二象限, 2 8 4

cos ? ? sin ? ? ?

7 3 7 2 2 ,故 sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? (cos? ? sin ? ) ? ? 2 16

8.已知实数 x , y 满足条件 ?

? 0? x ?? ,则不等式 ? y ? 2 x 成立的概率为 ?0 ? y ? sin x
C.

A.

8?? 8

B.

4 ?? 8 2

? 4

D.

? ?4
8

y
π P( ,1) 2 y= 2 x π

解: D .如图,观察发现直线 y ? 区间 [0, ? ] 上的唯一交点为 P(

?
2

?

x 和 y ? sin x 在
O

y=sinx π

,1) ,则使条件 ? y ? 2 x 成

x

立的区域为图中阴影部分,由定积分和几何概型的知识得到答案. 9.如图,直线 y ? kx ? 2 与圆 O : x ? y ? r (r ? 0) 交于 A 、 B 两点,并依次与 x 轴的负
2 2 2

半轴和 y 轴的正半轴交于 C 、 D 两点,当 | AD |?| DC |?| CB | 时, OA? OB ?

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ?

y
A D B C

A . ?18

B . ?16

C . ?15

D .6 3

解: B .解: AB 的中点为 P ,依题意为 P 线段 CD 的中点,则有 | OC |?| OD |? 2 , 故原点到直线 AB 的距离 | OP |? 2 ? | AB |? 3| CD |? 6 2 ,

O

2 2 ? ? ? OA OB ?OA | OB | |cos AOB ? 半径 | OA |? | AP | ? | OP | ? 2 5 ,则 OA OB

? ? ? ?? ? ? ?

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? 16



10.记 r ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,s ? ,t ? , a ? r ? ln r , b ? s ? ln s, c ? t ? ln t ,则 a, b, c 这三个数的 2 3 5
B .c ? b ? a

大小关系是

A .a ? b ? c

C .b ? a ? c

D .c ? a ? b

解:D . 由比较法不难得出 1 ? s ? r ? t ? 0 , 构造函数 f ( x) ? x ? ln x , 知此函数在区间 (0,1) 上为减函数,从而得到 f (s) ? f (r ) ? f (t ) 即 c ? a ? b 11. 正方体 ABCD ? A 半径为 6 的圆 O1 在平面 A1B1C1D1 内, 其圆心 O1 1B 1C1D 1 的棱长为 6 ,
D1 C1
6

为正方形 A1B1C1D1 的中心, P 为圆 O1 上有一个动点,则多面体 PABCD 的外接球的表面积
A1

O1 B1

P R D R
3 2



O C O2 B

A . 88?

B . 80?

88 22 C. ? 3

160 5 D. ? 3

A

解: A .设多面体的外接球的半径为 R ,依题意得

R 2 ? (3 2)2 ? R 2 ? ( 6) 2 ? 6 ? R 2 ? 22 ,故其外接球的表面积为 4? R 2 ? 88? .故答
案选 A 12.过抛物线 C : y ? 4 x 焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A 、 B 两点,| AB |? 8 , P 为 y 轴上
2

的动点, 则 | PA |2 ? | PB |2 的最小值为

??? ?

??? ?

A . 36

B . 40

C . 50

D . 52

解: C .设 AB 的中点为 C ,由抛物线的性质知 C 到 y 轴的距离为 3 ,故 | PC |? 3 ,由余弦 定理得:

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | PA |2 ? 16? | PC |2 ?8| PC | cos ?ACP , | PB |2 ? 16? | PC |2 ?8| PC | cos ?BCP ? ??? ? ??? ? ??? ? . | PA |2 ? | PB |2 ? 32 ? 2 | PC |2 ? 32 ?18 ? 50 (当 | PC |? 3 时等号成立)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小 题,每小题 5 分.

13.双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的离心率为 4 12



解:2. e ?

c 4 ? 12 ? ?2. a 2
4 1 , an ? 2 ? ,则 a7 ? 3 an ? 1


14.数列 {an } 中, a1 ? ?

解:2.由已知条件得 a3 ? ?3, a5 ? ? 15.已知向量 a ? (2, ?1), b ? (?

1 , a7 ? 2 2


3 1 , ? ) ,且 (a ? kb) ? (a ? kb) ,则实数 k ? 2 2
2 2

解: ? 5 .由 (a ? kb) ? (a ? kb) ? (a ? kb)(a ? kb) ? a ? k 16
2 C2

b2 ? 0
, 则




2



f ( x) ? (2 x ?1)10
2 2 a3??? ?C ?C a4 1 a 4 0?
10

? a10 x10 ? a9 x9 ? a8 x8 ???? ? a1x ? a0
0

? a2

C3?

1

解: 180 .对等式 (2 x ? 1) ? a10 x10 ? a9 x9 ? a8 x8 ???? ? a1x ? a0 两边求导得

20(2 x ?1)9 ? 10a10 x9 ? 9a9 x8 ? 8a8 x7 ???? ? 2a2 x ? a1 .继续对此等式两边求导,得 360(2 x ?1)8 ? 10 ? 9a10 x9 ? 9 ? 8a9 x8 ? 8 ? 7a8 x7 ???? ? 2 ?1a2 .令 x ? 1 得
2 2 2 2 360 ? 10 ? 9a10 ? 9 ? 8a9 ? 8 ? 7a8 ???? ? 2 ?1a2 ? 2(C2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ) 2 2 2 2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ? 180 . ? C2

三.解答题:本大题共 6 小题. 解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已 知 三 角 形 ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且

b s i nB?

( s iA n ?

s C i na ? ). ( c

)

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)在数列 {an } , {bn } 中, an ? 2 数列 {
n?1

| sin nA | (n ? N *) , bn ? 2n?1 | cos nA | (n ? N *) ,

1 } 的前 n 项和为 Sn .证明: Sn ? 2 . an ? bn
2 2 2 2

解: (Ⅰ)由 b sin B ? (sin A ? sin C )(a ? c) 及正弦定理得 b ? (a ? c)(a ? c) ? a ? b ? c

由勾股定理定理得 A ?

?
2



??6 分
n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? bn ? 2n?1 | sin nA | ? 2n?1 | cos nA |? 2

(| sin

n? n? | ? | cos |) ? 2n ?1 2 2

?

1 1 ? n?1 . an ? bn 2
1 1 1 2 ? ? ??? ? n ?1 ? 2 ? n ? 2 . 0 2 2 2 2
??12 分

故 Sn ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA 、 OB 、 OC 两两垂直,且 OA ? OC ? 4 ,

OB ? 3 .
(Ⅰ)求 O 点到平面 ABC 的距离;

O

OA 、 OB 、 OC 内的点. (Ⅱ)设 A 1、 B 1 、 C1 依次为线段
证明: ?A 1B 1C1 是锐角三角形.

C1 C B1 B

A1 A

解: (Ⅰ)依题意得 AC ?

42 ? 42 ? 4 2, AB ? BC ? 32 ? 42 ? 5 ,
2 2

则 ?ABC 中, AC 边上的高 h ? 5 ? (2 2) ? 17 ? S?ABC ? 设 O 点到平面 ABC 的距离为 d ,则由 VO ? ABC ? VA?OBC

1 AC ? h ? 2 34 . 2 1 1 ? d ? S ?ABC ? OA ? S ?OBC 3 3



2 34 6 34 6 34 d ?8?d ? .即 O 点到平面 ABC 的距离为 d ? .??6 分 3 17 17
(Ⅱ)设 OA 1 ? x, OB 1 ? y, OC1 ? z ,则有 0 ? x ? 4,0 ? y ? 3,0 ? z ? 4

依题意得 A1 B1 ?

x 2 ? y 2 , B1C1 ?
2 1 1 2

y 2 ? z 2 , C1 A1 ? z 2 ? x 2 ?
2

O A1 A x

C1 C z B1 B y

cos ?B1 A1C1 ?

A B ? A1C1 ? B1C1 ? 2 A1 B1 ? A1C1

x

2

x2 ? y 2 x2 ? z 2

则有 0 ? cos ?B1 AC 1 1 ?1

? ?B1 AC 1 1 为锐角,同理可得 ?A 1B 1C1 、 ?AC 1 1B 1 均为锐角.
故 ?A 1B 1C1 是锐角三角形.??12 分

解法二:依题意,建立如图所示坐标系 O ? xyz . (Ⅰ)则 OA ? (4,0,0) , AB ? (?4,3,0), AC ? (?4,0, 4)

??? ?

??? ?

??? ?

O A1 A x

C1 C z B1 B y

??? ? ? ? m ? AB ? 0 设平面 ABC 的法向量为 m,则有 ? ? m = (3,4,3) ???? ? ?m ? AC ? 0
设 O 点到平面 ABC 的距离为 d ??? ? | m ?OA | 6 34 . d? ? |m| 17

??6 分

(Ⅱ)设 OA 1 ? (a,0,0), OB ? (0, b,0), OC ? (0,0, c) ,则有 0 ? a ? 4,0 ? b ? 3,0 ? c ? 4 , 则 A1 B1 ? A1C1 ? (?a, b, 0)(?a, 0, c) ? a ? 0 ,又 A 1 AC 1 1 为锐角, 1、 B 1 、 C1 三点不共线 ? ?B
2

????

??? ?

??? ?

???? ? ???? ?

同理可得 ?A1B1C1 、 ?AC 1 1B 1 均为锐角. 故 ?A 1B 1C1 是锐角三角形. ??12 分

19. (本小 题满分 12 分) 在一次高三数学考试中,第 22、23、24 题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选 做一题.按照以往考试的统计,考生 A 、B 、C 中,A 、B 选做以上每道试题的可能性均为

1 , 3

C 只选做 23、24 题,且他选做这两道试题中每道试题的可能性均为
定选做了其中 一道试题. (Ⅰ)求考生 A 、 B 、 C 最多有 1 人选做第 23 题的概率;

1 .他们在考 试中都按规 2

(Ⅱ) 设考生 A 、B 、C 在第 22、 23、 24 中所选择的不同试题个数为 ? , 求 ? 的分布列及 E? . 解: (Ⅰ)设“考生 A 、 B 、 C 最多有 1 人选做第 23 题”为事件 M ,选做 23 题的人数为? , 则

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 p( M ) ? 1 ? p(? ? 2) ? p(? ? 3) ? 1 ? ? ? ? C2 ? C2 ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 故考生 A 、 B 、 C 中最多有 1 人选做第 23 题的概率为 . ??6 分 3
(Ⅱ)依题意得 ? 可取 1 , 2 , 3 ,

p(? ? 1) ?

1 C2 ?(

1 3

)2 ?

1 1 ? 2 9



p(? ? 3) ?

1 1 2 1 2 C2 ? ? A2 ( )2 ? 2 3 9



1 2 2 p(? ? 2) ? 1 ? ? ? , 9 9 3
即 ? 的 分布列为

?
p
故 E? ? 1?

1

2

3

1 9

2 3
??12 分

2 9

1 2 2 19 ? 2 ? ? 3? ? . 9 3 9 9

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 . x ? ln x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值. (Ⅱ)对于数列 {an } ,其前 n 项和为 Sn ,如果存在实数 M ,使 Sn ? M 对任意 n ? N * 成立, 则称数列 {an } 是“收敛”的;否则称数列 {an } 的“发散”的.当 an ? 是“收敛”的还是“发散”的?证明你的结论. 解: (Ⅰ)令 g ( x) ? x ? ln x ? g ( x) ? 1 ?
?

1 时,请判断数列 {an } n

1 x ?1 ? ? ? ,由 g ( x) ? 0 ? x ? 1, g ( x) ? 0 x x

? 0 ? x ? 1 ,故 g ( x) 在区间 (0,1) 上为减函数,在区间 (1, ??) 上为增函数.
故 g ( x)min ? g (1) ? 1 ,即当 x ? 0 时, x ? ln x ? 1 恒成立,故 0 ? f ( x) ? 即当 x ? 1 时, f ( x ) 的最大值为 1. ??6 分

1 ?1 x ? ln x

(注:直接对 f ( x ) 求导,而未说明 x ? ln x 恒不为零的,扣 1 分) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 x ? ln x ? 1 即 x ? 1 ? ln x (当 x ? 1 时等号成立) 依次令 x ?

2 3 4 n ?1 , , , ???, 得 1 2 3 n 2 2 3 3 4 4 n ?1 n ?1 ? 1 ? ln , ? 1 ? ln , ? 1 ? ln , ???, ? 1 ? ln ,即 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 1 3 1 4 1 n ?1 1 1 1 1 2 3 4 ? ln , ? ln , ? ln , ???, ? ln ? ? ? ? ??? ? ? ln ? ln ? ln ? 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 2 3
n ?1 n

??? ? ln

1 1 1 1 2 3 4 n ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ln ? ? ????? ? ln(n ? 1) . 1 2 3 n 1 2 3 n 1 1 1 1 即 ? ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) . ??11 分 1 2 3 n 1 1 1 1 M 对任意实数 M , 当 n ? 1 ? e 时, ln(n ? 1) ? M ,从而 ? ? ? ??? ? ? M 1 2 3 n 1 1 1 1 故不存在实数 M ,使 ? ? ? ??? ? ? M 对任意 n ? N * 成立. 1 2 3 n
依题意知数列 {an } 是“发散”的. ??12 分

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 左、右焦点为 F1 、 F2 , A1 、 A2 、 B1 、 B2 是它的 a 2 b2

????? 1 ????? 2 ????? ? ???? ? ????? 四个顶点(其相应位置如图所示).且 B1 A1 ? B1 A2 ? ?1 , B2 F2 ? B2 F1 ? B2 A2 . 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

y

B2 M

l x A2

F1 A1 N

θ

O B1

F2

C 交于 M 、 N 两点, (Ⅱ)过 F 1 且与两坐标轴均不平行的直线 l 与椭圆 O 为坐标原点, ?MON ? ? ,求 tan ? 的取值范围. ???? ? ????? 解: (Ⅰ)设 c ? a2 ? b2 ,则由 B1 A1 ? B1 A2 ? ?1 ?

(?a, b)(a, b) ? ?a2 ? b2 ? ?c2 ? ?1 ? c ? 1




????? 1 ????? 2 ????? ? 1 2 2a ? c B2 F2 ? B2 F1 ? B2 A2 ? (c, ?b) ? (?c, ?b) ? (a, ?b) ? ( , ?b) 3 3 3 3 3 2a ? c ? ? c ? a ? 2c ② 3
由①、②两式得 c ? 1, a ? 2, b ? 故椭圆 C 的方程为

a2 ? c2 ? 3 .
??5 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

x2 y 2 ? ? 1 , F1 的坐标为 (?1, 0) 依题意,设 l 的方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆 C 的方程为 4 3
y ? k ( x ? 1)(k ? 0)

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ?

4k 2 ? 12 8k 2 , x ? x ? ? ??8 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 12(k 2 ? 1) |k| ,又点 O 到直线 l 的距离 d ? , 2 4k ? 3 k 2 ?1

则 | MN |?

k 2 ? 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

1 6 | k | k 2 ?1 1 6 | k | k 2 ?1 即 ③ ? S?ABC ? d ? | MN |? | OM | ? | ON | sin ? ? 2 4k 2 ? 3 2 4k 2 ? 3 ???? ? ???? 2 2 2 又 OM ? ON ? ( x1 , kx1 ? k )( x2 , kx2 ? k ) ? (k ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 12) 8k 4 5k 2 ? 12 5k 2 ? 12 2 ? ? k ? ? ? | OM | ? | ON | cos ? ? ,即 ④ 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

由③、④得 tan ? ? ? 由k ? 0? 0?
2

12 | k | k 2 ? 1 12 1 19 2 25 ?? 84( 2 ? ) ? 2 5k ? 12 5 5k ? 12 168 336

1 1 19 12 ? ? ? ? ? tan ? ? 0 . 5k ? 12 12 168 5 12 故 tan ? 的取值范围是 ( ? , 0) . ??12 分 5
2

(注:本题有其它解法,请根据不同解法进行判分)

O1 A

C O2 B

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆 O1 、 O2 的半径分别为 r1 、 r2 ,两圆外切于 C 点,它们的一条外公切线与这两圆分别 切于 A 、 B 两点. (Ⅰ)当 ?CAB ? ?CBA 时,证明: r 1 ?r 2;
O1

(Ⅱ)当 r 1 ? 5,r 2 ? 6 时,求 CA ? CB .
2 2

C

O2

证明: (Ⅰ)连接 O1 A 、 O2 B 、 O1O2 ,由两圆外切于 C 点知 O1O2 经过 C 点, 由 AB 分别与两圆分别切于 A 、 B 两点,知 ?O1 AB ? ?O2 BA ? 90 ,?O1 A // O1B ,
?

A B

??CO1 A ? ?CO2 B ? 180?
由弦切角定理知 ?CO1 A ? 2?CAB, ?CO2 B ? 2?CBA ,又 ?CAB ? ?CBA

??CO1 A ? ?CO2 B ,结合 ?CO1 A ? ?CO2 B ? 180? 知 ?CO1 A ? ?CO2 B ? 90?

O1

? 四边形 O1 ABO2 是矩形,?O1 A ? O2 B ,即 r1 ? r2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?CO1 A ? ?CO2 B ? 180 ,且 O1 A / /O1B .
?

C

??5 分
A B

O2 D

?CO1 A ? 2?CAB, ?CO2 B ? 2?CBA ,??CAB ? CBA ? 90? ,??ACB ? 90?
过 O1 作 O2 B 的垂线,设垂足为 D ,则有 OO 1 2 ? 6 ? 5, DO2 ? 6 ? 5
2 2 2 2 ?O1D2 ? OO 1 2 ? DO2 ? ( 6 ? 5) ? ( 6 ? 5) ? 4 30

? AC2 ? BC2 ? AB2 ? O1D2 ? 4 30 .

??10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知坐标系中的极点 O 与直角坐标系 xOy 中的坐标原点 O 重合,极轴与 x 轴的正半轴重 合,且两个坐标系选用相同的单位长度.曲线 C1 的极坐标方程为 ? (1 ? sin
2 2

?) ? 4.

(Ⅰ)写出曲线 C1 的直角坐标方程,并指明它是什么曲线; (Ⅱ)已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 6 ? t cos ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,当直线 l 与 C1 相 y ? t sin ? ? ?

切(即 l 与 C1 只有一个交点)时,求 ? . 解 : ( Ⅰ ) 由

? 2 (1 ? sin 2 ? ) ? 4 ?
? 2 (2sin 2 ? ? cos2 ? ) ? 4 ? ? 2 cos 2 ? ? 2 ? 2 sin 2 ? ? 4 ?
x2 y 2 ? ?1 . 4 2

即曲线 C1 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,它是中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆. 4 2
??5 分

(Ⅱ)将 ?

? x ? 6 ? t cos? x2 y 2 ? ? ? 1 得 (2sin2 ? ? cos2 ? ) x2 ? 2 6t cos? ? 2 ? 0 代入 4 2 ? ? y ? t sin?

① 依 题 意 ① 式
2








2

?

0

(?

? ? 22?

6
3? . 4

? c?

o

2

? s ?

)?

?

8

? ( 2?

2

而0 ?? ?? ?? ?

?
4

或? ?

??10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边长依次为 a 、 b 、 c . (Ⅰ)当 C ?

?
3

时,证明:

?
A

?

4? 27 ? ; B 2

(Ⅱ)证明: abc ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) . 证 明 : ( Ⅰ ) 当

C?

?
3





A? B ?

2? ? 4? 3 ? ? ? ? ? (A? B ? ) ? 3 A B 2? A B

4 3 B A (A ? B ? ) ? ? ?( 2 A B A B 2

1

)

4

(

3 B 4A 27 . ? (5 ? 2 ? )? 2 A B 2
当且仅当

B 4A 2? 4? ? ,B ? 即当 A ? 时等号成立. A B 9 9

??5 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 0, b ? c ? a ? 0, c ? a ? b ? 0 由均值定理得 (a ? b ? c)(b ? c ? a ) ? (

a?b?c?b?c?a 2 ) ? b 2 ①(当 a ? c 时取等号) ; 2

2 同理可得 (b ? c ? a)(c ? a ? b) ? c ②(当 a ? b 时取等号) ;

. (c ? a ? b)(a ? b ? c) ? a2 ③(当 b ? c 时取等号) 由①、②、③得 (abc) ? [(a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b)] ,
2 2

又 abc ? 0,(a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) ? 0 ? abc ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) 当 a ? b ? c 时等号成立. ??10 分


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